Mikä on markkinamalli, joka täyttää yhden hinnan lain, mutta ei ole arbitraasi-vapaa?

Markkinahinnat, jotka noudattavat yhden hinnan lakia, voivat kuitenkin sisältää piirteitä, jotka tekevät markkinasta ei-arbitraasi-vapaan. Yhden hinnan laki tarkoittaa, että saman omaisuuden hinta on identtinen kaikilla markkinoilla, mutta markkinoilla voi olla silti mahdollisuus hyödyntää eroja hinnoissa ja tehdä voittoa ilman riskiä, mikä ei ole hyväksyttävää arbitraasi-vapaassa markkinassa.

Esimerkiksi, jos markkinalla on useita kaupankäynnissä olevia omaisuuksia, joiden hinnat määräytyvät jonkinlaisilla lineaarisilla suhteilla toisiinsa, voidaan syntyä tilanne, jossa vaikka kaikki hinnat noudattavat yhden hinnan lakia, markkinoilla voi silti olla tilanteita, joissa ei voida sulkea pois arbitraasia. Tämä voi johtua esimerkiksi siitä, että markkinoilla on redundanssia — eli osa omaisuuksista on korvattavissa toisen omaisuuden avulla. Tällöin, vaikka markkinahinnat täyttävät yhden hinnan lain, tämä ei estä arbitraasin mahdollisuuksia, koska markkinat eivät ole täysin tehokkaita.

Konkreettisesti voidaan ajatella, että markkinamallissa, jossa on useita omaisuuksia ja niiden hinnat määräytyvät lineaarisesti toistensa suhteista, mutta osa omaisuuksista voidaan esittää muiden omaisuuksien yhdistelmänä, ei ole kaikki omaisuudet täysin erillisiä toisistaan. Tällöin markkinamalli on ei-arbitraasi-vapaa, vaikka se saattaa noudattaa yhden hinnan lakia.

Kun tarkastellaan markkinamallia, jossa ei ole redundanssia, kuten ei-arbitraasi-vapaassa mallissa, markkinahintojen määräytyminen voi olla tarkempaa ja lineaariset suhteet omaisuuksien välillä voivat estää arbitraasimahdollisuuksia. Tämä tarkoittaa sitä, että jos jollain omaisuudella on nollatuotto, se ei johda toisiin omaisuuksiin, jotka voivat tuottaa arvonmuutoksia.

Tässä yhteydessä on tärkeää huomata, että vaikka markkinoilla ei olisi arbitraasi-vapaita mahdollisuuksia, se ei välttämättä tarkoita, että kaikki mahdolliset markkinat olisivat täydellisesti ennustettavissa. Esimerkiksi arvonmuutokset voivat liittyä moniin muihin tekijöihin kuin pelkkiin hintoihin, kuten markkinahäiriöihin tai ulkoisiin tekijöihin, jotka vaikuttavat markkinan käyttäytymiseen. Arbitraasi-vapaa markkinamalli voi silti pitää sisällään monia monimutkaisia tekijöitä, joita ei ole helppo mallintaa pelkällä hinnoilla.

Erityisesti markkinoiden mallintaminen, joissa on äärettömän monta kaupan kohdetta, voi johtaa tilanteisiin, joissa arbitraasin puuttuminen ei takaa riskineutraalia mittaria. Esimerkiksi, jos markkinahinnat määräytyvät äärettömän monta omaisuutta koskevista odotuksista, yksittäisen omaisuuden hinnoittelu voi olla haasteellista, koska ei ole olemassa yksiselitteistä markkinahintojen jakaumaa tai tasapainoa.

Tällöin markkinamallin laajentaminen vaatii enemmän monimutkaisempia laskelmia ja suurempaa tarkkuutta. Kun tarkastellaan äärettömän monta omaisuutta markkinoilla, normaalit riskineutraalit mittarit eivät ehkä toimi yhtä hyvin kuin rajoitetussa markkinamallissa. Tämä johtuu siitä, että riskineutraali mittari ei aina ole ainutlaatuinen, erityisesti kun markkinalla on äärettömiä omaisuuksia.

