Kahden vektori kentän k ja l pinnan muodostaminen on tärkeä käsite geometrian ja differentiaaligeometrian alueilla. Käytännössä tämä tarkoittaa, että molemmat kentät ovat pinnan tangenteja tietyssä suhteessa toisiinsa. Tämä voidaan tarkastella seuraavalla tavalla. Otetaan yksi käyrä C, joka on tangentti kentälle l, ja tarkastellaan kaikkia käyriä, jotka ovat tangentteja kentälle k ja leikkaavat käyrän C. Näistä muodostuu pinta S, joka on syntynyt käyrästä C, joka on tangentti kentälle l.

On selvää, että kentän l vektorit, jotka eivät ole tangentteja käyrälle C, eivät välttämättä ole tangentteja pinnalle S. Kuitenkin, jos ne ovat tangentteja kaikille tällaisille pinnoille S, voidaan sanoa, että kentät k ja l ovat pinnan muodostavia.

Vektori kenttä F1∗l saadaan kuljettaen kentän l vektoreita pitkin k-käyrää liittyvän kartoituksen avulla. Tämä luo kartoituksen, joka vie pinnan S vektorit toisiin vektoreihin, jotka myös ovat tangentteja pinnalle S. Näin ollen voimme sanoa, että kenttien k ja l vektorit, jotka liittyvät pintaan S, ovat kaikkialla tangentteja, jos ne jollain tavoin laajentuvat k- ja (F1∗l) vektoreihin.

Matemaattisesti tämän pinnan muodostamisen ehdot voidaan esittää seuraavasti: jos lα on tangentti käyrälle C ja F1∗l on kenttä, joka saa vektorit, jotka ovat tangentteja pinnalle S, niin seuraava yhtälö pätee:

lα=a~kα+b~(F1∗l)lα = ãkα + b̃(F1∗l)

missä ã(x) ja b̃(x) ovat satunnaisia skalaari funktioita, ja b̃(x) ̸= 0. Tässä on edellytys, että kentät k ja l eivät ole lineaarisesti riippuvaisia, eli b̃(x) ei voi olla nolla. Tämän ehdon täyttyessä kentät k ja l muodostavat pinnan S, ja niiden vektorit ovat pinnan tangentteja kaikissa pisteissä.

Tämän lisäksi voimme tarkastella Lie-johdannaista (tai Lie-derivaattaa), joka kertoo, kuinka kentän l vektorit muuttuvat pitkin k-käyrää. Tämä muutos määritellään seuraavasti:

(£l)α=[k,l]α(£l)α = [k, l]α

Täten, jos kenttien k ja l vektorit täyttävät ehdon:

[k,l]α=akα+blα[k, l]α = akα + blα

niin ne muodostavat pinnan.

Matemaattisesti tarkasteltuna, tämä tilanne vaatii, että kenttien k ja l vektorit ovat yhdistettävissä tietyllä tavalla, ja tämä yhdistäminen määrittelee pinnan muodostavan kentän. Ehdon täyttyminen varmistaa, että kenttä k ja kenttä l ovat pinnan muodostavia vektori kenttiä.

Kun tarkastellaan kahta kenttää, joiden vektorit ovat tangentteja pinnalle S, voidaan sanoa, että nämä kentät muodostavat pinnan, jos ja vain jos edellä mainittu ehto pätee. Näin ollen geometrian ja fysikaalisten kenttien ymmärtäminen näiden eheyksien ja suhteiden kautta antaa syvällisemmän käsityksen siitä, miten vektori kentät voivat vaikuttaa pinnan muotoutumiseen ja käyttäytymiseen.

Mitä on tärkeää ymmärtää tämän lisäksi?

Pinnan muodostavat kentät liittyvät syvällisesti tilan symmetrioihin ja geometrian rakenteisiin. Kenttien k ja l erityinen vuorovaikutus voi määrittää, miten pinta käyttäytyy ja miten vektorit liikkuvat pitkin tätä pintaa. Tämän ymmärtäminen on keskeistä monissa sovelluksissa, kuten Riemann-geometriassa, jossa avaruuden symmetriat ja vektorikentät määrittävät avaruuden kaarevuuden ja käyttäytymisen.

Pinnan muodostavien kenttien tutkimus auttaa myös ymmärtämään, miten geometristen objektien välinen yhteys voi vaikuttaa itse geometrian rakenteeseen. Tässä yhteydessä on tärkeää ottaa huomioon, että nämä kentät eivät ole vain matemaattisia konstruktioita, vaan ne voivat olla myös fysikaalisia kenttiä, kuten gravitaatiokentät tai sähkömagneettiset kentät, joiden vuorovaikutukset määrittävät luonnonilmiöiden käyttäytymisen.

