Kun tarkastellaan monimutkaisempia funktioita, joissa on useita muuttujia, nollapisteellä esiintyy usein monenlaisia erikoistilanteita, jotka liittyvät funktion jatkuvuuteen ja derivoituvuuteen. Nämä tilanteet voivat olla haasteellisia, koska funktion arvo voi lähestyä nollaa eri tavoilla eri suuntiin lähestyttäessä alkuperää. Tarkastellaan näitä ilmiöitä syvällisemmin.

Ensinnäkin, jos funktio f(x, y) on määritelty jollain alueella ja lähestyy alkuperää, sen arvo voi käyttäytyä hyvin erilaisilla tavoilla riippuen siitä, kuinka se lähestyy nollaa. Esimerkiksi, kun tarkastellaan funktiota, joka käyttäytyy tietyllä tavalla kohti alkuperää, kuten funktio, joka noudattaa kuutiota y = α³x³, niin voidaan havaita, että tämä funktio lähestyy alkuperää tietynlaista kaavaa pitkin. Tällöin funktio lähestyy tiettyä raja-arvoa, mutta vain jos lähestytään nollaa tietyllä suunnalla. Tämä tarkoittaa, että funktio ei ole välttämättä derivoituva nollassa, sillä sen osittaisderivaatat voivat olla olemattomia tai määrittelemättömiä tietyissä suunnissa.

Toisaalta, tietyissä tapauksissa, kuten funktion rajoittamisen yhteydessä x = 1 suoraan tai mihin tahansa suoraan, jolla x on vakio, voidaan havaita, että funktio ei ole eriytettävissä alkuperässä. Tämä voi johtua siitä, että funktio ei ole erottuva suoraan tietyllä viivalla alkuperässä, mutta toisaalta se voi olla erottuva muissa suuntauksissa. Tällöin osittaisderivaatat eivät ole olemassa tietyissä pisteissä, mutta funktion käyttäytyminen muiden suuntien suhteen saattaa olla täysin eriytyvää.

Yksi hyvä esimerkki tästä ilmiöstä on funktio, joka voidaan esittää muodossa f(x, y) = e^(xy) - 1 / (x² + y²). Tässä tilanteessa tarkastellaan ensin funktion jatkuvuutta alkuperässä. Kun tarkastellaan polarikoordinaatteja ja etsitään raja-arvoa lähestyessä (x, y) -> (0, 0), huomataan, että funktion toinen osa, joka sisältää x² + y², lähestyy nollaa samalla kun eksponentiaalinen osa ei kasva äärettömäksi. Tämä mahdollistaa funktion jatkuvuuden alkuperässä. Kuitenkin, vaikka funktio on jatkuva, se ei ole derivoituva alkuperässä, koska sen osittaisderivaatat ovat nollia ja eivät täten täytä derivoituvuuden ehtoja.

Toisaalta on olemassa funktioita, jotka käyttäytyvät erityisesti niin, että ne voivat olla jatkuvia alkuperässä mutta eivät derivoituvia. Esimerkiksi, kun tarkastellaan funktion käyttäytymistä ja raja-arvoja tietyillä viivoilla, voimme huomata, että vaikka funktion arvo lähestyy nollaa, sen gradientti ei aina ole määritelty. Tällöin, vaikka itse funktion raja-arvo lähestyy nollaa alkuperässä, sen osittaisderivaatat voivat olla olemattomia tai epämääräisiä. Tämä tarkoittaa, että vaikka funktio voi olla jatkuva alkuperässä, sen derivoituvuus voi jäädä puuttumaan.

Kun funktio on määritelty alueella, joka ei ole täysin avoin, kuten funktion määritelmän ja nollapisteen välinen alue, voi ilmetä, että funktion arvo käyttäytyy eri tavoin sen mukaan, missä kohtaa koordinaatistoa ollaan. Esimerkiksi, jos tarkastellaan aluetta, jossa funktio on määritelty vain osittain, voi syntyä tilanne, jossa funktion osittaisderivaatat ovat määrittelemättömiä tietyissä kohdissa, mutta taas muualla alueella ne saattavat olla täysin määriteltyjä ja derivoituvia. Tämä voi johtaa tilanteeseen, jossa funktion jatkuvuus ja derivoituvuus vaihtelevat huomattavasti riippuen siitä, miten lähestytään alkuperää.

