Tutkimme, kuinka yleiset kaavat, kuten ne, jotka sisältävät lausekkeita muotoa (α ∧ β) → γ, voidaan liittää monigrafihomomorfismiin ja upotukseen käsiteltävällä pinnalla. Keskeinen ajatus on yhdistää matemaattinen käsitteellisyys ja visuaaliset rakenteet pintojen upotusten kautta. Tämä lähestymistapa tuottaa uusiin näkökulmiin, miten loogiset lauseet voidaan tulkita geometrisina esityksinä ja kuinka kaavat voivat ilmestyä topologisesti merkittäviin muotoihin.

Ensinnäkin on huomattava, että mikäli kaava f on määritelty loogisella kaavalla, joka täyttää tiettyjä ehtoja, kuten lausekkeiden (α ∧ β) → γ ja (¬α ∧ ¬β) → ¬γ esiintyminen, voidaan luoda monigrafihomomorfismi f: G → H, joka liittyy kyseisiin lauseisiin ja mahdollistaa kaavan esittämisen topologisessa muodossa. Tämä prosessi tekee kaavasta visualisoitavan upottamalla sen pinnalle käsiteltäväksi.

Tämän tavoitteen saavuttamiseksi seuraamme lemman 16.2 todistusta, joka näyttää, kuinka monigrafihomomorfismi voidaan muodostaa kyseisistä kaavoista. Tämä homomorfismi saadaan liittämällä tietyn tyyppisiä reunoja ja kaaria G ja H -grafien välillä. Kunkin kaavan lauseet muuntuvat graafisiksi rakenteiksi, joissa muuttujat (α, β, γ) ja niiden negatiiviset versiot saavat topologisen ilmentymän. Prosessi toistuu iteratiivisesti, missä jokaiselle kaavalle luodaan vastaava piste, ja nämä pisteet yhdistyvät edellisiin rakenteisiin, mikä luo monimutkaisempia ja rikkaampia geometristen rakenteiden yhdistelmiä.

Kaavan analyysissä kiinnitetään huomiota erityisesti kaavan lauseiden yksilöllisyyteen. Kuten Lemma 16.2 osoittaa, disjunktiot (αj ∧ βj) → γj ja niiden negatiiviset versiot voivat muodostaa graafien osia, jotka määrittelevät tarkasti, kuinka muuttujat ja niiden negatiivit liittyvät toisiinsa. Tämä luo moninkertaisia, mutta toisiaan täydentäviä rakenteita, jotka vaikuttavat myös siihen, kuinka pintojen upotuksia voidaan käyttää graafien luomisessa.

Uppoutumisen ja graafihomomorfismien yhteys ilmenee erityisesti siinä, kuinka kummankin osan (grafiikka ja geometria) muuttujat ja topologiset ominaisuudet toimivat yhdessä. Tämä tutkimus paljastaa syvällisempiä yhteyksiä loogisten kaavojen ja graafiteorioiden välillä, ja kuinka ne voivat vaikuttaa pinnan upotuksiin, erityisesti käsitelmien ja muiden topologisten rakenteiden yhteyksissä.

Jatkamme toteamalla, että tämän teoreeman todistuksessa ja sen soveltamisessa on avainasemassa se, että jokaisella muuttujalla ja sen vastaavalla käsitteellä on tarkasti määritellyt preimage-arvot, mikä mahdollistaa graafihomomorfismien ja niiden upotusten käytön tarkasti. Tämän rakenteen ymmärtäminen on ratkaisevan tärkeää, jotta voimme tutkia matemaattisesti loogisten kaavojen merkitystä ja niitä koskevia topologisia rakenteita syvällisemmin.

Kaavan rakenteet ja niiden visuaaliset esitykset, kuten monigrafihomomorfismit, tarjoavat mahdollisuuden ymmärtää syvemmin kaavojen monimutkaisia suhteita. Käsitelmien ja pintojen upotukset eivät ole vain abstrakteja matemaattisia käsitteitä, vaan niillä on myös konkreettisia sovelluksia monilla aloilla, kuten tietojenkäsittelytieteessä ja verkkoteoriassa.