Tällaisessa mallissa markkinoilla voi esiintyä äärettömiä hinnoittelu- ja riskiarviointimahdollisuuksia, mutta silti se ei takaa arbitraasin puuttumista. Tämä ilmiö voi ilmetä erityisesti markkinoilla, joissa omaisuuksia on runsaasti ja niiden hinnat määräytyvät erittäin monimutkaisilla säännöillä.

Lopuksi, vaikka markkinamallin yksityiskohdat voivat näyttää huolellisesti määritellyiltä ja hyvin rakennetuilta, on tärkeää muistaa, että riskienhallinta ja markkinoiden tasapaino voivat edelleen olla haasteellisia jopa teoriassa täydellisissä markkinamalleissa. Siksi markkinamallin kehittäminen, vaikka se täyttääkin yhden hinnan lain, ei riitä takaamaan arbitraasin puuttumista.

Miten pysäytysaika vaikuttaa amerikkalaisten optioiden hinnoitteluun ja strategioihin?

Jensenin epätasa-arvoisuus ehdollisille odotuksille merkitsee, että $E^* [ f(X_{t+1}) | F_t ] \geq f(E^* [ X_{t+1} | F_t ]) = f(X_t)$ . Tämä kaava avaa meille ymmärryksen siitä, kuinka odotettu arvo ja itse funktio voivat erota toisistaan, mikä on keskeistä, kun tarkastelemme optioiden hinnoittelua ja optimaalisia pysäytysaikastrategioita. Esimerkiksi Yhdysvaltalaisen osto-option diskontattu tuotto $C^{\text{call}}_t = (S_{1t} - K)^+$ voidaan esittää muodossa $H^{\text{call}}_{K+t} = (X_1^t - S_0) \cdot t$ , jossa $S_0^t$ kasvaa ajan myötä. Tämä merkitsee, että $E^* [ H^{\text{call}}_{t+1} | F_t ] \geq H^{\text{call}}_t$ P $^*$ -kokoisella todennäköisyydellä kaikille $t = 0, \dots, T-1$ . Tämän seurauksena $H^{\text{call}}$ on submartingeli, ja sen Snell-enveloppi $UP^*$ vastaa eurooppalaisen osto-option arvofunktiota $V_t = E^* [(X_1^K)^+ | F_t]$ ajoituksella $T$ .

Käytännössä tämä tarkoittaa, että amerikkalaisen osto-option optimaalinen pysäytysaika on $T$ , eikä sitä tulisi käyttää ennen eräpäivää, mikäli markkinat ovat täydelliset ja korko on ei-negatiivinen. Tämä on olennaista ymmärtää, sillä se poistaa tarpeen aikaiselle toteutukselle, mikä johtaa optimaaliseen arvoon, joka vastaa eurooppalaisen option hintaa.

Erilainen tilanne ilmenee amerikkalaisen myyntivaihtoehdon $C^{\text{put}}_t := (K - S_{1t})^+$ osalta. Tällöin yllä esitetty kaava ei päde, ellei $S_0$ ole laskeva, kuten esimerkiksi riskittömän velkakirjan tapauksessa negatiivisten korkojen ympäristössä. Jos $S_0$ on kasvava ja epälineaarinen, eurooppalaisen myyntivaihtoehdon ajan arvo $W_t := S_0 t E^*[(K - S_1^T)^+ | F_t] - (K - S_1^t)^+$ voi käydä negatiiviseksi jossain vaiheessa. Tällöin aikainen toteutus voi johtaa niin sanottuun aikaisen toteutuksen ylikompensaatioon eli ylimääräiseen arvoon, joka on amerikkalaisen myyntivaihtoehdon omistajalla verrattuna eurooppalaiseen vaihtoehtoon.

