Alkulukuja ja solmuja voidaan tarkastella kiehtovassa yhteydessä, jossa niiden välinen yhteys ei ole pelkästään matemaattinen, vaan se ulottuu myös geometriaan ja topologiaan. Tässä yhteydessä pohdimme muun muassa, kuinka solmujen liitokset ja alkulukujen ominaisuudet voivat ilmentyä samankaltaisesti erilaisten topologisten ja aritmeettisten konstruktioiden kautta.

Alkulukujen ja solmujen välillä voidaan havaita yhteyksiä erityisesti niiden topologisessa käytöksessä ja keskinäisissä suhteissa. Esimerkiksi Frobeniusin elementtien konjugaatioluokat voivat tuoda esiin matemaattisia yhtäläisyyksiä solmujen ja alkulukujen välillä. Kun käsitellään näitä elementtejä, on tärkeää huomata, että vaikka solmu ja alkuluku voivat alkuun vaikuttaa hyvin erilaisilta ilmiöiltä, ne molemmat ilmentävät jollain tavalla "linkkaamista" — alkulukujen tapauksessa kvadratic reciprocity -säännön avulla, ja solmujen tapauksessa erilaisten linking-numeron määritelmiin ja sen synnynnäisiin symmetrioihin nojaten.

Kun siirrytään tarkastelemaan spesifistä alkulukujen paria, kuten p ja q, voidaan muodostaa vastakkaisia liitoksia, jotka liittyvät toisiinsa jollain tavoin erityisesti linkkivälin kautta. Esimerkiksi linkityksen "numero" p:n ja q:n välillä antaa tietyllä tavalla alkulukujen vuorovaikutuksen määritelmän, joka avaa oven klassiseen kvadratic reciprocity -lauseeseen. Kvadratic reciprocity on merkittävä sääntö, joka määrittelee, että p on neliö modulo q, jos ja vain jos q on neliö modulo p, poikkeuksena on kuitenkin tilanne, jossa sekä p että q ovat -1 mod 4, jolloin tilanne kääntyy toisin päin.

Tässä tulee esille mielenkiintoinen yhteys, joka avaa näkökulman korkeampiin linkkivälin käsitteisiin ja niiden mahdollisiin jatkokehityksiin. Linkkivälin synnynnäiset symmetriat ovat avainasemassa, ja ne viittaavatkin myös solmujen korkeampiin invarianttien määritelmiin, kuten "Borromean" solmujen tapaukseen. Tämä ilmiö, jossa kolme erillistä solmua ovat keskenään linkitettyjä, mutta yksittäin eivät ole linkitettyjä, on loistava esimerkki siitä, kuinka matemaattiset ja topologiset käsitteet voivat keskinäisesti heijastella toisiaan. Borromean solmujen kautta voidaan tunnistaa sekundaarisia (tai korkeampia) linkkivälin määritelmiä, joita voi tarkastella myös alkulukujen kautta. Esimerkiksi kolmen erillisen alkuluvun, p, q ja r, välillä, jotka ovat kaikki kongruentteja 1 mod 4 ja ovat neliöjäännöksiä toistensa moduloissa, voidaan tarkastella eräänlaista mod 2 -invarianttia, joka mittaa näiden alkulukujen kolminkertaista kietoutumista toisiinsa.

Chebotarevin lauseke liittyy näihin rakenteisiin ja antaa matemaattisen tavan tarkastella, kuinka tietyt rakenteet voivat esiintyä ja jakautua matemaattisessa ja topologisessa tilassa. Tässä yhteydessä voidaan pohtia niin sanottuja "Chebotarev-järjestelyjä", jotka ovat hajautettuja järjestelmiä, jotka linkittävät alkulukuja ja solmuja toisiinsa tietyllä tavalla, muodostaen niin sanottuja tilastollisia sääntöjä Galois-hakemistoissa. Tämä ajatus on kuin matemaattinen leikki, jossa tarkastellaan solmujen ja alkulukujen jakautumista ja linkittymistä keskenään tietyissä geometrian ja aritmetiikan sääntöjen puitteissa.