Miten rakentaa ja ymmärtää nousevia kartoituksia graafeista upotuksiin

Geometrisesti tarkasteltuna tämä tähti on kirja. Kun molemmat, sekä a että b, ovat säännöllisiä asteiden kahden huippuja, on tärkeää valita huolellisesti "selkärangan reunat" a × b:n tapauksessa niin, että valintamme on yhteensopiva involuution kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että jos x × y ja x′ × y′ ovat a × b:n "selkärangan reunat", niin reunat y × x ja y′ × x′ ovat b × a:n "selkärangan reunat.

Aiemmin mainittiin, että cv:n arvot neliöissä vastaavat cw:n arvoja niiden diagonaaleilla. Tämän vuoksi, jotta voidaan todistaa δc′w = cw, riittää näyttää, että c′w(a × b) + c′w(a′ × b′) on yhtä suuri kuin c′v:n arvojen summa täydellisessä neliössä, joka sisältää diagonaalin {a × b, a′ × b′} ∈ (2) E(Gf).

Väittäessämme, että huipun a × b:n kohdalla Gf:n täydessä neliössä S, c′w:n arvo a × b:llä on yhtä suuri kuin c′v:n arvojen summa S:n kahdesta reunasta, jotka ovat a × b:hen liittyviä. Jos a ja b ovat säännöllisiä huippuja, joiden aste on yksi, tämä seuraa c′w:n määritelmästä. Muuten S sisältää täsmälleen yhden kahdesta a × b:n selkärangan reunasta. Merkitsemme tätä reunaa e+ ja S:n toisen a × b:hen liittyvän reunan nimeämme g:ksi. Yhdessä tyhjän neliön S′ kanssa S muodostaa täydellisen sivun a × b:n kirjassa. Toinen selkärangan reuna e− ja g ovat S′:n reunoja, jotka liittyvät a × b:hen. S′:n kaksi muuta reunaa eivät leikkaa Gf:tä, joten c′v:n arvo niillä on nolla. Tämän vuoksi, koska 0 = cv(S′) = δc′v(S′) = c′v(e−) + c′v(g), cochain c′v ottaa saman arvon sekä e− että g reunoilla. Tämän seurauksena c′w(a × b) = c′v(e+) + c′v(e−) = c′v(e+) + c′v(g), missä e+ ja g ovat S:n reunat, jotka liittyvät a × b:hen.

Täten voimme päätellä, että jokaiselle täydelliselle neliölle S, joka sisältää diagonaalin {a × b, a′ × b′} ∈ (2) Gf, c′w(a × b) + c′w(a′ × b′) on yhtä suuri kuin c′v:n arvojen summa S:n reunoilla. Tästä seuraa, että δc′w = cw ja wf = 0.

Teoreema 16.11 Todetaan, että jos f : T → J on vakaa simpliceellinen kartta puusta polkukäyteen, seuraavat väitteet ovat ekvivalentteja: (1) f:llä ei ole 2-estäviä tekijöitä; (2) |f| kohoaa upotukseen. Todistus: Jos f kohoaa upotukseen, 2-estäjien puuttuminen seuraa Teoreemasta 16.1. Oletetaan nyt, että f:llä ei ole 2-estäviä tekijöitä. Tästä seuraa Lemman 16.1 mukaan, että p2 on triviaalinen ja siten wf = 0. Soveltamalla Teoreemaa 16.10 saamme, että vf = 0. Tämän jälkeen Teoreema 16.9 sanoo, että f on Z2-lähestyttävä suhteessa upotukseen |J| ↪→ 2R. Koska T on puu, Teoreeman 16.8 mukaan f on lähestyttävä upotuksilla. Lopuksi, f kohoaa upotukseen soveltamalla Teoreemaa 16.7.

