Teoreemassa 1.51 käsitellään markkinan keinotteluvapautta geometristen rakenteiden avulla, ja siihen sisältyy tärkeä huomio siitä, että markkinoiden keinotteluvapaus edellyttää, että hinnan järjestelmä kuuluu tiiviin alueen sisäosaan. Tämä on keskeinen osa taloudellista analyysiä, koska keinotteluvapaat markkinat mahdollistavat reilun hinnoittelun ja estävät epäoikeudenmukaisia etuja markkinatoimijoilta.

Tarkastellaan esimerkkiä, jossa oletetaan, että markkinoilla on riskitöntä ja riskialtista omaisuuserää. Tällöin hinnan järjestelmän tulee sijaita tukijoukon konveksin peiton suhteellisessa sisäosassa, mikä voidaan todistaa geometristen ominaisuuksien avulla. Jos hinnoittelujärjestelmä ei täytä tätä ehtoa, markkinoilla voi esiintyä keinottelumahdollisuuksia. Tämä pohjautuu siihen, että, jos hinta on jollain tavalla aliarvioitu tai yliarvioitu, markkinat voivat antaa tilaisuuden voiton tekemiseen ilman riskiä. Tällöin hinnan järjestelmä ei ole tasapainossa, ja markkinoilla voi esiintyä keinottelua, eli riskiin perustuvaa kaupankäyntiä.

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti: oletetaan, että jollain satunnaisella vektorilla ξ\xi, joka vastaa sijoittajan salkkua, on seuraavat ominaisuudet: ξ⋅y≥0\xi \cdot y \geq 0 kaikille yy tietyllä alueella, mutta jollain alueella on myös y∗y^*, jossa ξ⋅y∗>0\xi \cdot y^* > 0. Tällöin voidaan päätellä, että satunnaisessa markkinamallissa, jossa hinnoittelu on virheellistä, on keinottelumahdollisuus.

Käänteisessä tilanteessa, jossa keinottelumahdollisuuksia ei ole, voidaan päätellä, että hinnan järjestelmä on tasapainossa ja se kuuluu suhteellisen sisäosaan. Tämän vuoksi hinnoittelu ei salli arbitrage-tapahtumia, mikä tarkoittaa, että ei ole mahdollista tehdä voittoa ilman riskiä markkinoiden hinnanmuutoksista. Näin ollen, jos oletetaan, että M(μ)⊂riΓ(μ)M(\mu) \subset \text{ri} \Gamma(\mu), niin hinnoittelu on arbi-tage-vapaata.

Tämä analyysi voidaan laajentaa markkinoiden dynaamiseen malliin, jossa kaupankäynti tapahtuu useammassa ajanjaksossa. Jos markkinoilla on useita aikajaksoja, riskin hallinnan ja keinotteluvapauden määrittely vaatii monimutkaisempia matemaattisia työkaluja. Tällöin otetaan huomioon, että sijoittajan tiedot kehittyvät ajan myötä ja strategioiden tulee olla dynaamisia, jotta voidaan varmistaa markkinoiden eettinen ja reilu toiminta. Sijoittajien on huomioitava alkuperäisten hinta- ja sijoitusstrategioiden lisäksi myös se, että tulevaisuudessa saatavilla oleva tieto voi muuttaa markkinoiden rakenteita.

Tässä yhteydessä voidaan esittää määritelmä riskittömästä bondista, jossa S00=1S_0^0 = 1 ja S10S_1^0 on F0-measuroitu ja P-a. s. positiivinen. Tällöin riskittömien ja riskillisten omaisuuserien hintojen malli voidaan laajentaa käsittämään kaikki ajanjaksot. Näin markkinat saavat dynaamisen luonteen, mutta ne voivat edelleen säilyttää geenotteluvapautensa tietyin ehdoin.

Yksi tärkeimmistä perusmääritelmistä markkinoiden kannalta on arbitrage-mahdollisuuden tunnistaminen, jossa sijoittaja voi valita portfolion ξ=(ξ0,ξ1,…,ξd)\xi = (\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_d), joka täyttää seuraavat ehdot: ξ⋅S0≤0\xi \cdot S_0 \leq 0 ja ξ⋅S1≥0\xi \cdot S_1 \geq 0, ja lisäksi P[ξ⋅S1>0\xi \cdot S_1 > 0] > 0. Tällöin markkinoilla on keinottelumahdollisuus, ja sijoittaja voi tehdä voittoa ilman riskiä. Tämä on se tilanne, jota markkinat eivät saa sallia, koska se horjuttaa markkinoiden tasapainoa ja reiluutta.

