Miten Lemaître–Tolman -mallin inhomogeneiteetti vaikuttaa CMB-säteilyyn ja galaksijoukkoihin?

Lemaître–Tolman (L–T) -geometria on tehokas työkalu, kun pyritään ymmärtämään, kuinka suurten rakenteiden, kuten galaksijoukkojen, ja paikallisten tiheysvaihtelujen vaikutus heijastuu kosmisen mikroaaltotaustan (CMB) säteilyyn. L–T-mallissa tilan kaarevuus määräytyy massan ja energiatiheyden jakautumisen mukaan, ja se voi sisältää paikallisia inhomogeeneisuuksia, jotka eroavat universumin keskimääräisestä rakenteesta, kuten Friedmannin mallin ennustama.

L–T-mallissa säteilyn käyttäytyminen muistuttaa paikallisesti Friedmannin mallia, ja näin ollen lämpötilan kontrastin laskeminen eri reiteillä on mahdollista. Tämä mahdollistaa laajemman ymmärryksen siitä, miten paikalliset tiheysvaihtelut, kuten galaksijoukot ja niiden ympärillä olevat massakeskittymät, voivat vaikuttaa CMB-säteilyyn. Lämpötilan vaihtelut voivat olla pienimuotoisia, mutta ne tarjoavat silti arvokkaita tietoja maailmankaikkeuden rakenteen tutkimiseen.

L–T-mallia käytettiin ensimmäistä kertaa Raine ja Thomas (1981) tutkimuksessa, jossa he tutkivat suurimittakaavaisia tiheysvaihteluita ja niiden vaikutusta CMB-säteilyyn. Heidän tuloksensa osoittivat, että säteilyn reitit voivat kokea lämpötilan vaihteluita sen mukaan, kuinka ne kulkevat massakeskittymien läpi. Tämä ilmiö on erityisen merkittävä, kun tarkastellaan suuria rakenteita, kuten Suurta Vedättä tai Neitsytin galaksijoukkoa.

Myöhemmin tutkimukset, kuten Arnau, Fullana, Monreal ja Saez (1993, 1994), jatkoivat tätä tutkimusta ja kehittivät numeerisia malleja, jotka simuloivat lämpötilan kontrastia CMB-säteilyssä L–T-mallin avulla. He pystyivät sovittamaan nämä mallit havaintoihin Suuresta Vedästä ja Neitsytin galaksijoukosta. Tutkimuksessa huomattiin, että suurin odotettavissa oleva lämpötilan anisootropia oli noin 3 × 10−5, ja se esiintyi kulma-asteikolla 10°. Tämä on verrattavissa aikalaisiin mittauksiin, joissa ΔT/T oli noin 5 × 10−6 (Smoot et al., 1992).

L–T-mallin soveltaminen CMB-säteilyyn tuo esiin tärkeän havainnon: vaikka paikalliset tiheysvaihtelut voivat teoriassa aiheuttaa lämpötilan vaihtelua, tämä vaikutus on hyvin pieni ja voi tulla esiin vasta, kun mittaustarkkuus saavuttaa tason 10−6, kuten tapahtui 1990-luvulla. Tämä korostaa sitä, kuinka tärkeitä tarkat mittaukset ja herkät havainnot ovat, kun pyritään ymmärtämään maailmankaikkeuden suuria rakenteita ja niiden vaikutusta säteilyyn.

Kun tarkastellaan L–T-mallin yhteensovittamista muiden mallien, kuten Schwarzschildin ja Friedmannin ratkaisujen, kanssa, voidaan huomata, että L–T-malli tarjoaa tehokkaan tavan tutkia paikallisia inhomogeeneisuuksia. Esimerkiksi L–T-mallin ja Schwarzschildin ratkaisujen yhteensovittaminen on erityisen hyödyllistä, kun käsitellään galaksijoukkojen ja muiden suurten rakenteiden syntyä ja niiden vaikutuksia säteilyyn.

