Kun tarkastellaan tavanomaisia aineen tiloja, joissa hiukkaset ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa, monet peruskäsitteet, kuten termodynamiikka ja tilastollinen mekaniikka, voivat avata uutta näkökulmaa järjestelmien käyttäytymiseen. Tässä käsitellään kahta erilaista tilannetta, jotka eivät ensisilmäyksellä näytä liittyvän toisiinsa, mutta joilla on yhteinen tausta tilastollisen mekaniikan perusperiaatteissa: magneettiketu ja fotonikaasu.

Magneettiketjua tarkastellessa otamme huomioon N magneettista dipolia, jotka on järjestetty ketjuksi, jossa jokainen dipoli voi olla yhdessä neljästä mahdollisesta suunnasta: +x, -x, +y ja -y. Kun magneettikenttä H kohdistuu ketjun +x-suunnassa, dipolien energiat määräytyvät kentän suuntaan. Dipolin energia voi olla nolla, jos se on joko +y- tai -y-suunnassa, mutta kun dipoli asettuu kentän suuntaan, se saa energian, joka riippuu kentän voimakkuudesta H. Tällöin yhden dipolin tilastollinen käyttäytyminen voi olla riippuvainen siitä, kuinka toiset dipolit asettuvat.

Tämä ongelma yksinkertaistetaan oletuksella, että yksittäiset dipolit eivät vaikuta toistensa tiloihin, ja voimme siis tarkastella kutakin dipolia erillisenä yksikkönä. Näin ollen voimme laskea ketjun jakautumistoiminnon Z, joka saadaan yksittäisen dipolin jakautumistoiminnosta Z₁ nostettuna N:teen potenssiin: Z = Z₁ⁿ. Dipolin tilat voivat olla energioiltaan E₁ = bH, E₂ = -bH ja E₃ = E₄ = 0. Yksittäisen dipolin jakautumistoiminnon laskemiseksi käytämme seuraavaa kaavaa: Z₁ = exp(-βbH) + exp(βbH) + 2 = 2[1 + cosh(βbH)].

Kun tarkastellaan systeemin käyttäytymistä äärimmäisissä lämpötiloissa, huomataan, että korkean lämpötilan tapauksessa entropia S lähestyy vakioarvoa, mutta matalissa lämpötiloissa, kun β kasvaa suureksi, entropia lähestyy nollaa. Tämä on tärkeä tulos, joka viittaa siihen, että alhaisissa lämpötiloissa ketjun osat ovat täysin järjestäytyneitä ja energia on alhaisin mahdollinen. Entropian käyttäytyminen on keskeinen osa tilastollista mekaniikkaa ja se auttaa ymmärtämään systeemin tilaa eri lämpötiloissa.

Magneettiketjun magneettisuus M voidaan laskea vapausenergian avulla ja tulos on: M = Nb sinh(βbH)/[1 + cosh(βbH)]. Tämä kaava kertoo meille, että matalissa lämpötiloissa ja suurilla kenttävoimilla magneettisuus on maksimaalinen, koska kaikki dipolit suuntautuvat kenttää kohti. Korkeissa lämpötiloissa ja matalissa kenttävoimissa magneettisuus puolestaan menee kohti nollaa, mikä tarkoittaa, että dipolit suuntautuvat satunnaisesti.

Fotonikaasun tutkiminen on aivan toisenlainen ongelma, mutta siinäkin hyödynnetään samoja perusperiaatteita tilastollisessa mekaniikassa. Fotonit, jotka ovat sähkömagneettisia aaltoja, käyttäytyvät hiukkasina, mutta niitä voidaan käsitellä myös aaltoina riippuen kontekstista. Kun tarkastellaan mustan kappaleen säteilyä, otamme huomioon, että kappale absorboi kaiken siihen osuvan säteilyn ja emittoi itse säteilyä lämpötilan mukaan. Tämä säteily perustuu siihen, että kappaleen atomit liikkuvat lämpötilan nousun seurauksena, ja liikkuvien varattujen hiukkasten aiheuttama sähkömagneettinen säteily muuntuu fotoneiksi.