Tämä todistettu tulos mahdollistaa useita yleistyksiä. Esimerkiksi uskomme, että 2-estäjien puuttuminen on edelleen riittävä ehto kohonnan olemassaololle jopa satunnaisessa, ei välttämättä vakaassa, ei-hajonneessa kartassa graafista segmenttiin. Lisäksi, sen sijaan että tarkasteltaisiin karttoja segmenttiin, voimme tarkastella karttoja puihin. Kuitenkin seuraava esimerkki osoittaa, että 2-estäjien ehto ei ole riittävä karttoille, jotka menevät satunnaisista graafeista puihin, kun taas kysymys sen riittävyydestä kartoille puilta puille on edelleen avoin.

Esimerkki 16.5 Olkoon T kolmiotikka, jossa on neljä huippua O, a, b ja c, missä O on keskushuntti. Olkoon |f| : S1 → |T| "kävelykartta" |T|:ssä. Erityisesti olkoon C6 kuusikulmio, joka trianguloi S1, jonka kuusi huippua vi numeroidaan myötäpäivään nollasta alkaen, ja olkoon g : C6 → T simpliceellinen kartta, jonka määrittelee f(v0) = a, f(v1) = O, f(v2) = b, f(v3) = O, f(v4) = c, f(v5) = O. Tarkastellaan nyt kartan f : C18 −→w −g C6 → T koostetta, jossa C18 on kahdeksantoistakulmio. Tässä ensimmäinen kartta on simpliceellinen analoge kaikille tavallisille 3-vuodoille w : S1 → S1, joka määrittelee z → z3 olettaen, että S1 on upotettu kompleksitasoon yksikköympyränä nollakeskuksella. Huomaa, että f:llä on 3-estävä tekijä, koska w:llä on, eikä siksi se nouse upotukseen. Väittäessämme, että f:llä ei ole 2-estäviä tekijöitä, katsotaan graafi (2)(C18)f. Tässä graafissa huippu, joka vastaa paria (ki, kj) eri huippuja f −1(O), on asteeltaan kaksi, kun w(ki) = w(kj), ja asteeltaan yksi muuten. Tarkastellaan huippua ((kt, ks)) ∈ (2)(C18)f, jossa f(kt) = f(ks) ≠ O. Tämä on neljä asteen huippu. Lisäksi kaksi neljästä sille naapurista on asteen yksi, erityisesti ne, jotka eivät ole (2)(C18)w:n sisällä. Poistamalla asteeltaan yksi olevat huiput (2)(C18)f:stä saamme (2)(C18)w. Koska jälkimmäinen graafi ei sisällä 2-estävää polkua, ei sama koske alkuperäistä graafia.

Onko jokainen avoin orientoitu neljänulotteinen monisto kompleksianalyyttinen pinta?

Avoimien neljänulotteisten orientoitujen monistojen teoria on kulkenut pitkän kehityspolun, joka alkaa 1960-luvulta ja ulottuu nykytutkimukseen asti. Hirschin ja Smalen immersioteoria antoi perustan monistojen upotuksille positiivisessa kodimensiossa, mutta vasta Valentin Poénarun varhaiset Harvardin luennot 1960-luvun alussa toivat esiin kysymyksen immersioista ekvidimensionaalisesti avoimille monistoille. Tämä vei Tony Phillipsin väitöskirjatyöhön, joka rakentui Poénarun todistusrakenteelle ja käsitteli immersioita osittain transversaalisten kuvauksien avulla.

Misha Gromov ja Tony Phillips kehittivät 1967 toisistaan riippumatta avoimien monistojen ja lehtiytymille transversaalien kuvausten teoriaa, mikä mahdollisti uudentyyppisen foliaatiogeometrian soveltamisen avoimien monistojen tutkimukseen. Gromov–Phillipsin transversaalisuusteorian pohjalta André Haefliger muodosti vuonna 1969 yleisen koordinaattirakenteen avoimille monistoille sekä siihen perustuvan obstruktioteorian.