Mielenkiintoisena lisänä on, että vaikka L–T-mallin avulla voidaan laskea ja ennustaa lämpötilan kontrasteja, ne eivät ole aina helposti havaittavissa CMB:stä. Aikaisempien tutkimusten ja mittausten tarkkuus on ollut riittämätön havaitsemaan tällaisia pieniä vaihteluita, mutta modernit instrumentit, kuten WMAP ja Planck, ovat saavuttaneet riittävän herkkyyden, jolloin tällaisten vaikutusten mittaaminen on tullut mahdolliseksi.

L–T-malli ja sen laajennukset, kuten L–T/Friedmann -yhdistelmät, tarjoavat siis syvällisen käsityksen siitä, miten suurten rakenteiden ja paikallisten tiheysvaihteluiden vaikutus voi ilmetä CMB-säteilyssä. Tämä tutkimus ei ainoastaan tarjoa tietoa maailmankaikkeuden rakenteesta, vaan se myös auttaa meitä ymmärtämään, miten galaksijoukot, tyhjiöt ja muut kosmologiset ilmiöt vaikuttavat ympäröivään säteilyyn ja maailmankaikkeuden suurempiin ilmiöihin.

Miksi Szekeresin ja Szafronin mallit ovat keskeisiä kosmologian epäyhtälöissä?

Kun tarkastellaan kosmologisia malleja, joissa otetaan huomioon aineen epähomogeenisuus ja anisotropia, Szekeresin ja Szafronin mallit tarjoavat syvällisen näkökulman. Näissä malleissa perinteisen Friedmannin homogeenisen taustamallin oletukset laajenevat kuvaamaan tilan ja ajan riippuvaista epätasaisuutta, mikä näkyy erityisesti tiheys- ja painevaihteluissa.

Szekeresin mallien G–W (Goode–Wainwright) esityksessä lineaarinen häiriöyhtälö muuntuu yllättäen lineaariseksi Raychaudhuri-yhtälöksi. Tämä mahdollistaa epähomogeenisen aineen virtausten ja laajenemisen kuvaamisen tarkemmin. Kasvava häiriömuoto liittyy massan jakauman epätasaisuuteen, kun taas häviävä muoto liittyy alkuräjähdyksen ajalliseen ei-yhtenäisyyteen. Tämä erotus on kosmologisesti merkittävä, sillä se yhdistää alkuperäisen alkuräjähdyksen ajoituksen epäyhtenäisyyden ja myöhemmän rakenteiden muodostumisen mekanismit samaan matemaattiseen kehykseen.

Erityisesti β,z ≠ 0 -alat ovat mielenkiintoisia, sillä niissä syntyy aikataulultaan ei-yhtenäisiä alkuräjähdyksiä ja mahdollisesti viipaloitumistyyppisiä singulariteetteja. β,z = 0 -alaperheessä alkuräjähdys on aina samanaikainen, mikä tuo malliin selkeän symmetrian. Shell-crossing-singulariteetit ilmaantuvat usein vasta myöhemmin ja ovat tutkimisen arvoisia, koska ne kuvaavat aineen virtausten samanaikaista törmäystä, mikä vaikuttaa aineen jakauman kehitykseen.

Nämä mallit yhdistävät paikallisen epähomogeenisuuden ja anisotropian kosmologiseen dynamiikkaan ja avaavat mahdollisuuksia tutkia sellaisia rakenteita, joita perinteiset isotrooppiset mallit eivät tavoita. Esimerkiksi 3-ulotteinen toruksen muotoinen universumi, kuten Seninin malli, havainnollistaa tilan topologian ja geometrian monimutkaisuutta kosmologisessa mittakaavassa.

On tärkeää huomata, että Szekeresin mallit lineaaristuvat tietyissä rajoissa Friedmannin malleiksi, mutta yleisesti F:n (häiriöfunktio) fyysinen merkitys ei ole yksiselitteinen. Se kuvaa tietynlaista taustan muokkausta, ei välttämättä yksinkertaisesti tiheyshäiriötä. Tämä korostaa sen käsitteellistä roolia epähomogeenisuuden tutkimuksessa. Lisäksi singulariteetit, kuten Big Bang ja shell crossing, ovat matemaattisia ja fyysisiä ilmiöitä, joiden tarkka luonne ja vaikutukset vaativat syvällistä ymmärrystä.

