Mikä on tilojen tiheys ja sen rooli ideaalisen kaasun tilassa?

Kun tarkastellaan ei-interaktiivisten hiukkasten kaasua, on tärkeää ymmärtää tilojen tiheyden käsite ja sen merkitys kaasun käyttäytymisen määrittämisessä. Yksittäiselle hiukkaselle tilojen määrä gE(E), joka vastaa tiettyä energiaa E, voidaan laskea. Jakautumistoiminto (partition function) määritellään kaavalla $Z = \sum_s \exp(-\beta E_s)$ , jossa summataan kaikki mahdolliset tilat. Tällöin summan voi muuttaa integraaliksi, kun siirrytään jatkuvaan energiatilojen jakaumaan.

Ilman hiukkasten välistä vuorovaikutusta hiukkasten energia on joko kineettistä energiaa, mikäli hiukkasella on massa, tai relativistista energiaa, jos hiukkanen on massaton. Kineettinen energia, joka liittyy lineaariseen liikkeeseen, voidaan esittää kaavalla $E = \frac{p^2}{2m}$ , missä $p$ on hiukkasen liikemäärä ja $m$ sen massa. Massattomille hiukkasille, kuten fotoneille, energia määräytyy suhteessa liikemäärään kaavalla $E = pc$ , jossa $c$ on valon nopeus.

Tässä kontekstissa hiukkasen tila määritellään liikemäärän $p$ ja spinin z-komponentin $s_z$ avulla. Tärkeää on tietää, kuinka monta mahdollista tilaa on olemassa eri liikemäärillä, jotka vastaavat samaa kineettistä energiaa $E$ , jotta voidaan laskea tilojen tiheysfunktio $g_E(E)$ , joka tunnetaan myös nimellä tilojen tiheys.

Hiukkasten energiat voivat olla diskreettejä, mutta poikkeuksena hyvin matalissa lämpötiloissa hiukkasen energia on sellainen, että n-arvot, jotka määrittävät tilojen kvanttiluvut, ovat erittäin suuria. Esimerkiksi elektroni, jonka energia on 1 eV ja joka on sijoitettu kuutioiseen boksiin, jonka sivut ovat 1 mm, saa n-arvon, joka on suuruusluokkaa $10^6$ . Fotoni, jolla on sama energia samassa laatikossa, saa n-arvon, joka on suuruusluokkaa $10^{19}$ . Tällöin voidaan käsitellä n-arvoja jatkuvina muuttujina, sillä kahden peräkkäisen n-arvon välinen energian ero on äärimmäisen pieni.

Kun n-arvot voidaan käsitellä jatkuvina, voidaan tilojen tiheysfunktiot laskea integraaleina. Esimerkiksi jakautumistoiminto voidaan esittää integraalina liikemäärän $p$ yli seuraavasti:
$Z = \int_0^\infty g_p(p) \exp(-\beta E(p)) dp$

missä

\beta = \frac{1}{k_B T}

E(p)

on hiukkasen energia, joka on suhteessa liikemäärään.

Aaltovektori ja tilojen tiheys

Kun tarkastellaan hiukkasta, joka on sijoitettu kuutioiseen tilaan, voidaan sen tilat määrittää kvanttimekaniikan avulla. Aaltotoiminto, joka kuvaa hiukkasta, on liittynyt aaltovektoriin $k$ , jonka komponentit $k_x, k_y, k_z$ määritellään seuraavasti:

k_x = \frac{n_x \pi}{L_x}, \quad k_y = \frac{n_y \pi}{L_y}, \quad k_z = \frac{n_z \pi}{L_z}

missä $n_x, n_y, n_z$ ovat kokonaislukuja, jotka määrittävät tilan diskreetit kvanttiluvut. Aaltovektorin neliö $k^2$ voidaan laskea kaavalla:

k^2 = \frac{\pi^2}{L^2}(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2)

missä $L$ on laatikon sivun pituus. Aaltovektorin ja liikemäärän $p$ välinen yhteys on $p = \hbar k$ , jossa $\hbar$ on suunnattu Planckin vakio.

Tämä kvanttifysikaalinen malli johtaa siihen, että tilojen määrä tietyllä energialla määräytyy siihen liittyvien kvanttilukujen $n_x, n_y, n_z$ summana. Tällöin voidaan laskea, kuinka monta tilaa on olemassa tietyllä energiatasolla.