Lopuksi voidaan tarkastella myös solmujen ja alkulukujen käyttäytymistä dynaamisina järjestelminä. Alkulukuja ja solmuja voidaan ajatella myös "fibroiduiksi", jolloin niiden liitokset ja vuorovaikutukset muodostavat toisiinsa kietoutuvia järjestelmiä, jotka heijastavat syvempiä matemaattisia ilmiöitä. Tässä yhteydessä voidaan käyttää ajatuskokeita, jotka auttavat ymmärtämään, kuinka nämä rakenteet voivat jakautua ja kuinka niitä voidaan tutkia eri matemaattisilla työkaluilla.

Endtext

Miten 3-ulotteisten suljettujen monimutkaisten avaruuksien universaalit peittoavaruudet liittyvät yksinkertaisiin yhteyksiin äärettömyyteen ja kaottisiin dynamiikkoihin?

Kun tarkastellaan 3-ulotteisten suljettujen monimutkaisten avaruuksien fundamentaaliryhmää, on tärkeää huomioida, että jos tämä ryhmä voidaan esittää tietyllä tavalla, kuten esimerkissä (3), on alkuperäisen avaruuden oltava yksinkertaisesti yhdistettävä. Tätä ajatusta jatkaessani aloin tutkia universaalien peittoavaruuksien käyttäytymistä suljettujen 3-ulotteisten monimutkaisten avaruuksien yhteydessä. Tätä tutkimusta voitiin pitää tehokkaana työkaluna, sillä vuonna 1990 pystyin osoittamaan useita teoreemoja, joiden pääsisältö oli seuraava: Jos jonkin suljetun 3-ulotteisen monimutkaisen avaruuden fundamentaaliryhmä täyttää tiettyjä geometrisia ehtoja, kuten Gromovin hyperbolisuutta, Cannonin lähes konveksiutta, automaattisuutta tai Thurstonin yhdistettävyyttä, silloin universaalin peittoavaruuden äärettömyyteen ulottuva fundamentaaliryhmä on nolla. Tämä tarkoittaa käytännössä sitä, että kyseisen universaalin peittoavaruuden fundamentaaliryhmän äärettömyyteen liittyvä π∞ 1 on nolla.

On tärkeää huomata, että tällaiset ilmiöt ovat tyypillisiä juuri kolmelle ulottuvuudelle, ja ne epäonnistuvat yleensä muissa ulottuvuuksissa, kuten neljännellä ja korkeammilla ulottuvuuksilla. Andrew Casson on itsenäisesti osoittanut samanlaista, ja tämä ei ollut ensimmäinen kerta, kun me kaksi törmäsimme samanlaisiin ajatuksiin.

Jos annetaan minulle irrreductible suljettu 3-ulotteinen monimutkainen avaruus, voidaan todeta, että sen universaali peittoavaruus on yksinkertaisesti yhdistettävä äärettömyydessä. Tämä tarkoittaa, että peittoavaruus on itse asiassa Euklidinen 3-avaruus. Tämän oivalluksen myötä aloin pohtia myös yksinkertaisesti yhdistettäviä villiä avoimia 3-ulotteisia monimutkaisia avaruuksia ja siten aloin tutkia Whiteheadin klassista monimutkaista avaruutta. Whiteheadin avaruus on tunnettu esimerkki avoimesta sopivasti kutistuvasta 3-ulotteisesta monimutkaisesta avaruudesta, joka täyttää myös π∞ 1 = 0.