Pysäytysaikastrategioiden analyysissa on tärkeää tarkastella myös CRR-mallia, jossa riskillisen omaisuuden hinnan kehitykselle on määritelty diskontattu prosessi $S_t = S_0 \Lambda_t$ . Tällöin korot $a$ ja $b$ määrittävät markkinan täydellisyyden ja riskeettömän koron suhteet. Jos riskittömän koron $r$ arvo on välillä $a < r < b$ , markkina on täydellinen ja ekvivalentti martingaali -mittari $P^*$ määritellään niin, että $R_1, \dots, R_T$ ovat riippumattomia ja niillä on yhteinen jakautuminen.

Amerikkalaisen myyntivaihtoehdon hinta $\pi(x)$ voidaan määrittää funktiona $x := S_0$ , ja se on konveksi ja laskeva. On mahdollista, että optimaalisin strategia on toteuttaa optio heti, mikäli vaihtoehto on ”kauas rahasta” (tällöin $x \geq K$ ), jolloin $\pi(x) = 0$ . Jos taas $x$ on lähellä rahaa tai ”ei liian kaukana rahasta”, kuten tilanteessa $K \leq x < (1 + a)^T$ , optioita ei kannata toteuttaa heti, sillä odotettu tuotto on suurempi kuin itse optioarvo. Tällöin $\pi(x)$ on suurempi kuin alkuperäinen optioarvo, ja optimaalinen strategia on odottaa, kunnes optio saavuttaa optimaalisen toteutusaikansa.

Snell-enveloppi $UP^*$ on keskeinen työkalu, joka yhdistää amerikkalaisen ehdollisen hinnan ja sen optimaalisen toteutusajan. Tämä voidaan johdonmukaisesti laskea toistuvan rekursion avulla, joka määrittää optimaalisen pysäytysajan $\tau_{\text{min}}$ ensimmäiseksi ajaksi, jolloin hinta lähestyy alkuperäistä. Tässä mielessä amerikkalaisen optioiden hinnoittelussa otetaan huomioon niin tulevat mahdolliset maksut kuin markkinan nykytilanne, mikä mahdollistaa optimaalisten päätösten tekemisen osakekaupassa.

Kokonaisuudessaan optimaalinen pysäytysaika ja hinta määräytyvät mallin ja markkinan ehdoista riippuen. Vaikka yleinen tilanne saattaa viitata siihen, että amerikkalaisen ostooption toteutus jää viimeiselle mahdolliselle ajankohdalle, erityisesti epälineaaristen hintakehitysten ja negatiivisten korkojen ympäristössä, optimaalinen strategia voi poiketa tästä oletuksesta. Tämä tarjoaa arvokkaita näkökulmia markkinatoimijoille, jotka haluavat optimoida strategiansa riskienhallintaa ja voittojen maksimointia silmällä pitäen.

Mikä on P-supermartingaali ja sen yhteys ylä-Snellin kuoreen?

Tarkastellaan prosessia, jonka avulla voimme käsitellä rahoitusinstrumenttien hinnoittelua ja mahdollisia strategioita, jotka eivät johda arbitraasiin. Tämä prosessi liittyy useisiin tärkeitä käsitteisiin, kuten P-supermartingaaleihin, P-martingaaleihin ja ylä-Snellin kuoreen, jotka tarjoavat työkaluja hinnoittelun ja suojauksen ymmärtämiseen. On tärkeää huomata, että näiden käsitteiden ymmärtäminen vaatii syvällistä tuntemusta todennäköisyyslaskennasta ja stochastisista prosesseista.

Oletetaan, että $Q$ on ei-tyhjä joukko todennäköisyysmittareita tietyllä $(\Omega, \mathcal{F}_T)$ -tilassa. Tällöin adaptoitu prosessi $H$ on $Q$ -supermartingaali, jos se on supermartingaali jokaiselle $Q \in Q$ . Samankaltaisesti määritellään myös $Q$ -submartingaali ja $Q$ -martingaali. Tämä on keskeistä, koska se mahdollistaa erilaisten todennäköisyysmittareiden avulla suojautumisen mahdollisilta riskiltä tai epätäydellisyydeltä markkinoilla.