Miten suhteellisuus selittää planeettojen kiertoradat aurinkokentässä?

Yleisessä suhteellisuusteoriassa, kuten myös Newtonin teoriassa, oletetaan, että planeetat liikkuvat radoillaan kuin pistemassat, joiden omat gravitaatiokentät ovat heikkoja ja ne voidaan jättää huomiotta verrattuna Auringon gravitaatiokenttään. Nämä kaksi oletusta ovat itse asiassa ristiriidassa keskenään. Pistemassan gravitaatiokenttä on singulariteetti massan sijainnissa, ja se on näin ollen voimakkaampi kuin mikään ulkoinen kenttä. Newtonin teoriassa tämä ongelma ratkaistaan havainnoimalla, että laajennetun kehon massakeskipiste seuraa samaa rataa kuin pistekeho, jolla ei ole itse-gravitaatiota. Massakeskipisteessä kehon oma gravitaatiokenttä katoaa. Suhteellisuusteoriassa ei kuitenkaan ole edes yleisesti hyväksyttyä määritelmää massakeskipisteelle, vaikka työtä tämän ongelman ratkaisemiseksi tehdään edelleen (ks. esim. Dixon, 2015). Näin ollen, kun tarkastelemme pistekehojen ratoja suhteellisuudessa, käytämme itse asiassa teoriaa alueella, jota ei ole vielä kehitetty täydellisesti. Tästä huolimatta nämä tulokset ovat yhdenmukaisia havaintotestien kanssa.

Aikaparameetri s on siis s = c × (fyysinen aika), missä c on valon nopeus. Tässä käytämme fysikaalisia yksiköitä, joten seuraavaksi käytämme aikakoordinaattia ct. Tämä alue on esimerkki aikarakenneesta, joka noudattaa Kantowski–Sachs-symmetriaa. Itse asiassa se on Einsteinin yhtälöiden ainut tyhjiöratkaisu tällä symmetrialla.

Sferisesti symmetrisessä gravitaatiokentässä geodeettien laskenta tuottaa seuraavat Christoffel-symbolit:

Tämä saadaan ratkaisuksi seuraaville geodeettisille yhtälöille. Ensimmäinen geodeettiyhtälö, joka liittyy aika- ja etäisyyspisteisiin, on:

Samoin saamme myös muiden koordinaattien yhtälöt:

Aikaparameetri ja kinematiikka määrittävät edelleen liikettä ja kiertoratojen muotoja. Ratkaisujen avulla voidaan tutkia, kuinka geodeettit saavat muotonsa ja minkälaiset alkuarvot vaikuttavat liikkeen käyttäytymiseen. Samalla saamme myös käsityksen siitä, miten suhteellisuusteoria eroaa Newtonin mekaniikasta, erityisesti suurissa massakeskittymissä, kuten Auringossa.

On myös tärkeää ymmärtää, että vaikka tämä malli antaa meille tarkempia ennusteita planeettojen liikkeistä, ne eivät ole täysin tarkkoja, sillä ne perustuvat edelleen oletuksiin, jotka voivat olla epätäydellisiä suuremmassa mittakaavassa. Ajan kuluessa ja tieteen kehittyessä voi tulla esiin uusia tekijöitä, jotka vaikuttavat kiertoratoihin ja gravitaatiokenttiin.

Planeettojen radat ja suhteellisuuden vaikutus niiden liikkeisiin

Planeettojen liikkeet auringon gravitaatiokentässä voidaan kuvata likimääräisesti käyttäen Newtonin gravitaatiolakia ja keskeistä voimaa, mutta erityisesti vahvoilla gravitaatiokentillä, kuten mustien aukkojen tai neutronitähtien ympärillä, tarvitaan tarkempia suhteellisteoriaan perustuvia malleja. Tämä erityisesti tarkoittaa sitä, että normaalisti käytetyt ympyräratojen lähestymistavat eivät enää päde, ja on turvauduttava numeerisiin laskelmiin tai elliptisten funktioiden käyttöön.