Jatkamme tarkastelua riskineutraaleista mittareista, jotka ovat välttämättömiä markkinoiden analyysissä. Riskineutraali mittari tai martingalimittari on sellainen todennäköisyysmittari QQ, joka täyttää ehdon EQ[Xit∣F0]=X0E_Q[X_i^t | F_0] = X_0, ja markkinoilla on olemassa sellaisia riskineutraaleja mittareita, jotka voivat kuvata markkinahintojen tasapainon. Tämä on tärkeä osa markkinoiden hinta-arvion tarkastelua, erityisesti dynaamisessa ympäristössä, jossa hinnanmuutokset voivat olla monimutkaisempia.

Miksi käänteisfunktiot ja entropiat ovat keskeisiä todennäköisyysteoriassa?

Gibbsin mitta, joka määritellään suhteellisen entropian maksimoijana tietyin ehdoin, tarjoaa syvällisen näkökulman todennäköisyysmittojen luonteeseen, erityisesti silloin, kun siirrytään pois klassisista todennäköisyyslaskennan rajoista. Olennainen havainto on, että näiden mittausten määrittely ei vaadi, että alkuperäinen referenssimitta olisi todennäköisyysmitta. Tämä antaa mahdollisuuden käyttää esimerkiksi laskentamittaa äärellisissä joukoissa tai Lebesguen mittaa ℝ^d-avaruudessa, jolloin mallinnus irtautuu tiukoista normitusvaatimuksista ja antaa suurempaa yleisyyttä.

Shannon–Boltzmannin entropia, joka annetaan muodossa S(Q) := −∫ log(dQ/dR) dQ, ilmaisee, kuinka paljon informaatiota todennäköisyysmitta Q kantaa suhteessa referenssimittaan R. Kun käytetään Gibbsin muotoa R^Z, joka on määritelty painotetun eksponentiaalisen transformoinnin avulla, voidaan osoittaa, että tämä uusi mitta maksimoi Shannon–Boltzmannin entropian kaikkien sellaisten mittausten joukossa, joilla on sama odotusarvo tietylle satunnaismuuttujalle Z. Tämä ominaisuus perustuu siihen, että suhteellinen entropia H(Q‖R^Z) on aina ei-negatiivinen, mikä johtaa maksimaalisen entropian periaatteeseen: S(Q) ≤ S(R^Z), kun odotusarvo E_Q[Z] pidetään kiinteänä.

Tämän tuloksen syvällisyys ilmenee erityisesti normaalijakauman tapauksessa. Normaalijakauma N(m, σ²) maksimaalisen entropian jakaumana on klassinen esimerkki tilanteesta, jossa varianssi σ² toimii rajoitteena, ja silti entropia saavuttaa maksiminsa. Tämä antaa matemaattisen perustan esimerkiksi luonnollisten prosessien ”tasapainotilojen” analyysille.

Käänteisfunktioiden kontekstissa käsitellään laajempaa funktioiden luokkaa kuin vain jatkuvia ja tiukasti kasvavia. Satunnaismuuttujien jakaumafunktiot eivät ole aina jatkuvia, eikä niillä aina ole yksikäsitteistä käänteisfunktiota. Siksi on määriteltävä niin sanotut vasemmalle ja oikealle jatkuvat käänteisfunktiot q⁻ ja q⁺. Nämä funktiot eivät ole vain teknisiä välineitä, vaan niiden avulla voidaan rakentaa yleinen ja robusti käänteismääritelmä tilanteissa, joissa F sisältää hypähdyksiä tai tasaisia osia.

Tärkeä tulos on, että kaikki käänteisfunktiot sijaitsevat q⁻(s) ≤ q(s) ≤ q⁺(s) rajoissa, ja että erot näiden välillä voivat tapahtua vain äärellisessä tai luettavassa määrässä pisteitä. Näissä kohdissa jakaumafunktion epätäydellisyys – esimerkiksi epäjatkuvuus – näkyy käänteisfunktion epäyksikäsitteisyytenä. Näiden ilmiöiden ymmärtäminen on välttämätöntä, kun mallinnetaan esimerkiksi kvantiileja tai sovelletaan järjestysstatistiikkaa.

Matemaattisesti erityisen huomionarvoista on myös se, että F toimii käänteisfunktiona q:lle. Tämä kahdensuuntainen käänteisyyden rakenne mahdollistaa funktionaalisen dualiteetin hyväksikäytön tilastollisessa analyysissä. Siirtymät välillä F ja q ovat symmetrisiä tietyssä mielessä, ja tästä seuraa mahdollisuus käsitellä epäjatkuvia jakaumia yhtä sujuvasti kuin jatkuvia.

On myös huomattava, että käänteisfunktiot voidaan yksiselitteisesti laajentaa reunapisteisiin siten, että q(c) = a ja q(d) = b, jolloin funktion määrittely on täydellinen myös avoimen välin ulkopuolella. Tällainen laajennus on keskeinen käytännön sovelluksissa, esimerkiksi silloin, kun lasketaan empiirisiä kvantiileja äärellisestä aineistosta.