Miksi Einsteinin ja Strausin malli ei ole vakaa: L-T-mallien tarkastelu ja horisontit

Einsteinin ja Strausin tulos oli monien vuosien ajan yleisesti hyväksytty suhteellisuusteorian tulkinta, mutta myöhemmät tutkimukset ovat osoittaneet, että tämä malli ei ole täysin vakaa. Erityisesti silloin, kun Einsteinin ja Strausin konfiguraatio otetaan yksittäisen hetkellisinä alkuolosuhteina Lemaître–Tolman (L-T) -mallille, kaavan (18.68) täyttymistä ei voida taata. Sato (1984) ja muut siihen viittaavat tutkimukset, kuten Lake ja Pim (1985), osoittavat, että jos m < μ(rb), vakuuoli laajenee nopeammin kuin Friedmannin tausta, mutta jos m > μ(rb), alkuolosuhteet voidaan määrittää siten, että vakuuoli alkaa romahtaa. Tämä osoittaa, että Einsteinin ja Strausin konfiguraatio on epävakaa ja herkkä häiriöille, mikä tekee siitä poikkeuksellisen ja epärealistisen tilanteen. Sama ilmiö tutkittiin toisella menetelmällä Gautreau (1984) tutkimuksessa, jossa käytettiin E = 0 L-T -mallia, esitettynä kaarevuuskoordinaateissa.

Gautreaun mallissa keskellä on äärellinen massakeskittymä, joka on upotettu laajenevaan taustaan, joka ulottuu keskeiseen objektiin asti. Tämä malli osoittaa, että tietyt kiertoradat eivät ole mahdollisia. Kosmisen laajenemisen vuoksi aine virtaa jokaisesta R:n vakion kentästä, ja tämä johtaa siihen, että planeetat liikkuvat vähenevän gravitaatiovoiman vaikutuksesta, mikä puolestaan johtaa kiertoratojen spiraalimaiselle laajenemiselle. Gautreau johdatti Newtonin kaavan kiertoradan säteen muutoksen nopeudelle tällaisessa asetelmassa, joka on:

dRdt=8πR4Hρ2μ\frac{dR}{dt} = \frac{8\pi R^4 H \rho}{2\mu}

Missä RR on kiertorata, HH on Hubble-parametri ja ρ\rho on kosmisen aineen keskimääräinen tiheys. Vaikutus on pieni, mutta se on olemassa. Esimerkiksi Saturnuksen kohdalla tämä vaikutus on noin 6×10−186 \times 10^{ -18} metriä vuodessa, joka on käytännössä mittaamaton. Sen sijaan, jos tarkastellaan tähteä Andromedan galaksin reunoilla, vaikutus voisi olla jopa 1100 km vuodessa. Tämä osoittaa, että vaikka vaikutus on pieni, se on kuitenkin olemassa ja osoittaa, että Einsteinin ja Strausin malli on epätarkka ja epävakaa verrattuna Gautreaun malliin.

L-T-malleissa, joissa Λ=0\Lambda = 0, havaitaan, että niin kutsutut ilmeiset horisontit (AH) ympäröivät keskikohtaa sferisesti. Nämä horisontit määritellään suljettuina ansaittuina alueina, joilta ei voi lähettää säteilevää valopulssia, koska sekä ulospäin suuntautuvat että sisäänpäin suuntautuvat valopulsit konvergoituvat. Tällöin geodeettiset käyrät määrittävät horisontin tarkan sijainnin. Sferisellä symmetrialla varustetussa L-T-mallissa tarkastelu rajoittuu geodeettisiin säteisiin, jotka lähtevät pinnalta r=vakior = \text{vakio}.

Kosmisen laajenemisen tai romahtamisen kannalta tärkeää on ymmärtää, että ilmeinen horisontti määritellään sillä hetkellä, kun sädepinta RR lakkaa laajenemasta säteiden mukana ja alkaa pienentyä. Tämä ilmiö on esitetty tarkemmin lukuun 18.8 ja liittyy kiinteästi siihen, että valo ei pääse ulos tästä horisontista, vaan kaikki säteet menevät kohti singulariteettia. Esimerkiksi kaavan (18.77) ja radiaalisten null-geodeettien pohjalta voidaan laskea horisontin sijainti ja sen dynamiikka:

R(t,r)=2MR(t, r) = 2M

Tässä MM on massan suuruus ja RR on geodeettisen pinnan säde. Kun tarkastellaan laajenevia L-T-malleja, on selvää, että aine jää ajallisesti menneeseen ilmeiseen horisonttiin ennen, kuin se saapuu kosmiseen alkusingulariteettiin. Tämä on keskeinen ero Einsteinin ja Strausin mallin ja Gautreaun mallin välillä.

L-T-malleissa mustien aukkojen ja muiden äärimmäisten kohteiden tutkimuksessa ilmenevä ilmeinen horisontti on tärkeä osa avaruuden ja ajan rakenteen ymmärtämistä. On myös huomioitavaa, että numeerisissa laskelmissa on tärkeää käsitellä tarkasti horisontin maksimipistettä, koska väärinymmärretty tulkinta voi johtaa vääriin johtopäätöksiin, kuten ’kriittisten pisteiden’ olemassaoloon.

Miten ohjelmistojen haavoittuvuuksien ennustaminen perustuu tekstianalyysiin ja koneoppimismalleihin?
Miten äänestäjien oikeuksia rajoitetaan: Tapaus Georgia ja rodullinen äänestäjien tukahduttaminen Yhdysvalloissa
Kilpailukyvyn tasapaino ja sen dynamiikka taloustieteessä
Mikä tekee merieläimistä tehokkaita saalistajia?
Miten menneisyyden varjot kietoutuvat nykyhetkeen ja luovat uhan?
Mikä rooli hiirien adenovirus- ja sytomegalovirusinfektioilla on laboratoriotutkimuksissa ja taudinaiheuttajana?