Lisäksi, vaikka funktio on jatkuva ja derivoituva muualla kuin alkuperässä, se ei aina ole helppo laskea sen osittaisderivaatat suoraan. Tällöin voidaan käyttää apuna muita menetelmiä, kuten eriyttämistä muuttujittain, jolloin saadaan yksinkertaistettua laskentaa ja helpotettua osittaisderivaatan laskemista. Tämä on hyödyllinen strategia erityisesti silloin, kun funktion analysointi vaikuttaa monimutkaiselta ja monivaiheiselta.

Yhteenvetona voidaan todeta, että funktioiden käyttäytyminen nollassa on monimutkainen ja monivaiheinen prosessi. Kun tarkastellaan jatkuvuutta ja derivoituvuutta, on tärkeää ymmärtää, että vaikka funktio voi olla jatkuva, se ei välttämättä ole derivoituva kaikissa suunnissa. Tällöin on tärkeää huomioida myös, kuinka funktio käyttäytyy eri suuntiin lähestyttäessä nollaa, sillä tämä voi paljastaa sen, miksi derivoituvuus ei aina toteudu.

Miten määritellä jatkuvuus, osittaisderivaatat ja differentioituvuus?

Funktion määritelmä on keskeinen tekijä analysoitaessa sen jatkuvuutta, osittaisderivaattoja ja mahdollista differentioituvuutta eri pisteissä. Käytetään esimerkkinä funktiota, joka on määritelty seuraavasti:
f(x,y)=sinc(x)+1sinc(y)f(x, y) = \text{sinc}(x) + \frac{1}{\text{sinc}(y)}, missä sinc(x)\text{sinc}(x) on kardinaalisinifunktio, joka määritellään

sinc(x)={sin⁡xx,x≠01,x=0\text{sinc}(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}

Tämä funktio on yhdistelmä kahta erillistä funktiota xx- ja yy-muuttujista, jotka ovat sileitä nollassa. Tässä tarkastellaan, miten funktio käyttäytyy rajoittavassa tilanteessa.

Ensimmäinen askel on huomioida, että funktio voidaan jakaa kahdeksi osaksi: ϕ(x)=sinc(x)\phi(x) = \text{sinc}(x) ja ψ(y)=1sinc(y)\psi(y) = \frac{1}{\text{sinc}(y)}, jotka kummatkin ovat sileitä nollassa. Tämä mahdollistaa funktion rajoitusten jakamisen kahdeksi yksittäiseksi rajoitukseksi, jotka käsittelevät vain xx ja yy erikseen.

Tämänkaltaisten funktioiden analysointi edellyttää pohdintaa siitä, ovatko summat kuten ϕ(x)+ψ(y)\phi(x) + \psi(y), joissa kummatkin osat ovat jatkuvia ja derivoituvia, jatkuvia ja derivoituvia myös kokonaisuudessaan. On tärkeää ymmärtää, että vaikka osittaisderivaatat voivat olla olemassa erikseen, ei ole itsestään selvää, että ne ovat myös yhteisesti jatkuvia ja derivoituvia yhdessä, kun otetaan huomioon mahdolliset epäsäännöllisyydet rajapinnoilla.

Tässä mielessä on tärkeää tutkia myös muiden funktioiden osittaisderivaattoja ja niiden jatkuvuutta sekä differointikykyä pisteissä, joissa funktio on määritelty.

