Miten Mamdani-päättelymalli ennustaa suolapitoisuutta jokisuistoissa?

Ekologisten järjestelmien mallintaminen edellyttää menetelmiä, jotka kestävät epätäydellistä tietoa ja epälineaarisia suhteita muuttujien välillä. Yksi tehokkaimmista lähestymistavoista tällaisiin tilanteisiin on sumean logiikan soveltaminen, erityisesti Mamdani-päättelymenetelmä, joka perustuu sääntöpohjaisiin asiantuntijatietoihin ja sumeaan päättelyyn. Cananéian ja Ilha Compridan jokisuistojen suolapitoisuuden ennustaminen tarjoaa selkeän esimerkin siitä, miten tällainen järjestelmä toimii.

Sääntöpohja koostuu useista jos-niin -muotoisista säännöistä, joissa yhdistetään kolmea syötemuuttujaa — alueen kertynyt sadanta 1–3 päivän ajalta, alkuperäinen suolapitoisuus ja Ribeira-joen virtaus — ennustamaan yhtä tulosmuuttujaa eli lopullista suolapitoisuutta. Jokainen sääntö määrittelee kielellisesti, kuinka tietty yhdistelmä syötteitä vaikuttaa lopputulokseen. Esimerkiksi sääntö R4 kuuluu: "Jos alueen kertynyt sadanta on alhainen ja Ribeira-joen virtaus korkea, silloin lopullinen suolapitoisuus on alhainen."

Syötearvot muunnetaan sumeiksi arvoiksi kuuluvuustoimintojen avulla, jotka antavat arvon välillä [0,1] kuvaamaan, kuinka vahvasti tietty syötearvo kuuluu johonkin kielelliseen kategoriaan (kuten "alhainen", "keskimääräinen" tai "korkea"). Esimerkiksi, kun sadanta on 23 mm, se kuuluu täysin (asteikolla 1.0) luokkaan "alhainen". Jos alkuperäinen suolapitoisuus on 23‰, se kuuluu sekä "keskimääräisen alhaiseen" (asteikolla 0.67) että "keskimääräiseen" (asteikolla 0.25) luokkaan. Ribeira-joen virtaama 1454 m³/s puolestaan kuuluu luokkaan "keskimääräinen korkea" kuuluvuudella 0.82.

Nämä syötteet aktivoivat sääntöpohjasta ne säännöt, joiden edellytykset täyttyvät osittain tai kokonaan. Tässä tapauksessa aktivoituvat säännöt R2 ja R3. R2:ssa yhdistyy alhainen sadanta, keskimääräinen alkuperäinen suolapitoisuus ja keskimääräinen korkea virtaus, mikä johtaa arvioon "keskimääräisen alhainen" lopullinen suolapitoisuus. R3:ssa puolestaan yhdistyvät alhainen sadanta, keskimääräisen alhainen alkuperäinen suolapitoisuus ja keskimääräisen korkea virtaus, johtaen arvioon "alhainen" lopullinen suolapitoisuus.

Nämä epäterävät tulosjoukot yhdistetään lopuksi käyttäen t-conormia (tässä tapauksessa maksimioperaatiota), jolloin muodostuu kokonaisepäterävä tulosjoukko. Lopullinen arvo saadaan defuzzifioimalla tämä joukko painopisteen (Center of Gravity) menetelmällä, joka tässä tapauksessa antoi arvoksi 15.2‰.

Fuzzy-mallinnuksen etuna on sen kyky hyödyntää asiantuntijatietoa ilman tarvetta täydelliselle tilastolliselle jakaumatiedolle. Tämä on erityisen arvokasta ekologisissa sovelluksissa, joissa järjestelmät ovat monimutkaisia, muuttujien välinen dynamiikka on epälineaarista ja mittausdatan saatavuus voi olla rajallista. Sääntöpohjaa voidaan laajentaa ja tarkentaa sitä mukaa, kun uutta tietoa kertyy tai asiantuntijanäkemykset kehittyvät.