Hiukkasten määrän ja energian laskeminen

Kun tarkastellaan määrää, kuinka monta tilaa on olemassa tietyn liikemäärän $p$ ympärillä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa tilojen määrän laskemiseen:

g_p(p) dp = \frac{4 \pi V p^2}{h^3} dp

missä $V$ on tilan tilavuus ja $h$ on Planckin vakio. Tämä kaava antaa tilojen määrän, joka liittyy tiettyyn liikemäärään ja voidaan edelleen yhdistää energian ja tilavuuden kanssa.

Ideaalinen monatominen kaasu

Kun käsitellään ideaalista kaasua, sen tilojen tiheys ja jakautumistoiminto ovat keskeisiä määrittäjiä kaasun makroskooppisten ominaisuuksien, kuten sisäenergian, entropian ja tilan yhtälön, laskemisessa. Jakautumistoiminto voidaan laskea käyttämällä edellä mainittuja kaavoja ja integroimalla liikemäärän yli. Tällöin yksittäisen hiukkasen jakautumistoiminto on:

Z_1 = \int_0^\infty \frac{4 \pi V}{h^3} p^2 \exp\left(-\frac{\beta p^2}{2m}\right) dp

Tämä integraali voidaan ratkaista ja saadaan yksittäisen hiukkasen jakautumistoiminto:

Z_1 = V \left(\frac{2 \pi m k_B T}{h^2}\right)^{3/2}

Tämän perusteella voidaan laskea koko kaasun jakautumistoiminto $Z$ , joka on tilavuuden ja hiukkasten määrän funktiona.

Kun jakautumistoiminto on laskettu, voidaan määrittää kaasun vapausasteet ja sen makroskooppiset ominaisuudet, kuten sisäenergia. Sisäenergia voidaan laskea kaavalla:

E = \frac{3}{2} N k_B T

missä $N$ on hiukkasten määrä ja $T$ on lämpötila. Tämä ilmaisee ideaalisen kaasun sisäenergian olevan suoraan verrannollinen lämpötilaan.

Kaasun entropia ja tilan yhtälö saadaan edelleen käyttämällä termodynamiikan suhteita ja jakautumistoimintoja.

Miten Boltzmannin ja Gibbsin ideat muokkasivat tilastollista mekaniikkaa ja termodynamiikkaa

Entropia on keskeinen käsite fysiikassa, ja sen merkitys on monella tapaa pohdittavissa. Esimerkiksi musteen ja veden seoksen tapauksessa järjestelmän entropia (musteen ja veden yhdistelmä) kasvaa aina, kunnes saavutetaan tasapaino. Tasapainotilassa entropian arvo on suurimmillaan. Tämä kasvu ja tasapainoisuuden saavuttaminen voivat ilmentää järjestelmän tilan todennäköisyyttä. Boltzmannin vuonna 1877 esittämä perusajatus yhdistää tilan todennäköisyys faasispektrin solujen määrään ja sen kautta entropiaan, on keskeinen. Entropia, kuten Boltzmann ehdotti, on suoraan verrannollinen W:n, eli niitä pisteitä kuvaavien "komplekseionien" määrään, jotka toteuttavat tietyn makroskooppisen tilan. Entropia voidaan siten esittää kaavalla S = kB ln W, missä kB on tunnettu Boltzmannin vakio. Tasapainotilassa W ja sitä kautta S saavuttavat maksimiarvonsa.

Boltzmannin esitys ei saanut välittömästi laajaa hyväksyntää, ja kiivas keskustelu hänen ehdotuksestaan jatkui vielä pitkään julkaisun jälkeen. Tämä ei ole yllättävää, sillä hän esitti ensimmäisen tavan ymmärtää entropiaa, joka aiemmin oli jäänyt mysteeriksi. Hänen työnsä loi perustan tilastolliselle mekaniikalle, joka yhdistää mikroskooppiset ja makroskooppiset ilmiöt. Usein, erityisesti kansankielisessä keskustelussa, entropiaa pidetään vain järjestyksen puutteena, mutta tämä yksinkertaistus jättää huomiotta sen syvemmän yhteyden irreversibiliteettiin ja makroskooppisiin ilmiöihin.

Gibbsin rooli tilastollisen mekaniikan kehittämisessä oli ratkaiseva. Hänen vuonna 1902 julkaisemansa teos Elementary Principles in Statistical Mechanics loi pohjan koko alalle, ja hän itse toi esiin tilastollisen mekaniikan perusperiaatteet. Gibbs, joka tunsi hyvin Boltzmannin työskentelyn, loi kolme keskeistä kokonaisuutta: kanonisen, mikrokanonisen ja suurkokonaisuuden. Erityisesti kanonisen kokonaisuuden määritelmä, jossa tilan todennäköisyyden logaritmi on lineaarisesti verrannollinen energiaan, oli merkittävä. Tässä yhteydessä Gibbs osoitti, että lämpötila ja entropia ovat sidoksissa toisiinsa.