Tämä rakenteellinen lähestymistapa käänteisfunktioihin ei ole vain matemaattinen kuriositeetti. Se tarjoaa perustan kvantiilifunktioiden analyysille, joita käytetään laajasti niin tilastollisessa päättelyssä kuin stokastisessa simuloinnissa. Erityisesti epäjatkuvien jakaumien tapauksessa oikea valinta käänteisfunktion muodosta – vasemman- vai oikeanpuoleinen – voi vaikuttaa huomattavasti lopputuloksiin, esimerkiksi Monte Carlo -simulointien tarkkuudessa.

Lisäksi tulee korostaa, että entropian ja käänteisfunktioiden välinen yhteys, vaikka epäsuora, on merkityksellinen. Kvantiilien määrittely mittayhteensopivasti referenssimitan kanssa mahdollistaa entropiamittareiden käytön jakaumien järjestämisessä, jolloin voidaan kvantitatiivisesti vertailla epävarmuutta tai informaatiosisältöä eri todennäköisyysmittojen välillä.

Toinen keskeinen näkökulma on käänteisfunktioiden robustius suhteessa pieniin muutoksiin alkuperäisessä funktiossa F. Lemma D.6 osoittaa, että käänteisfunktion muoto säilyy, kun F korvataan toisella funktiolla, joka sijaitsee alkuperäisen funktion ylä- ja alarajojen välissä. Tämä tulos on olennaisen tärkeä tilastollisessa estimoinnissa ja epävarmuusanalyysissä, jossa epätarkkuudet jakaumafunktiossa eivät johda hallitsemattomiin virheisiin kvantiileissa.

Lopuksi, on tärkeää ymmärtää, että tässä käsitellyt funktiot ja mittateoreettiset käsitteet muodostavat perustan monille nykyaikaisen stokastisen analyysin ja tilastotieteen menetelmille. Ilman tätä teoreettista perustaa olisi mahdotonta kehittää luotettavia ja tarkkoja malleja, jotka kykenevät ilmaisemaan epävarmuutta, optimoimaan informaation määrää tai muuntamaan empiirisiä havaintoja luotettaviksi johtopäätöksiksi.

Arbitraasinvapaa hinta ja sen määrittäminen yhdysvaltalaiselle vaatimukselle

Oletetaan, että H tarjotaan ajankohtana t=0t = 0 hinnalla π≥0\pi \geq 0. Ostajan näkökulmasta hinnan tulee olla riittävä, mutta ei liian korkea, niin että on olemassa ainakin yksi käyttötapaus τ\tau, jolloin ehdotettu hinta π\pi ei ole liian korkea, eli π≤π′\pi \leq \pi' jollekin π′∈Π(Hτ)\pi' \in \Pi(H_\tau). Myyjän näkökulmasta tilanne on erilainen: hinnan ei pitäisi olla liian alhainen, niin että ei ole olemassa sellaista τ′\tau', jonka osalta π<π′\pi < \pi' kaikilla π′∈Π(Hτ′)\pi' \in \Pi(H_{\tau'}). Lisätään olettamus siitä, että ostaja käyttää vain pysäytysaikoja optioiden käyttöön. Tämä antaa seuraavan muodollisen määritelmän, jossa TT on joukko kaikkia pysäytysaikoja τ≤T\tau \leq T; ks. (6.10).

Määritelmä 6.29. Reaaliluku π\pi on discountoidun yhdysvaltalaisen vaatimuksen HH arbitraasinvapaa hinta, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät:

  • Hinta π\pi ei ole liian korkea siinä mielessä, että on olemassa τ∈T\tau \in T ja π′∈Π(Hτ)\pi' \in \Pi(H_\tau), niin että π≤π′\pi \leq \pi'.

  • Hinta π\pi ei ole liian alhainen siinä mielessä, että ei ole olemassa sellaista τ′∈T\tau' \in T, että π<π′\pi < \pi' kaikilla π′∈Π(Hτ′)\pi' \in \Pi(H_{\tau'}).

Arbitraasinvapaiden hintojen joukko Π(H)\Pi(H) on siis määritelty, ja voimme määritellä πinf⁡(H):=inf⁡Π(H)\pi_{\inf}(H) := \inf \Pi(H) ja πsup⁡(H):=sup⁡Π(H)\pi_{\sup}(H) := \sup \Pi(H).