Seuraavaksi tarkastellaan toista esimerkkiä:
f(x,y)={1,kun x3<y<4x30,muulloinf(x, y) = \begin{cases} 1, & \text{kun } x^3 < y < 4x^3 \\ 0, & \text{muulloin}

\end{cases}
Tässä funktiossa tarkastellaan kolmea erillistä kysymystä: onko funktio jatkuva origossa, onko sillä osittaisderivaatat pisteissä (0,0)(0, 0) ja (1,1)(1, 1), sekä onko funktio suunnan derivaatan suhteen jatkuva jollain yksikkövektorilla QQ.

Ensimmäinen huomio liittyy siihen, että funktio ei ole jatkuva origossa, koska raja-arvo lähestyy nollaa eri tavoilla eri reiteillä. Esimerkiksi, jos lähestytään origon kautta viivaa y=2x3y = 2x^3, funktion arvo on 1, mikä ei vastaa alkuperäistä nollaa. Tällöin funktion jatkuvuus on epäkelpo.

Osittaisderivaatat taas löytyvät pisteessä (0,0)(0, 0), koska f(x,0)=0f(x, 0) = 0 ja f(0,y)=0f(0, y) = 0, mikä tarkoittaa, että funktion muutokset ovat nollassa. Pisteessä (1,1)(1, 1) funktio ei kuitenkaan ole derivoituva, koska se siirtyy eri arvoihin kahdesta eri alueesta (alueet, joissa x3<y<4x3x^3 < y < 4x^3) ja rajan ylittäminen tapahtuu epätasaisesti.

Viimeinen kysymys liittyy suunnan derivaattaan. Funktio on erikoinen siinä mielessä, että vaikka useimmat suunnan derivaatit voivat olla nollia, tietyissä kulmissa, kuten θ∈(0,π/2)\theta \in (0, \pi/2), funktion käyttäytyminen muuttuu radikaalisti.

Kolmas esimerkki käsittelee funktiota:
f(x,y)=min⁡(x2−y,y2−x)f(x, y) = \min(x^2 - y, y^2 - x). Tämä funktio on myös määritelty kahdella polynomilla, ja sen jatkuvuus ja osittaisderivaatat on mahdollista analysoida, kuten seuraavassa.

Ensimmäisessä osassa tutkitaan funktion jatkuvuutta, ja huomataan, että funktio on jatkuva, koska se on kahden jatkuvan funktion minimaali. Kuitenkin sen osittaisderivaatat saattavat olla olemassa vain tietyissä alueissa AA ja BB, mutta rajan CC kohdalla voi syntyä epäsäännöllisyyksiä.

Tämäntyyppiset funktiot, jotka ovat määritelty useilla eri alueilla ja joissa vaihdetaan polynomeja, voivat aiheuttaa erikoisia käytösmalleja tietyissä pisteissä. Geometrinen intuitio voi usein auttaa ymmärtämään, missä kohdissa funktio on jatkuva ja missä se saattaa aiheuttaa häiriöitä.

Jatkuvuuden ja osittaisderivaatan tarkastelu ei ole pelkästään matemaattinen kysymys; se liittyy myös geometriaan ja visuaaliseen ymmärrykseen, erityisesti kun tarkastellaan funktioiden rajapintoja. Funktiot, jotka muuttuvat monimutkaisella tavalla tietyissä pisteissä, saattavat olla erikoistilanteissa derivoitumattomia tai jatkuvia vain tietyillä alueilla. Tämän ymmärtäminen on olennaista, jotta voi tehdä tarkkoja johtopäätöksiä funktion käyttäytymisestä.

Kuinka tehdä lyhyistä, intensiivisistä harjoituksista täysipainoinen treeni
Miksi “The Brutalist” on yksi 2020-luvun merkittävimmistä elokuvista?
Miten aloittaa Snowpark: Asennus ja Perusteet Pythonissa
Miten käyttäjät luovat tunnesiteitä koneisiin ja miksi tämä on tärkeää ymmärtää?
Miten muuttolinnut ja luonnon monimuotoisuus vaikuttavat puutarhoihin ja ekosysteemeihin?
Miten Alessandro Volta ja Michael Faraday mullistivat sähkön ymmärryksen ja käytön