Yksi keskeinen edistysaskel tilastollisessa mekaniikassa oli Planckin ja Einsteinin työ kvanttimekaniikassa. Planckin tutkimus mustan kappaleen säteilystä ja Einsteinin työ kiinteiden aineiden lämpökapasiteetista osoittivat, että klassinen tilastollinen mekaniikka ei pystynyt selittämään kaikkia havaintoja, erityisesti säteilyn spektriä. Planck ehdotti, että energia ei ole jatkuva, vaan kvantisoitu. Tämä ajatus oli ensimmäinen askel kohti modernin kvanttimekaniikan kehitystä. Vuonna 1900 Planck esitti kaavan, joka selitti säteilyn spektrin ja myöhemmin osoitti, että entropian ja energian välinen suhde voidaan laskea tilastollisella menetelmällä. Hänen työnsä osoitti, kuinka kvanttien käyttäminen auttoi ratkaisemaan klassisen mekaniikan rajallisuudet.

Einstein puolestaan ratkaisi 1906 alhaisen lämpötilan kiinteiden aineiden lämpökapasiteetin ongelman käyttämällä Planckin kvantiteettiteoriaa. Hän ehdotti, että kaikki aineen atomit liikkuvat samassa taajuudessa ja että niiden energia voi ottaa vain diskreettejä arvoja. Tämä johti kaavaan, joka selitti useita aikaisempia havaintoja, kuten timantin lämpökapasiteetin käyttäytymistä. Einstein huomasi kuitenkin, että tietyt aineet, kuten timantti, eivät noudattaneet yksinkertaisia malleja erittäin matalissa lämpötiloissa, ja myöhemmin Debye kehitti vielä tarkempia malleja, jotka ottivat huomioon atomien kollektiivisen liikkeen.

On tärkeää ymmärtää, että tilastollinen mekaniikka ei pelkästään kuvaa yksittäisten hiukkasten liikettä tai energiaa. Sen avulla voidaan luoda silta mikroskooppisten ilmiöiden ja makroskooppisten ilmiöiden välille, kuten lämpötilan ja paineen kaltaisten suureiden kanssa. Se auttaa selittämään, miksi tietyt systeemit, kuten kaasujen käyttäytyminen, noudattavat tiettyjä säännönmukaisuuksia ja miksi entropia kasvaa eristyneissä järjestelmissä.

Kvanttimekaniikan ja tilastollisen mekaniikan yhdistelmä onkin antanut meille tehokkaita työkaluja ymmärtää monimutkaisia fysikaalisia järjestelmiä. Tällä pohjalla voimme tutkia monimutkaisempia ilmiöitä, kuten hiukkaskiihdyttimiä ja mustia aukkoja, ja ymmärtää tarkemmin fysiikan lainalaisuuksia, jotka määrittävät maailmankaikkeuden toiminnan.

Miten tilastollinen mekaniikka ja partitiifunktio liittyvät ideaalikaasun käyttäytymiseen?

Partitiifunktio on keskeinen käsite tilastollisessa mekaniikassa, sillä se kuvaa systeemin kaikkien mahdollisten mikrotasojen summan ja sitä, kuinka todennäköisesti kukin mikrotaso ilmenee. Koko systeemin tilan tarkastelu tapahtuu usein integroimalla eri tilamuuttujien, kuten momentin ja paikan, mahdolliset arvot. Tämä mahdollistaa systeemin keskimääräisten energiarakenteiden ja muiden termodynaamisten suureiden laskemisen.

Partitiifunktio, $Z$ , voidaan kirjoittaa muodossa:

Z = \int \int \frac{1}{Q} \exp\left[-\beta \left( E_K + V_p \right) \right] \, d p_x \, dx

Tässä $\beta$ on termodynaaminen muuttuja, joka on käänteinen lämpötilan suhde, ja $E_K$ on kineettinen energia, kun taas $V_p$ on potentiaalienergia. Integraali kattaa kaikki mahdolliset momentin ja paikan arvot, eli momentumille rajat ovat $-\infty$ ja $\infty$ , ja paikalle $0$ ja $L$ . Tämä on yksinkertainen tapa soveltaa partitiifunktion yleistä ilmaisua, joka otettiin tilastollisessa mekaniikassa käyttöön:

Z = \sum_s \exp\left[ -\frac{E_S}{k_B T} \right]

Tässä $E_S$ on mikrotason energia ja $k_B T$ Boltzmannin vakio kerrottuna lämpötilalla. Kuitenkin, koska $Z$ on ulottuvuudetonta, mutta yllä oleva integraali sisältää momentin ja paikan, täytyy johonkin määritellä uusi suure $Q$ , jotta partitiifunktio olisi ulottuvuudetonta. Tämä suure $Q$ on itse asiassa tarpeen sen vuoksi, että integraali on ulottuvuus $\left[ \text{momentum} \right] \times \left[ \text{pituus} \right]$ , ja tämä on verrannollinen energian ja ajan tuloon.

