Geometristen Newton-Gregory-interpolointikaavojen soveltaminen numeerisessa analyysissä

Olkoon $y = f(x)$ funktio, joka ottaa arvot $f(a), f(a \oplus h), f(a \oplus (e_2 \odot h)), f(a \oplus (e_3 \odot h)), \dots, f(a \oplus (e_n \odot h))$ $n+1$ geometristen etäisyyksien arvoissa $a, a \oplus h, a \oplus (e_2 \odot h), a \oplus (e_3 \odot h), \dots, a \oplus (e_n \odot h)$, jotka muodostavat geometrian mukaisen aritmeettisen progression. Olkoon $P_n(x)$ geometristen polynomien kaava, joka määritellään seuraavasti:

Valitsemme kertoimet $A_0, A_1, A_2, \dots, A_n$ siten, että:

Tämä johtaa geometristen Newton-Gregory eteenpäin interpolointikaavojen saamiseen, joiden avulla voidaan arvioida funktioiden arvoja, joissa käytetään geometristen etäisyyksien arvoja.

Geometrinen Newton-Gregory eteenpäin interpolointikaava on erittäin hyödyllinen silloin, kun käsitellään funktioita, joiden arvot ovat geometristen etäisyyksien mukaisia. Esimerkiksi laskemme $f(e^{1.3})$ käyttämällä geometristen etäisyyksien kaavaa. Tällöin tarvitsemme geometrisen erotustaulukon, jonka perusteella saamme laskettua halutun arvon tarkkuudella, joka on huomattavasti parempi kuin perinteinen interpolointi.

Geometrinen interpolointi eroaa perinteisestä interpoloinnista erityisesti siinä, että se ei perustu pelkästään polynomifunktioihin, kuten tavalliset interpolointimenetelmät, vaan se käyttää geometristen polynomien kaltaisia funktioita. Tämä avaa uusia mahdollisuuksia erityisesti transsendenttisten funktioiden laskemisessa, kuten eksponentti- ja logaritmifunktioiden, jotka ovat keskeisiä monilla tieteellisillä ja taloudellisilla aloilla.

Geometrisen interpoloinnin etu perinteisiin menetelmiin verrattuna on siinä, että se ei rajoitu vain polynomifunktioihin, vaan sillä on mahdollisuus käsitellä laajemmin funktioita, jotka eivät ole polynomimuodossa. Tämä tekee geometristen interpolointikaavojen käytöstä monipuolisemman ja tehokkaamman työkalun, erityisesti silloin, kun käsitellään arvoja, jotka liittyvät eksponentti- tai logaritmifunktioihin. Tämä soveltuu erityisesti tilanteisiin, joissa tavanomaiset interpolointimenetelmät voivat olla rajoittuneita.

Esimerkiksi $f(x) = \ln(x)$ funktion avulla voidaan käyttää geometristen taulukoiden ja kaavojen avulla arvioida $\ln(22)$, ja saamme tuloksen $3.0867$. Tämä on huomattavasti tarkempi kuin perinteisellä interpoloinnilla saatu tulos.

Geometristen interpolointimenetelmien edut näkyvät erityisesti silloin, kun datan välimatkat eivät ole tasaisia, kuten perinteisissä interpolointikaavoissa oletetaan. Geometrinen interpolointi mahdollistaa käytön silloin, kun arvot ovat geometristen etäisyyksien mukaisia, mikä lisää kaavojen sovellettavuutta ja tarkkuutta erityisesti monimutkaisissa laskelmissa, joissa perinteiset kaavat voivat olla epäluotettavia.

Mitä ovat β-summoitavat sarjat ja miten ne liittyvät ei-Newtonilaisiin sekvensseihin?

Tässä käsitellään ideaa, joka syntyi tarpeesta antaa merkitys ∗-divergenssisarjoille, kuten esimerkissä:

1̈ β = 1̈−̈1̈+̈1̈−̈1̈+̈1̈−̈ · · · (C, 1).

β − 1̈ lim β×̈ n→ ∑(σ1+̈σ2+̈ · · · +̈σ ∞ n) n̈.

Tätä kutsutaan (C, 2)β-summaksi. Menetelmä voidaan yleistää myös arvolle r ∈ N. Tällainen määritelmä antaa meille syvällisemmän käsityksen siitä, miten ∗-sarjat käyttäytyvät summoitavaksi ja miten ne voidaan käsitellä käyttäen vahvempia summoitusmenetelmiä.