Yksinkertaisessa likimääräisessä ratkaisussa voidaan käyttää elliptistä rataa, jossa eksentrisyys (ε) on pieni, kuten auringon ympäri kiertävillä planeetoilla. Esimerkiksi Pluton eksentrisyys on 0,2444 ja Merkuriuksen 0,205628, mutta muilla planeetoilla eksentrisyys on vielä pienempi. Elliptinen liike voidaan kirjoittaa muotoon σ₀ = 1 + cos(φ − φ₀), missä φ on kulma ja φ₀ alkuperäinen vaihe. Kun tämä lisätään likimääräiseen ratkaisun laskentaan, saadaan peruslähestymistapaan korjaus, joka ottaa huomioon eksentrisyyden vaikutukset.

Ensimmäisen kertaluvun lähestymistavassa oletetaan, että etäisyys planeetasta aurinkoon, σ, on σ₀ + σ₁, jossa σ₁ on pieni suurusluokaltaan α. Tämä tarkoittaa, että σ₁ voidaan ilmaista korjauksena, joka on verrannollinen α:han, ja ratkaisun kaavat saavat lisää komponentteja, kuten ε² cos²(φ − φ₀), joka ottaa huomioon planeetan radan pienen eksentrisyyden.

Kuitenkin tällaiset approksimaatiot johtavat usein ei-toivottuihin ja ristiriitaisiin tuloksiin, kuten siihen, että r → 0 jossain vaiheessa tai r → ∞ jollain toisella sektorilla. Tällaiset ilmiöt voidaan selittää paremmin rajoittamalla laskelmia ja käyttämällä sopivia likimääräisiä funktioita, jotka ovat rajattuja kaikilla α:n arvoilla. Tällöin voidaan käyttää korjattuja malleja, jotka estävät epärealististen ratkaisujen syntymisen ja tekevät tuloksista järkevämpiä.

Yksi tärkeä efekti, joka liittyy planeettojen ratoihin, on perihelionin siirtymä. Tämä ilmiö on erityisesti merkittävä Merkuriuksen radassa, jossa se voi aiheuttaa pienen kulman siirtymän jokaisessa radassa. Tämä efekti on selitettävissä suhteellisuusteoriassa, ja sen avulla saatiin selitys Merkuriuksen radan liikkeelle, joka poikkesi Newtonin teoriasta. Planeetan perihelionin siirtymä voidaan laskea suhteellisuuskorjauksilla, ja se on erityisen tärkeä Merkuriuksen tapauksessa, koska sen rata on eksentrisempi kuin muiden planeettojen.

Perihelionin siirtymä voidaan laskea kaavalla Δφ ≈ 2πα/p, jossa α on suhteellisuusteorian mukainen korjaus, ja p on planeetan etäisyys auringosta. Tämä siirtymä kumuloituu ajan myötä ja mitataan tavallisesti kaariminuutteina per vuosisata. Esimerkiksi Merkuriuksen perihelionin siirtymä on noin 43,03 kaariminuuttia per vuosisata, mikä vastaa tarkasti suhteellisuusteorian ennustetta.

Kun tätä siirtymää verrataan havaintoihin, voidaan havaita, että lähes kaikki havaittu siirtymä selittyy geosentrisestä koordinaatistosta johtuvilla tekijöillä, ja pieni osa jää selitettäväksi suhteellisuusteorian ennusteilla. Muiden planeettojen osalta suhteellisuuden vaikutus on huomattavasti pienempi, mutta silti kiinnostava. Esimerkiksi Marsin ja Venusin osalta perihelionin siirtymä on pienempi, koska niiden radat ovat lähes ympyräisiä ja eksentrisyys on pieni.

On tärkeää huomata, että vaikka suhteellisuus korjaa joitain planeettojen liikkeitä tarkasti, planeettojen liikkeisiin vaikuttavat myös muut tekijät. Esimerkiksi muiden planeettojen gravitaatio häiritsee niiden ratoja, ja nämä vaikutukset on otettava huomioon laskelmissa. Samalla on tärkeää ymmärtää, että numeeriset laskelmat ovat usein tarpeen, koska luonnossa on niin monta häiriötekijää, että analyyttiset ratkaisumallit eivät aina ole riittäviä.