Kun tarkastellaan yksinkertaista tilannetta, jossa ei ole potentiaalienergiaa, eli ideaalikaasua, missä atomit liikkuvat vapaasti ilman vuorovaikutuksia, partitiifunktio saa yksinkertaisemman muodon:

Z_1 = \frac{L}{Q} \left( 2 m k_B T \right)^{1/2} \int_{ -\infty}^{\infty} \exp\left(- \frac{p_x^2}{2 m k_B T} \right) dp_x

Tämä integraali voidaan ratkaista, ja se tuottaa tuloksen, jossa näkyy, että partitiifunktio on suhteessa tilavuuden $L$ ja vakioon $Q$ . Tästä voidaan päätellä, että partitiifunktion laskeminen on yksinkertaista ideaalikaasun tapauksessa, koska integrointi keskittyy pelkästään kineettiseen energiaan.

Kun lasketaan systeemin keskimääräinen energia, huomataan, että se on verrannollinen lämpötilaan:

E = \frac{1}{2} k_B T

Tämä tulos on merkittävä, sillä se tarkoittaa, että ideaalikaasun kineettinen energia on suoraan verrannollinen systeemin lämpötilaan. Monelle oskilloivalle partikkelille, kuten kolmiulotteisessa ideaalikaasussa, vastaava energian laskeminen vie hieman enemmän työtä, mutta perusidea on sama:

E_K = \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m}

Näin ollen partitiifunktio kolmiulotteisessa avaruudessa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Z_1 = \frac{V}{Q^3} \left( 2 \pi m k_B T \right)^{3/2}

Tämä on kolmiulotteisen ideaalikaasun partitiifunktio, jossa $V$ on tilavuus ja $Q$ on edelleen ulottuvuudeton vakio. Tämä osuus on keskeinen osa ideaalikaasun tilastollista mekaniikkaa, ja se tarjoaa ymmärrystä siitä, miten systeemin tilat jakaantuvat ja miten niiden keskimääräiset energiat määräytyvät.

Kun tarkastellaan ideaalikaasun energiarakennetta, voidaan huomata, että jos systeemissä on useita vapausasteita, niin jokainen vapausaste tuo mukanaan lisäenergiakomponentin, joka on $\frac{1}{2} k_B T$ . Tämä on tärkeä huomio, joka pätee esimerkiksi yksinkertaiselle harmoniselle oskillaattorille, jonka energian voi jakaa kineettiseen osaan $p^2 / 2m$ ja potentiaaliseen osaan $Kx^2 / 2$ . Tällöin, koska harmonisella oskillaattorilla on kaksi vapausastetta, sen keskimääräinen lämpöenergia on $k_B T$ .

Lopuksi palataan jälleen partitiifunktioon ja erityisesti suureeseen $Q$ . Kolmiulotteisen ideaalikaasun partitiifunktio voidaan laskea myös kvanttimekaniikan periaatteilla, mutta jotta tulokset olisivat yhdenmukaisia, on määriteltävä, että $Q = h$ , jossa $h$ on Planckin vakio. Tämä tekee partitiifunktiosta ja sitä seuraavasta energiasta yhteensopivia klassisen ja kvanttimekaanisen kuvan kanssa.

Lopuksi on tärkeää muistaa, että vaikka partitiifunktio usein johdetaan integraalien kautta, sen yhteys sarjoihin ei ole aivan yksinkertainen. Sarjan ja integraalin välinen yhteys on monimutkainen ja se on herättänyt useita matemaattisia pohdintoja. Tätä käsitellään tarkemmin myöhemmin, mutta käytännössä integraalin laskeminen on usein huomattavasti helpompaa kuin sarjan suora summaminen.

Mikä on testikattavuus ja kuinka se parantaa ohjelmiston laatua?
Miten tekoäly voi muuttaa terveydenhuoltoa ja sen tarjoamaa hoitoa?
Kuinka luoda ja käyttää arvojana varjostuksessa: Tekniikat ja vinkit
Miten määrittää jatkuvuus ja derivoituvuus tietyille funktioille?
Kuinka narratiivinen hegemonia muovaa poliittista tietoisuuttamme: Genealogia ja valta