Kuitenkin, kun aloin tutkia näitä universaaleja peittoja, huomasin, että jokin oli menossa todella pieleen. Ahdistus alkoi kasvaa, sillä olin pelännyt, että koko teoriaani oli tullut vakava virhe. Tajusin silloin, että olin kohdannut kaaottista käyttäytymistä. En ollut kovin perehtynyt tähän ilmiöön, joten kiirehdin IHES:iin (Institut des Hautes Études Scientifiques), toivoen, että löytäisin Dennis Sullivanin ja saisinkin häneltä neuvoja. Valitettavasti Dennis oli kaupungin ulkopuolella, mutta tapasin sen sijaan Hamal Hubbardin, joka ystävällisesti selitti minulle, että olin löytänyt Julia-joukot. Vietettyämme koko päivän yhdessä, hän opetti minulle kvadrattisten karttojen, Julia-joukkojen ja Mandelbrotin joukon perusteet – kaiken, mitä tarvitsin jatkaakseni työtäni.

Whiteheadin monimutkaisen avaruuden dynamiikkat eivät ole vielä täysin kartoitetut alueet, mutta ne ovat merkittäviä ja ansaitsevat tutkiskelua. Smalen solenoidin kaltaiset hyperboliset dynamiikat voivat olla samankaltaisia, mutta Whiteheadin monimutkainen avaruus tuo esiin monimutkaisempia ja hienovaraisempia ei-hyperbolisia systeemejä. Esimerkiksi Whiteheadin monimutkaiselle avaruudelle liittyvä zeta-funktio on kysymys, joka ansaitsee tutkimista. Tämän lisäksi on olemassa myös muita dynaamisia järjestelmiä, jotka voivat ilmetä Whiteheadin peittoavaruuksista, jotka saattavat tuottaa kaaosilmiöitä, mutta niiden yhteydet Julia-joukkoihin eivät ole ilmeisiä.

Kun tämä ajatusprosessini eteni, palasin myös kahden haaran Levico-projektiin. Ensimmäinen haara johti artikkeliin nimeltä Po V-A, jonka pääteema liittyi neljännen ulottuvuuden teoreemaan. Tämä teoreema liittyy siihen, miten yksinkertaisuus (GSC) pitkällä etäisyydellä voidaan säilyttää neljännen ulottuvuuden peittoavaruuksissa, kun tietyt topologiset ehdot täyttyvät. Tämä teoreema oli erittäin vaikea ja sen todistaminen oli suuri haaste, mutta se johti lopulta laajalle artikkelille, joka julkaistiin IHES:n esipainoksena vuonna 2001.

Toinen Levico-projektin haara oli Po V-B, joka oli vielä monimutkaisempi ja joka jäi odottamaan ratkaisua. Tämä oli projekti, jonka tavoitteena oli käyttää Po V-A:n tuloksia osoittaakseen, että tiettyjen monimutkaisten avaruuksien peittoavaruudet olivat GSC. Tätä työtä käsitellessäni teimme usein keskusteluja Dave:n kanssa, joka vakuutti minut siitä, että Po V-A:n teoria oli oikea.

Samalla kun työskentelin näiden projektien parissa, aloin myös miettiä toista suurta projektia, joka liittyi siihen, kuinka kaikkien suljettujen 3-ulotteisten monimutkaisten avaruuksien universaalit peittoavaruudet olivat yksinkertaisesti yhdistettäviä äärettömyyteen. Tämä oli laajennettu versio aiemmin todistamastani tuloksesta, joka koski vain tiettyjen geometristen ehtojen täyttymistä.

Tämä tutkimusmatka oli jatkuvaa tiedon etsimistä ja keskustelua, jossa eteen tuli monia ennennäkemättömiä dynaamisia ilmiöitä. On tärkeää huomata, että nämä tutkimukset eivät ainoastaan vie meitä lähemmäksi matematiikan ymmärtämistä vaan myös avaavat mahdollisuuksia tutkia dynaamisten järjestelmien käyttäytymistä, jotka voivat poiketa perinteisistä, hyvin tunnetuista systeemeistä.

Mikä on Lawsonia intracellularis ja sen vaikutus hamstereihin?
Kuinka vaaralliset johtajat voivat muuttaa todellisuutta – narsismin rooli politiikassa ja yhteiskunnassa
Mitä asymptoottien olemassaolo kertoo funktion käyttäytymisestä ääriarvoissa?