Mustan kappaleen säteilyspektri riippuu lämpötilasta ja se on suhteessa fotonikaasun jakautumistoimintoon. Fotonikaasun käyttäytyminen määrittyy olosuhteilla, joissa se tapahtuu – käytännössä se on suljetussa astiassa oleva fotonikaasu, jossa seinät säteilevät ja absorboivat fotoneja. Tässä systeemissä energia on hyvin määritelty ja se määräytyy säteilyn intensiteetin ja lämpötilan perusteella.

Tässä asiayhteydessä on myös tärkeää muistaa, että tilastollisen mekaniikan käsitteet, kuten tilanjakauma, entropia ja magneettisuus, voivat laajentaa ymmärrystä monimutkaisista systeemeistä. Näiden perusilmiöiden ymmärtäminen ei ole vain tärkeää fysiikassa, vaan niillä on laajempi merkitys, sillä ne auttavat myös ennustamaan ja selittämään monia luonnonilmiöitä, jotka vaikuttavat meihin arjessa. Tällaisia ovat esimerkiksi lämpötilan ja valon vuorovaikutus aineen kanssa, mutta myös monimutkaisten systeemien kuten magneettikettujen ja fotonikaasujen tilat ja käyttäytyminen tietyissä olosuhteissa.

Miten Bose–Einstein-kondensaatio syntyi ja kehittyi: Bozen ja Einsteinin työt tilastollisessa mekaniikassa

Vuonna 1924 Satyendra Nath Bose julkaisi lyhyen artikkelin, jossa hän esitti uuden johdannon Planckin kaavan johdannaiselle. Artikkeli oli kirjoitettu alun perin englanniksi, mutta se hylättiin englantilaisessa The Philosophical Magazine -lehdessä. Bose lähetti artikkelinsa Albert Einsteinille, joka puolestaan käänsi sen saksaksi. Artikkeli julkaistiin lopulta Zeitschrift für Physik -lehdessä. Bozen artikkelin uutuus oli siinä, että hän tarkasteli säteilykaasua fotonikaasuna ja sovelsi suhteutta p=hvcp = \frac{hv}{c}. Tämän lisäksi Bose käytti tilavuustilojen tiheyttä impulssitilojen tiheytenä ja laski entropian monimutkaisista mahdollisuuksista, olettaen, että hiukkaset ovat erottamattomia. Tämä ajatus toi merkittävästi uutta käsitystä tilastolliseen mekaniikkaan ja sai myöhemmin Einsteinilta laajan hyväksynnän.

Einstein omaksui Bozen menetelmän ja sovelsi sen molekyyleihin fotonien sijasta. Hän laski systeemin WW-arvon, joka ilmaisi tilojen määrän, olettaen, että hiukkasia ei voida erottaa toisistaan. Hän pyrki maksimoimaan funktiota ln⁡W\ln W rajoitteilla, kuten Bozen tekemässä työssä: hiukkasten määrä ja energia pysyvät vakiona. Tämä lähestymistapa johti tunnettuun kaavaan, joka antaa keskimääräisen hiukkasmäärän, jolla on tietty energia EE:

NE=[A−1exp⁡(−EkBT)−1]−1N_E = \left[ A^{ -1} \exp\left(\frac{ -E}{k_B T}\right) - 1 \right]^{ -1}

Tässä kaavassa AA on Lagrangen kertoimen eksponentiaalinen muoto, jossa μ\mu on kemiallinen potentiaali. Einstein tarkasteli tätä kaavaa ensin tilanteessa, jossa A<1A < 1 (tai μ<0\mu < 0), eli matalan lämpötilan bosonikaasissa. Mutta myöhemmin, vuonna 1925, hän tutki tilannetta, jossa A=1A = 1 (tai μ=0\mu = 0), ja päätteli, että suurempi hiukkasmäärä menee kohti pienintä energiaa. Näin hän päätyi ehdottamaan bosonikaasun tiivistymistä, jota myöhemmin kutsuttiin Bose–Einstein-kondensaatioksi.