Mitä on suhteellisuusteorian reciprocity-lause ja kuinka se vaikuttaa etäisyyksien mittaamiseen avaruudessa?

Reciprocity-lause on olennainen osa suhteellisuusteoriaa ja sen avulla voidaan ymmärtää, kuinka valonsäteiden kulku ja mittausmenetelmät liittyvät toisiinsa. Tämä teoreettinen väite luo yhteyksiä havaitsijan etäisyyksiin valonlähteestä ja antaa mahdollisuuden ymmärtää geometristen suhteiden käyttäytymistä suhteellisessa avaruudessa. Reciprocity-lauseen perusteet juontuvat geodeesien poikkeamien käyttäytymisestä ja erityisesti valonsäteiden kulun ja niiden alueet etäisyyksien määrittämisessä.

Oletetaan, että valonlähteestä, kuten galaksista, lähtee valonsäde, joka kohtaa havaitsijan O. Valonsäteiden joukko, joka ympäröi keskimmäisen säteen, täyttää tietyllä hetkellä ja tietyssä suunnassa havaitsijan O:n ympärillä olevan tilan. Tämä havaitsijan etäisyys saadaan määritettyä vertaamalla valonsäteen kulkua ja valonlähteen lähettämää säderyhmää. Läheltä valonlähdettä G tuleva säderyhmä täyttää avoimen kulman, joka heijastaa havaitsijan O:n tilan ja alueen suhteita, jotka määritellään yhtälöiden avulla.

Tämä tilanne luo mielenkiintoisia geometristen suhteiden yhteyksiä: etäisyyksiä määritetään havaitsijan ja valonlähteen välillä samalla tavoin, vaikka mittaukset eroavat toisistaan. Matemaattisesti tämä yhteys ilmenee seuraavalla lauseella:

Tässä $r_O$ on havaitsijan etäisyys ja $r_G$ on valonlähteen etäisyys, ja $z_O$ on havaitsijan mittaama punasiirtymä. Tämä kaava ilmentää, kuinka suhteellisuusteoria selittää etäisyyksien eroamisen riippuen havaitsijan liikkeestä ja valonlähteen lähettämästä säderyhmästä.

Geodeesien poikkeamien käyttäytyminen on keskeinen osa reciprocity-lauseen todistusta. Geodeetinen poikkeama kertoo, kuinka vierekkäiset geodeetit (suorat tai kaarevat polut, joita valonsäteet kulkevat) eroavat toisistaan. Tämä eroaminen kuvastaa sitä, kuinka valonsäteiden kulku muuttuu avaruuden kaarevuuden vuoksi. Geodeesin poikkeama voidaan ilmaista yhtälöiden avulla, jotka ottavat huomioon avaruuden kaarevuuden ja valonsäteiden kulkureitit. Tämä poikkeama on mitattavissa tietyllä tarkkuudella, mikä auttaa arvioimaan havaitsijan ja valonlähteen välisten etäisyyksien tarkkuuden.

Käytännössä tämä tarkoittaa, että valonsäteiden kulku ei ole yksinkertaista suoraa linjaa, vaan se voi poiketa kaarevassa avaruudessa. Siksi valonsäteet voivat kohdistua eri kulmista havaitsijalle ja se, kuinka nämä kulmat jakautuvat, voi kertoa meille etäisyyksistä ja avaruuden rakenteesta. Avaruuden kaarevuus ei siis ainoastaan vaikuta siihen, kuinka valonsäteet kulkevat, vaan myös siihen, kuinka mitataan etäisyyksiä galakseihin ja muihin avaruuden objekteihin.

On myös tärkeää huomata, että tämä lause pätee vain silloin, kun havaitsija ei ole minkäänlaisten heijastavien tai absorboivien pintojen, kuten pimeän aineen tai mustien aukkojen, välittömässä läheisyydessä. Muutoin etäisyyksien mittaaminen saattaa olla epätarkkaa tai jopa mahdotonta, koska säteet voivat hajota tai käpertyä, eikä oikeaa etäisyyttä voida määrittää. Tästä syystä kaavan käyttö on rajattu tietyissä tilanteissa, joissa valonsäteet voivat kulkea ilman merkittäviä häiriöitä.