Tämän kehityksen ytimessä oli ajatus siitä, että avoimen moniston kompleksinen tangenttikimppu mahdollistaa paikallisen kompleksianalyyttisen rakenteen. Landweberin tulos 1970-luvun alussa osoitti, että melkein kompleksiset avoimet 2k-ulotteiset monistot ovat kompleksisia oman k-skeletaalinsa naapurustossa, Haefligerin teorian avulla. Myöhemmin Gromov ja Adachi laajensivat tätä tulosta k+1-skeletaan ulkopuolelle käyttäen kompleksisten Grassmanniaanien soluhajotelmia. Tämä kulminoitui siihen, että kaikki melkein kompleksiset avoimet neljänulotteiset monistot kantavat kompleksisia koordinaatteja.

Spinⁿc-rakenteen näkökulmasta Teichnerin ja Vogtin työ 1995 osoitti, että jokainen orientoitu avoin neljänulotteinen monisto on spinⁿc. Tämä liittyy Seiberg–Witten-teoriaan, joka motivoi myös obstruktioteoreettisen argumentin: jokaisen avoimen orientoidun 4-moniston tangenttikimppu voidaan indusoida spinⁿc-rakenteen avulla kompleksisen projektiivisen tason (miinus pisteen) tangenttikimpusta. Tämä kartta on Poénarun tuloksen mukaan homotooppinen lokaaliseen diffeomorfismiin, mikä yhdistettynä edelliseen rakenteeseen johtaa seuraavaan tulokseen:

Jokaisella avoimella, yhdellä komponentilla olevalla orientoidulla neljänulotteisella monistolla on paikalliset holomorfiset projektiiviset koordinaatit, jotka ovat yhteensopivat holomorfisen lehtiytymän kanssa. Tämä lehtiytymä saadaan kompleksisen projektiivisen tason (miinus pisteen) lokaalisesta isomorfismista, missä tason läpi kulkevat kompleksisuorat muodostavat lehtien järjestelmän.

Geometrinen tulkinta tästä rakenteesta, reaaliversiona, vaatisi kolmiulotteisten paraaleloituvien monistojen immersioiden kuvallista analyysia euklidiseen avaruuteen – analogisesti Sandy Blankin klassisen työn kanssa puhkaistuista kaksipalloista tasoon. Tämä kuvallinen ohjelma oli Poénarun tie kolmiulotteisen Poincarén konjektuurin ratkaisuun, mutta se jäi kesken. Sama ohjelma voisi inspiroida vastaavaa kehitystä neljänulotteisessa tapauksessa, jossa sileä Poincaré-konjektuuri on edelleen avoin.

1970-luvulla tiedettiin, että kompleksinen tangenttikimppu tekee avoimesta monistosta kompleksisen vain ulottuvuuksissa 2, 4 ja 6. Vasta 50 vuotta myöhemmin Filip Samuelsenin väitöskirja (2025) laajensi tämän 8- ja 10-ulotteisiin tapauksiin hyödyntäen voimakkaasti Haefligerin 1970-luvun pseudoryhmäteoriaa. Ulottuvuudet 12 ja sitä korkeammat ovat edelleen ratkaisematta.

Bottin häviämislause inspiroi 1970-luvulla konjektuuria, jonka mukaan Haefligerin kokonaisavaruuden kuitu kompleksisen Grassmannianin päällä olisi 2n-yhteenkytketty, ei vain n-yhteenkytketty. Samuelsenin tulos osoittaa ehdollisesti, että avoimet orientoidut 2n-monistot, joilla on kompleksinen tangenttikimppu, ovat kompleksisia, mikäli kyseiset kohomologiaryhmät ovat edes äärellisiä. Tämä perustuu yllättävään koherenssiin U(n)-ryhmän diskreetin kohomologian ja kompleksisten Grassmannianien kohomologian välillä, sekä Friedlanderin, Milnoren ja Quillenin havaintoihin.