On tärkeää huomioida, että sumean järjestelmän onnistuminen riippuu sääntöpohjan laadusta ja kuuluvuustoimintojen huolellisesta määrittelystä. Virheellinen tai puutteellinen sääntörakenne voi johtaa harhaanjohtaviin lopputuloksiin. Lisäksi defuzzifikaatiomenetelmän valinta vaikuttaa mallin herkkyyteen ja vasteeseen eri syöteyhdistelmissä.

Miksi muutos ja epävarmuus ovat keskeisiä ajattelussa ja todellisuuden ymmärtämisessä?

Jo varhaiset filosofit käsittelivät maailmankuvan ytimenä muutoksen ja pysyvyyden ongelmaa. Herakleitoksen ajatus siitä, että virtaava joki ei ole koskaan sama, ilmentää maailmankaikkeuden jatkuvaa liikettä ja muutosta, jossa mikään ei pysy identtisenä edes hetkeä pidempään. Hänen oppilaansa Kratyylos meni tästä vielä pidemmälle, väittäen, että emme voi edes kertaakaan kylpeä samassa joessa, sillä nimeämällä asioita annamme niille keinotekoista pysyvyyttä, vaikka todellisuudessa kaikki on jatkuvassa liikkeessä. Tämä näkemys haastaa perinteisen ajatuksen, että maailmassa olisi jokin pysyvä substanssi tai olemus.

Toisaalta Elealaiset, erityisesti Parmenides, kyseenalaistivat muutoksen itse olemassaolon. Heidän mukaansa todellisuus on yhtä ainoaa, muuttumatonta olevaa, joka on yhtä kuin ajattelu. Parmenideen ajatus asettaa liikkeen ja muutoksen epätodellisiksi, mikä johtaa Zeno Elealaisen paradokseihin, kuten Akhilleuksen ja kilpikonnan tarinaan, jossa liike näyttäytyy loogisesti mahdottomana.

Sofistit, erityisesti Protagoras, käänsivät tämän näkemyksen kohti inhimillistä kokemusta ja käytäntöä. He korostivat, että "ihminen on kaikkien asioiden mitta", mikä tarkoittaa, ettei ole olemassa absoluuttista totuutta tai valhetta, vaan totuus on suhteellista ja sidoksissa ihmisten kokemuksiin ja näkemyksiin. Rhetoriikka on heidän mukaansa työkalu löytää käytännöllisiä ratkaisuja, korvaten absoluuttisen tiedon kriteerin paremmuuden ja huonommuuden suhteellisilla arvioilla. Tämä suhtautumistapa nostaa esiin tiedon subjektiivisuuden, epätarkkuuden ja epävarmuuden, jotka ovat erottamattomia osia kielen ja ymmärryksen prosesseissa.

Sokrates nosti keskustelun uudelle tasolle kysymällä "Mitä on?", pyrkien selvittämään olemassaolon ja tiedon perimmäistä luonnetta. Platon, hänen oppilaansa, yhdisti Herakleitoksen jatkuvan muutoksen maailmankuvan ja Parmenideen muuttumattoman olemuksen ajatuksen luomalla ideamaailman käsitteen, jossa täydelliset ja muuttumattomat ideat muodostavat todellisuuden perustan. Sensuaalinen maailma on vain tämän ideamaailman heijastus, jatkuvassa muutoksessa ja epätäydellisyydessä. Platonille tärkeintä ei ollut lopullinen tieto, vaan tie siihen — älyllinen dialektiikka ja intuition käyttö.

Aristoteles siirsi painopisteen konkreettisten asioiden logiikkaan ja päättelyyn, kytkien tiedon universaaleihin periaatteisiin ja syllogismeihin. Hän katsoi, että pysyvät totuudet löytyvät loogisen päättelyn kautta, mikä eroaa sofistien relativismista ja skeptisyydestä. Sofistit puolestaan näkevät retoriikan voimana, jolla voidaan vaikuttaa ihmisiin, koska objektiivista totuutta ei ole olemassa.

Arkielämän esimerkki "tavataan neljältä" havainnollistaa tämän epävarmuuden ja varmuuden yhteensovittamisen tarpeen. Ajan käsite on abstrakti, mutta välttämätön yhteisymmärryksen ja toiminnan kannalta. Samanaikaisesti ajan mittaaminen täydellisesti on käytännössä mahdotonta. Tämä ilmentää sekä Platonia tukevan abstraktin totuuden että sofistien korostaman käytännön suhteellisuuden tarvetta.