Esimerkiksi (C, 1)-β-summoitukselle on olemassa seuraavat ominaisuudet:

1. Jos sarja ∑∞ k=1 ak on summoitavissa (C, 1)-β-menetelmällä ja sarja ∑∞ k=1 bk on myös summoitavissa, niin voidaan todeta seuraavat suhteet:

β − ∑(y×̈ak)+̈(z×̈bk) = (y×̈A)+̈(z ∞ ∑×̈B) (C, 1), jossa A ja B ovat alkuperäisten sarjojen summat.

2. Jos β − ∑∞ k=1 ak = A (C, 1), niin on mahdollista kirjoittaa seuraava:

β − ∑∞ k=1 ak+1 = A −̈a1 (C, 1).

Tämä tarkoittaa, että sarjan ensimmäinen termi voidaan ottaa huomioon ja sen vaikutus näkyy summassa.

Tärkeä huomio on, että jos sarjan β-summa on A, niin tämä on yhteydessä siihen, että sn (sarjan osasummat) lähestyvät arvoa A, ja tästä syystä voidaan todeta seuraavaa:

β − lim inf σn≥̈A.

Samalla tavoin β − lim supσn ≤̈A, joten voimme päätellä, että β − limn→∞ σn = A, kuten oli odotettavissa. Tämä osoittaa, että sarjat, jotka ovat β-summoitavia, käyttäytyvät tietyllä tavalla ja niiden rajat voidaan määritellä tarkasti.

Abel-β-summa on toinen tärkeä β-summoitusmenetelmä. Määritelmä on seuraava:

Jos sarja β − ∑∞ k=0 ak×̈ı(x)kβ = A, kun x → 1̇−, niin sanotaan, että tämä sarja on β-summoitavissa Abel-tyyppisesti ja sen Abel-β-summa on A.

Tämä on erityisen tärkeää, koska Abel-β-summa ja (C, 1)-β-summa antavat samat tulokset tietyissä olosuhteissa. Abel-β-summa on kuitenkin voimakkaampi ja antaa tarkempia tuloksia sarjoille, joissa on tietyntyyppistä käyttäytymistä, kuten reuna-arvojen lähestyminen.

Esimerkiksi sarja 1̈−̈1̈+̈1̈−̈1̈+̈1̈−̈ · · · voidaan käsitellä Abel-β-summan avulla ja sen summa on 1̈, kuten voidaan nähdä.

Abel-β-summan etu on, että se tarjoaa tarkempia tuloksia sarjoille, jotka eivät ole perinteisesti summoitavissa. Tämä auttaa ymmärtämään, miksi ja miten ei-Newtonilaiset sarjat voivat olla käyttäytymiskykyisiä, vaikka ne eivät olisi tavallisia summoitavissa olevia sarjoja.

Toinen tärkeä käsite tässä yhteydessä on sarjojen ∗-säännöllisyys. Tämä tarkoittaa sitä, että jos sarja β − ∑∞ k=1 ak on Abel-summoitavissa, niin myös sen vastaava ∗-sarja β − ∑∞ k=0 ak×̈ı(x)kβ on ∗-konvergoituva.

Tämä tarkoittaa, että Abel-β-summa ja ∗-summoitusmenetelmät toimivat hyvin yhdessä ja voivat antaa tarkempia tuloksia sarjoille, jotka eivät muuten ole helposti analysoitavissa. Jos sarja on ∗-konvergoituva tietyllä tavalla, se voidaan myös käsitellä Abel-β-summan avulla.

Lisäksi, Abel-β-summa ja (C, 1)-β-summa ovat yhteydessä toisiinsa siten, että niiden tulokset ovat samat, jos sarja täyttää tietyt ehdot. Tämä voi olla hyödyllistä, kun tarkastellaan ei-Newtonilaisia sarjoja ja niiden summoitavuutta.

Esimerkiksi esimerkeissä 9.4 ja 9.5 käsitellään sarjojen summoitavuutta ja sen, miksi tiettyjen sarjojen summat eivät ole olemassa perinteisellä (C, 1)-β-menetelmällä, mutta ne voivat olla summoitavissa Abel-β-menetelmällä. Tämä osoittaa, kuinka tärkeää on valita oikea summoitusmenetelmä, kun käsitellään ei-Newtonilaisia sekvenssejä ja sarjoja.

Lopuksi on tärkeää ymmärtää, että vaikka β-summoitusmenetelmät tarjoavat tehokkaan tavan käsitellä divergoivia sarjoja, ne eivät ole kaikenkattavia. On tilanteita, joissa sarjat voivat olla summoitavissa vain tietyillä ehdoilla, ja se, että sarja on β-summoitavissa, ei tarkoita, että se olisi summoitavissa tavanomaisilla menetelmillä. Tämä korostaa β-summoitusmenetelmien merkitystä ja niiden käyttöä ei-Newtonilaisissa sekvensseissä ja sarjoissa.