Lukijan on tärkeää ymmärtää, että vaikka nämä tulokset osoittavat kompleksianalyyttisten rakenteiden olemassaolon, ne eivät takaa globaalia kompleksista rakennetta. Esimerkiksi vaikka lokaaliset holomorfiset koordinaatit ovat olemassa, ne eivät välttämättä liity toisiinsa tavalla, joka mahdollistaisi globaalin kompleksisen monistorakenteen. Lisäksi teorian tehokas soveltaminen korkeammissa ulottuvuuksissa edellyttää edelleen merkittävää kehitystä sekä geometrisen että kohomologisen rakenteen tutkimuksessa.

Miten geometrian peruskäsitteet voivat muuttua jatkuvuuden ja axiomien avulla?

Geometrian eri alat, kuten differentiaaligeometria, topologinen geometria, algebraattinen geometria ja äärellinen geometria, lähestyvät tilaa ja sen ominaisuuksia hyvin eri tavoin. Kaksi ensimmäistä geometrian suuntausta pitää jatkuvuutta itsestäänselvyytenä ja sen perustavana osana, kun taas kolmas suuntaus olettaa, että geometriassa on runsaasti algebraattisia rakenteita, jotka ovat keskeisiä sen ymmärtämisessä. Neljäs suuntaus taas ei suhtaudu jatkuvuuteen samoin, vaan katsoo, että geometrialla voi olla vain äärellinen määrä objekteja – näkökulma, joka tekee monet järkevät geometriset oletukset mahdottomiksi, kuten on todettu tutkimuksissa [32]. Näistä ei mikään kuulu synteettisen geometrian perinteeseen, jossa sallitaan ainoastaan puhtaasti hypoteettista-deduktiivista päättelyä geometristen objektien välillä.

Jatkuvuus, ja sen mallit, ovat kuitenkin kaukana itsestäänselvyyksistä tai älyllisestä tarpeesta. Tätä ei voida perustella sillä, että geometria jäljittelisi todellisuutta, ei nykypäivänä eikä silloin, kun matemaatikot tekivät jatkuvuudesta perustavanlaatuista tutkimusta. Tämä käy ilmi Hilbertin vuoden 1898 huomioista: homogeenista kontinuumia, joka mahdollistaisi äärettömän jakautuvuuden ja näin ollen saavutettaisiin äärettömän pieni, ei esiinny missään luonnossa. Kontinuumin äärettömän jakautuvuus on vain ajatus, joka ei ole todellisuudessa havaittavissa, vaan on ainoastaan ajatus, joka kyseenalaistetaan havaintojemme ja fysiikan ja kemian kokemusten kautta [18, s. 705]. Hilbertin näkemyksiä tukevat nykyiset kvanttigravitaation havainnot, joiden mukaan avaruus-aika näyttäisi olevan hiukkasmaista [39].

Dedekind, joka esitteli ensimmäisen tarkan konstruktion reaaliluvuista, uskoi myös, että monet avaruuden ominaisuudet voisivat pysyä voimassa, vaikka jatkuvuus puuttuisikin: “Tämän ominaisuuden olettaminen viivassa ei ole muuta kuin aksiooma, jonka mukaan viivalle annetaan jatkuvuus, jonka mukaan löydämme jatkuvuuden viivassa. Jos avaruudella on todellinen olemassaolo, sen ei tarvitse olla jatkuva; monet sen ominaisuuksista pysyisivät samoina, vaikka se olisikin epäjatkuva. Ja jos tietäisimme varmasti, että avaruus oli epäjatkuva, ei mikään estäisi meitä täyttämästä sen aukkoja mielessämme ja tekemästä siitä jatkuvaa…” [9, s. 18–19].

Geometria ei ole vain mentaalinen peli, jota voidaan pelata abstraktisti. Giordano Bruno oli jo vuonna 1584 huomauttanut tästä erosta, sanoen: "Toinen on leikkiä geometrian kanssa, toinen tarkistaa sitä luonnon kanssa." Samoin Albert Einstein huomautti vuonna 1921, että “Mitä tulee matematiikan lakeihin, jotka liittyvät todellisuuteen, ne eivät ole varmoja, ja mitä varmoja ne ovat, ne eivät liity todellisuuteen."