Tässä vaiheessa Bozen ja Einsteinin nimet liitettiin tiukasti yhteen, sillä Einstein käytti ensimmäisenä Bozen menetelmää. Nykyisin tämä menetelmä on olennainen osa fysiikan kirjoja, mutta tässä kirjassa esitetään suorempi lähestymistapa.

Bose–Einstein-kondensaatio on tilanne, jossa osapienet, erottamattomat bosonit (kuten fotonit) täyttävät matalimman energiatilan. Tämä ilmiö ei ole havaittavissa normaalilla lämpötilalla, mutta erittäin matalissa lämpötiloissa se voi ilmetä, mikä on olennainen osa monia nykyaikaisia kvanttikokeita.

Vuonna 1925, vain vuotta Bozen alkuperäisen artikkelin jälkeen, Paul Dirac ja Enrico Fermi tekivät suuren edistyksen tilastollisessa mekaniikassa ja kvanttipartikkelien ymmärtämisessä. Pauli esitti vuonna 1925 periaatteen, jonka mukaan kaksi elektronista ei voi olla samassa kvanttitilassa. Tämä oli puhtaasti kvanttimekaaninen ilmiö ja auttoi perustamaan tilastollista mekaniikkaa. Samanaikaisesti Fermi ja Dirac kehittivät Fermi–Dirac-tilastoa, joka tutki fermionien, kuten elektronien, käyttäytymistä. He käyttivät samanlaista lähestymistapaa kuin Einstein bosonien kohdalla, mutta rajoittivat hiukkasten määrän ja energian samalla kun sovelsivat Pauliin perustuvaa periaatetta. Dirac puolestaan yleisti tämän tilaston näyttäen, että oli olemassa kahta erilaista hiukkastyyppiä: bosoneja ja fermioneja.

Fermi–Dirac-tilasto mahdollistaa elektronien käyttäytymisen laskemisen metalleissa ja se on keskeinen osa nykyaikaista materiaali- ja kvanttimekaniikkaa. Esimerkiksi vuonna 1927, lähellä Diracin ja Fermin tutkimuksia, Sommerfeld kehitti elektronien teorian metalleissa käyttämällä Fermi–Dirac-tilastoa, joka mahdollisti tarkempia malleja elektronin liikkeelle metalleissa.

Vuoteen 1940 mennessä kaikki tarvittavat työkalut tilastollisten ja kvanttihiukkasten tutkimiseen olivat olemassa. Tällöin Fierz ja Pauli tekivät yhteyden spinin ja fermionien sekä bosonien välillä, mikä osaltaan oli ratkaiseva kehityksen askel kohti tämän päivän ymmärrystä kvanttifysiikasta.

Nykyisin tilastollisen mekaniikan sovellukset ovat laajentuneet ja sitä käytetään monilla muillakin alueilla kuin vain fysiikassa. Esimerkiksi kvanttifysiikan ja tilastollisen mekaniikan menetelmiä on alettu soveltaa taloustieteissä (econophysics), maantieteessä sekä jopa sosiaalitieteissä kuten sosiologiassa ja psykologiassa. Näin ollen, vaikka tilastollinen mekaniikka alun perin syntyi fysikaalisista tarpeista, sen vaikutus ulottuu laajalle muille tieteenaloille, joissa sen menetelmät voivat tuoda uusia näkökulmia ja ratkaisuja.

Endtext

Miten aivohalvauksen tautitaakka mitataan: prevalenssiin ja insidenssiin perustuvat YLD- ja DALY-laskelmat
Miten fotoniikkateknologiat voivat tukea uusiutuvia energiajärjestelmiä teollisuudessa 5.0?
Miten tietojen järjestys ja rakenne vaikuttavat liikenneonnettomuuksien analysointiin ja tulkintaan?
Miten vanhemmat voivat kehittää vuorovaikutustaitojaan lapsen kanssa?