Teoreemassa 7.2 määritellään ylä-Snellin kuori $U^\uparrow$ seuraavalla tavalla: $U^\uparrow_t$ on pienin $P$ -supermartingaali, joka dominoi prosessia $H$ . Tämä tarkoittaa, että ylä-Snellin kuori on tärkeä työkalu, koska se antaa meille pienimmän supermartingaaliin liittyvän prosessin, joka täyttää tarvittavat hinnoitteluehdot ja estää arbitraasin. Tämä liittyy suoraan siihen, että arvojen tulee olla niin sanotusti hallittuja, eli ne eivät saa ylittää arbitraasiin liittyviä rajoja.

Esimerkiksi, jos meillä on diskontattu eurooppalainen optio $H_E$ , niin voimme käyttää ylä-Snellin kuorta seuraavalla tavalla: $V^\uparrow_t = \text{ess sup}_{P^* \in P} E^*[H_E | \mathcal{F}_t]$ , jossa $V^\uparrow$ on pienin $P$ -supermartingaali, jonka lopullinen arvo dominoi $H_E$ :tä. Tämä on tärkeä menetelmä, koska se mahdollistaa optioiden hinnoittelun, joka ei ole riippuvainen yksittäisestä todennäköisyysmittarista, vaan ottaa huomioon kaikki mahdolliset mittarit.

Kun tarkastellaan superhedge-strategioita, määritellään strategia $\xi$ itsehoitavana, jos sen arvoprosessi $V$ täyttää ehdon $V_t \geq H_t$ P-a:s. kaikilla aikaväleillä $t$ . Tämä tarkoittaa, että strategia varmistaa aina, että sijoittajan portfolion arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin tuotteen $H$ arvo tietyllä hetkellä. Superhedge-strategia mahdollistaa riskien suojauksen kaikilla markkinatason epävarmuuksilla.

Jos $H$ ei ole saavutettavissa, se tarkoittaa, että ei ole olemassa mitään superhedge-strategiaa, joka täyttäisi ehdon $V_t \geq H_t$ kaikilla $t$ . Tällöin tarvitaan muita menetelmiä suojautumisen mahdollistamiseksi. Tällöin superhedge-strategiat eivät riitä estämään arbitraasia, mutta ne voivat silti tarjota käsityksiä siitä, millaisia riskejä voi syntyä markkinoiden epäjohdonmukaisista liikkeistä.

Erityisesti, superhedge-strategioiden avulla voidaan tutkia, milloin markkinat tarjoavat mahdollisuuden rakentaa strategia, joka ei vain suojaa, vaan myös maksimoi mahdollisen voiton, jos markkinat eivät käyttäydy ennakoidusti. Tämä on keskeinen osa rahoitusmarkkinoiden dynamiikan ymmärtämistä ja arbitraasin eliminointia.

Teoreettinen pohja P-supermartingaaleille ja niiden yhteydelle ylä-Snellin kuoreen on vahvasti sidoksissa rahoitusinstrumenttien hinnoitteluun ja strategioihin, joita voidaan käyttää markkinoilla. On myös tärkeää huomata, että markkinat eivät aina ole täydellisiä ja arbitraasi voi silti olla mahdollista tietyissä olosuhteissa, erityisesti, jos markkinoiden likviditeetti tai tiedon saatavuus on rajoitettu.

Ymmärtäminen, kuinka superhedge-strategiat voivat vaikuttaa pitkän aikavälin tuottoihin, on oleellista, sillä se antaa sijoittajille mahdollisuuden tehdä järkeviä päätöksiä ottaen huomioon mahdolliset markkinariskit ja epävarmuudet.

Miten anaboliset androgeniset steroidit vaikuttavat kehoon ja mieleen?
Miksi kielet katoavat ja miten monikielisyys muuttuu globaalissa maailmassa?
Miten pandemia, rotu ja politiikka muovasivat kasvatusta kriisiaikoina?