Geometriaan liittyvät tulokset ovat usein aluksi todistettavissa tietyissä puitteissa, jotka sisältävät laajoja oletuksia. Vähäisempiä oletuksia vaativat tulokset yleensä ilmenevät myöhemmin. Esimerkiksi tietyt tulokset, jotka aluksi vaikuttivat vaativan differentiaaligeometrista lähestymistapaa, voidaan todistaa myöhemmin yleisemmin synteettisen differentiaaligeometrian keinoin, H. Busemannin ja A. D. Alexandrovin tyylillä. Vaikka nämä teoriat olettavat edelleen, että avaruus on jatkuva, on huomioitu, että "monet sen ominaisuuksista pysyisivät samoina, vaikka se olisi epäjatkuva," kuten M. Pasch ja myöhemmin D. Hilbert huomasivat.

Tehtävänä ei ole vain heikentää oletuksia, vaan kysymys siitä, säilyykö geometrinen lause jatkuvuuden puuttuessa, on syvällinen filosofinen kysymys. Se, onko lause pätevä ensimmäisen kertaluvun teoriassa vai ei, merkitsee sen selvittämistä, että lause riippuu vain geometrisista oletuksista, ilman joukko-opin sekaantumista. Joukko-oppi on välttämätön jatkuvuuden ja reaalilukujen tuomiseen geometriaan. Jos geometrinen intuitio halutaan tarkastella erillään aikakäsitteestä ja määrästä, jotka luovat algebran ja joukko-opin, on oleellista tietää, onko geometrinen tulos perusmuotoisen tason tulos vai onko se täysin romahtanut jatkuvuuden puuttuessa. Vaikka voi tuntua, että jotkut teoriat edellyttävät reaalilukujen rakentamista, ei tämä aina ole niin, kuten [3] osoittaa, jossa suhteellisuusteorian tuloksia esitetään ensimmäisen kertaluvun teoriassa.

Toinen avaruuteen liittyvä olettamus, joka pitäisi kyseenalaistaa geometristen lauseiden todistamisessa, on Eukleideen paralleelipostulaatti. Sen kyseenalaistaminen vie meidät siihen, mitä János Bolyai kutsui absoluuttiseksi geometriaksi – teoriaan, joka koostuu niistä väittämistä, jotka ovat totta sekä Eukleideen että hyperbolisessa geometriassa. Vaikka monet elementaariset tulokset, jotka alun perin todistettiin vain Eukleideessa, osoittautuivat olevan totta absoluuttisessa geometriassa, on edelleen erittäin vaikeaa todistaa mitään tulosta absoluuttisessa ympäristössä. Absoluuttisen geometrian esittämiseksi käytämme Alfred Tarskin esittelemää kieltä LB≡, jossa ainoat muuttujat ovat pisteitä varten ja jossa on kaksi predikaattia, välimatka ja tasavälinen etäisyys.

Geometrian perusteiden ymmärtäminen ja pohdinta vaativat yhä syvempää pohdintaa ja kyseenalaistamista, erityisesti jatkuvuuden käsitteen roolista ja sen vaikutuksesta geometrisiin teorioihin. Vaikka klassiset geometriset teoriat olettavat jatkuvuuden, on tärkeää muistaa, että geometrian tulokset voivat olla päteviä myös epäjatkuvissa ja muissa epätavallisissa geometristen oletusten ympäristöissä.

Miten pilvipalvelut muuttavat teknologian ja liiketoiminnan kenttää?
Kehojen pintarakenteet ja tärkeimmät anatomiset maamerkit
Miten rahoituslaitosten ja pankkien epätasa-arvoisuus vaikuttaa mustan yhteisön taloudellisiin mahdollisuuksiin?
Miten monikerroksiset perceptronit (MLP) voivat ratkaista regressio- ja luokittelutehtäviä?