Muutoin voidaan muistaa, että kaikki discountoidut eurooppalaiset vaatimukset HEH_E voidaan pitää discountoituna yhdysvaltalaisena vaatimuksena HAH_A, jonka maksaminen on nolla, jos HAH_A käytetään ennen TT, ja joka maksaa HEH_E:n arvon ajankohtana TT. Ilmiselvästi, tämän kahden vaatimuksen joukot Π(HE)\Pi(H_E) ja Π(HA)\Pi(H_A) ovat yhtäpitäviä, ja näin ollen määritelmät 5.28 ja 6.29 ovat yhdenmukaisia keskenään.

Huomautus 6.30. Määritelmästä 6.29 seuraa, että mikä tahansa arbitraasinvapaa hinta π\pi vaatimukselle HH on myös arbitraasinvapaa hinta HτH_\tau jollakin τ∈T\tau \in T. Näin ollen (6.16) merkitsee, että π=E∗[Hτ]\pi = \mathbb{E}^*[ H_\tau ] jollakin P∗∈PP^* \in P. Toinen ehto määritelmässä 6.29 puolestaan osoittaa, että π≥inf⁡P∗∈PE∗[Hτ′]\pi \geq \inf_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_{\tau'} ] kaikille τ′∈T\tau' \in T. Tämän perusteella saamme seuraavanlaisen rajoituksen:

sup⁡τ∈Tinf⁡P∗∈PE∗[Hτ]≤π≤sup⁡τ∈Tsup⁡P∗∈PE∗[Hτ].\sup_{\tau \in T} \inf_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] \leq \pi \leq \sup_{\tau \in T} \sup_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ].

Erityisesti, jos P∗P^* on yksittäinen ekvivalentti martingaalimitta täydellisessä markkinamallissa, niin sup⁡τ∈TE∗[Hτ]\sup_{\tau \in T} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] on yksilöllinen arbitraasinvapaa hinta HH:lle, ja näin ollen määritelmä 6.29 on yhdenmukainen osioiden 6.1 ja 6.2 tulosten kanssa.

Teoreema 6.31. Oletuksella, että Ht∈L1(P∗)H_t \in L^1(P^*) kaikille tt ja jokaiselle P∗∈PP^* \in P, discountoidun yhdysvaltalaisen vaatimuksen HH arbitraasinvapaiden hintojen joukko on reaalinen väli, jonka päät ovat

πinf⁡(H)=sup⁡τ∈Tinf⁡P∗∈PE∗[Hτ]=inf⁡τ∈Tsup⁡P∗∈PE∗[Hτ]=inf⁡P∗∈PUP∗0\pi_{\inf}(H) = \sup_{\tau \in T} \inf_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] = \inf_{\tau \in T} \sup_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] = \inf_{P^* \in P} U_{P^*}^0

ja

πsup⁡(H)=sup⁡τ∈Tsup⁡P∗∈PE∗[Hτ]=sup⁡τ∈Tsup⁡P∗∈PE∗[Hτ]=sup⁡P∗∈PUP∗0.\pi_{\sup}(H) = \sup_{\tau \in T} \sup_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] = \sup_{\tau \in T} \sup_{P^* \in P} \mathbb{E}^*[ H_\tau ] = \sup_{P^* \in P} U_{P^*}^0.

Lisäksi Π(H)\Pi(H) joko koostuu yhdestä pisteestä tai ei sisällä yläpäätään πsup⁡(H)\pi_{\sup}(H).

Tämä tarkoittaa, että täydellisten markkinoiden mallissa, jossa on vain yksi ekvivalentti martingaalimitta, arbitraasinvapaa hinta on yksilöllinen ja vastaava arvostus voidaan tunnistaa Snellin kääntöarvolla UP∗0U_{P^*}^0. Arbitraasinvapaiden hintojen joukko Π(H)\Pi(H) muodostaa välin, joka sisältää kaikki mahdolliset hinnat, jotka eivät johda arbitraasiin.

Lopuksi voidaan todeta, että täsmällinen määritelmä arbitraasinvapaasta hinnasta on tärkeä elementti markkinahinnan analyysissa ja se tarjoaa vakaan pohjan päätöksenteolle, erityisesti silloin kun markkinat eivät ole täydellisiä. Tällöin vaatimuksen hinnoittelu ei ole pelkästään mekanistinen prosessi, vaan siihen liittyy strateginen päätöksenteko, joka ottaa huomioon niin ostajan kuin myyjän näkökulmat sekä markkinoiden rajoitteet.

Miten neuroinflammatoriset prosessit vaikuttavat kipukokemukseen?
Miten ulkomaalaisten vaikutus voi muuttaa Yhdysvaltain poliittista prosessia?
Miksi otoskoko ja sen määrittäminen ovat keskeisiä tutkimussuunnitelmissa?
Miten Mamdani-päättelymalli ennustaa suolapitoisuutta jokisuistoissa?
Miten kvanttifysiikka selittää päätöksentekomme epäjohdonmukaisuudet?