Epävarmuus ilmiönä käsittää monia eri muotoja, kuten subjektiivisuuden, epätarkkuuden, sattumanvaraisuuden, epäilyn ja monitulkintaisuuden. Nämä ilmiöt ovat haastaneet perinteisen matemaattisen käsittelyn, jossa erityisesti todennäköisyysteoria on ottanut keskeisen roolin satunnaisuuden kuvaamisessa. Heisenbergin epätarkkuusperiaate kvanttifysiikassa osoittaa, että subatomisten hiukkasten paikan ja nopeuden yhtäaikainen tarkka määrittäminen on mahdotonta, mikä tuo esiin luonnon perimmäisen epävarmuuden.

Kuitenkin monet jokapäiväiset ilmiöt, kuten kielessä esiintyvät epämääräiset ja suhteelliset käsitteet, kuten "pitkä" tai "raskas", ovat jääneet perinteisen matemaattisen analyysin ulkopuolelle. Näiden kuvaamiseen tarvitaan asteikkoja, jotka sallivat epätäydelliset totuudet ja laadulliset erot. Tällainen lähestymistapa heijastaa sofistien "parempien standardien" käsitettä ja korostaa epävarmuuden ja monimerkityksisyyden hyväksymistä osana inhimillistä tiedonrakentamista.

Fuzzy-joukot ja niiden laajennusperiaate Zadehin mukaan

Fuzzy-joukkojen ja epävarmuuden käsitteet eroavat toisistaan, vaikka niitä usein käsitellään rinnakkain. Fuzzy-joukot tuovat esiin joukon jäsenten asteittaisen kuulumisen tiettyyn kokonaisuuteen, mikä on keskeinen ero perinteisiin, selkeisiin joukkokäsitteisiin verrattuna. Fuzzy-joukon jäsenyyden aste ei ole pelkkä "kuuluu" tai "ei kuulu", vaan sen arvo voi vaihdella välillä 0 ja 1, mikä tuo mukanaan monia mielenkiintoisia ja monimutkaisia matemaattisia ja filosofisia kysymyksiä.

Esimerkiksi, jos meillä on fuzzy-joukko $A$, joka koostuu reaaliluvuista ja jonka jäsenyysfunktio $ϕ_A(x_i)$ on annettu, voimme laskea, kuinka hyvin kukin alkio $x_i$ kuuluu joukkoon $A$. Tämä ei ole vain matemaattinen laskelma, vaan myös ajatus siitä, kuinka "epäselvä" tai "epävarma" yksittäisen alkion kuuluminen joukkoon voi olla. Tällöin käytämme merkintää $\sum_n A = \sum_{i=1}^{n} ϕ_A(x_i)$, missä $ϕ_A(x_i)$ ilmaisee kunkin alkion kuulumisasteen joukkoon. Jos jäsenyysfunktio on määritelty tietyllä välillä, kuten $[0, 1]$, se kuvaa asteittaisen jäsenyyden ominaisuuksia.

Fuzzy-joukkojen sovelluksia voidaan havaita monilla elämänalueilla, kuten eläinten käytöksessä, jossa määritämme esimerkiksi suden saalistuskyvyn ikäluokkien mukaan. Tällöin suden ikä määrittää sen saalistuskyvyn tason, mutta tämä kyky ei ole yksiselitteinen – se vaihtelee nuorten, aikuisten ja vanhojen susien välillä. Fuzzy-joukkoa voidaan käyttää määrittämään, kuinka hyvin tietty susi sopii tähän saalistuskykyyn, jolloin saalistuskyvyn aste riippuu sen iästä.

Esimerkiksi suden saalistuskyvyn jäsenyysfunktio voidaan määritellä seuraavasti: $ϕ_P(x)$, missä $x$ on suden ikä ja $ϕ_P(x)$ on sen saalistuskyvyn aste. Nuoret sudet voivat olla vähemmän saalistavia kuin aikuiset, ja vanhat sudet voivat menettää saalistuskykyään. Tämä voidaan määritellä seuraavilla funktioilla: