Miten tehokas suojautuminen toimii konvexien riskimittarien kanssa?

Tehokkaan suojautumisen käsite on tärkeä erityisesti markkinoilla, joissa pyritään minimoimaan riskejä tietyillä varallisuuden rajoilla. Yksi keskeinen lähestymistapa on konvexin riskimittarin, kuten AV@Rλ, käyttö, joka tarjoaa välineet riskin arvioimiseen ja sen hallintaan tietyissä markkinatilanteissa. Tässä yhteydessä tarkastellaan erityisesti staattista optimointiongelmaa, jonka ratkaiseminen edellyttää riskimittarin ja markkinamallin yksityiskohtaista ymmärtämistä.

Aluksi tarkastellaan tilannetta, jossa riskimittari ρ on alhaalta jatkuva ja konvexi. Jos ρ on tällainen ja ρ(−Y) < ∞ jollekin Y:lle, niin voidaan osoittaa, että staattisella optimointiongelmalla (8.27) on ratkaisu. Erityisesti tämä pätee, jos H on rajattu ja ρ on jatkuva ylhäältä. Tässä yhteydessä voidaan käyttää Lemma 1.72:ta, joka valitsee konveksin yhdistelmän Yn, joka konvergoi P-a.s. johonkin satunnaismuuttujaan Z. Tällöin voidaan osoittaa, että Z on haluttu minimointiratkaisu.

Jos markkinamalli on täydellinen ja P = {P∗}, voidaan tämän ongelman ratkaista suoraan, ja se yksinkertaistuu muotoon, jossa minimoidaan ρ(Y − H) ehtona 0 ≤ Y ≤ H ja E∗ [Y] ≤ υ. Tämä ongelma voidaan muuntaa muotoon, jossa minimoidaan ρ(−Z), ja tästä saadaan lopullinen optimaali ratkaisu, joka perustuu AV@Rλ-mittariin. Tällöin ratkaisun hakeminen vie meidät minimaksiongelman ratkaisemiseen, ja tämä voidaan edelleen johtaa yksinkertaiseen minimointiongelmaan.

Kun tarkastellaan AV@Rλ:ta, voidaan käyttää sen seuraavaa esitystä:

Tämä esitys auttaa meitä ymmärtämään, että AV@Rλ-mittari ottaa huomioon sekä satunnaismuuttujan arvoja että riskin rajoittamista tietyllä tasolla r. Tämä on erityisen tärkeää, koska se liittyy markkinahintojen ja riskin välillä olevaan tasapainoon.

Teoreettisesti, jos satunnainen muuttuja H on L1(P) ja φ = dP∗/dP on P∗:n hinnan tiheys suhteessa P:hen, niin ongelma (8.28) myöntää ratkaisun. Tämä ratkaisu voidaan esittää muotona:
$Z∗ = H1_{\{φ > c\}} + (H ∧ r∗)1_{\{φ = c\}}$

Tässä Z∗ on optimaalinen suojautumissuunnitelma, joka täyttää kaikki määritellyt ehdot. Tämä tarkoittaa, että Z∗ valitsee sellaista pääomaa, joka suojaa tehokkaasti riskiltä tietyllä määrällä vakautta ja joka on aina rajattu tiettyyn maksimiarvoon. Tämä antaa myös viitteitä siitä, että optimaalinen suojautuminen voidaan saavuttaa tarkasti tietyillä markkinoilla, jotka ovat frekventtejä ja joissa voidaan käyttää tällaisia tiheysfunktioita.

Ratkaisun yksilöllisyys tulee tärkeäksi, kun H = 1 ja φ:lla on jatkuva ja tiukasti kasvava kvantiilifunktio. Tässä tapauksessa Z∗ on P-a.s. yksilöllinen ja sen ratkaisu voidaan esittää seuraavalla kaavalla:

Tässä t0 määräytyy ehdolla E∗[Z∗] = υ̃, ja Z∗ saadaan yksikäsitteisesti. Tämä yksilöllisyys on tärkeä käytännön sovelluksissa, sillä se takaa, että suojautumissuunnitelma on johdonmukainen ja toistettavissa markkinatilanteista riippumatta.

Ratkaisun ymmärtämiseksi on kuitenkin tärkeää huomioida, että sen teoreettinen pohja perustuu vahvasti markkinamallin täydellisyyteen sekä riskimittarin jatkuvuuteen. Markkinat, joissa tällaiset mallit eivät ole suoraan sovellettavissa, voivat vaatia erilaista lähestymistapaa, ja käytännön sovelluksissa saattaa tulla esiin lisähaasteita, kuten likviditeetti ja markkinahinnan muutosdynaamiikka, jotka eivät välttämättä sovi yksinkertaistettuun malliin.

Arbitragevapauden puuttuminen rajoitettuja kaupankäyntistrategioita varten

S:llä tarkoitetaan kaikkia ennakoitavissa olevia d-ulotteisia prosesseja, joille pätee ehto a ≤ ξt ⋅ Xt−1 ≤ b P-a.s. t:lle, missä t = 1, . . . , T. Tämä luokka S vastaa rajoituksia, jotka koskevat pääomaa, joka sijoitetaan riskillisiin omaisuuksiin. Jos oletamme, että ei-redundanssiehtoja (9.1) pidetään voimassa, niin S täyttää ehdot (a) - (d). Yleisemmin, kahden vakion a ja b sijasta voidaan ottaa dynaamiset marginaalit, jotka määritellään kahden ennakoitavan prosessin (at) ja (bt) avulla. ♦ Olkoon S joukko kaikkia itse-finanssoivia kaupankäyntistrategioita ξ = (ξ0, ξ), jotka syntyvät sijoitusstrategiasta ξ ∈ S, eli S = {ξ = (ξ0, ξ) | ξ on itse-finanssoiva ja ξ ∈ S}. Tässä osassa tavoitteena on luonnehtia, milloin S:ssä ei ole arbitraasimahdollisuuksia. Tällöin ekvivalentin martingalimitan P* ∈ P olemassaolo on riittävä. Lisäehtojen mukaan, ja teknisen olettamuksen alaisena, tarvitaan suurempi joukko PS ⊇ P, joka kattaa arvonnousuja estävät toimenpiteet. Jotta voimme esittää nämä ehdot, tarvitsemme valmistelun.

Huomautus 9.5. Jos Q on martingale-mittari alennettuun hinnan prosessiin X, niin jokaisen itse-finanssoivan kaupankäyntistrategian ξ = (ξ0, ξ) arvo-prosessi V on paikallinen Q-martingali. Tämä voidaan todistaa ottamalla jono τn := inf{t ≥ 0 | |ξt+1| > n} lokalisoimisjonoiksi. Tässä tapauksessa |ξt| ≤ n joukossa {τn ≥ t} ja pysäytetyn prosessin Vτn τn t − Vt, −1 = 1{τ X n≥t} ξt ⋅ (Xt − Xt−1), t = 1, . . . , T, ovat Q-integroitavissa ja täyttävät E n τn Q[V τ t − Vt−1 | Ft−1 ] = 1{τn≥t} ξt ⋅ EQ[ Xt − Xt−1 | Ft−1 ] = 0.

Propositio 9.6. Paikalliselle Q-supermartingalille Z seuraavat ehdot ovat ekvivalentteja:
(a) Z on Q-supermartingali.
(b) EQ[ Z− T ] < ∞.
Jos lisäksi ZT ≥ 0 Q-a.s., niin Zt ≥ 0 Q-a.s. kaikille t.

Todistuksessa osoitetaan, että negatiiviset osat Z− t ovat integroitavissa kaikilla t. Taustalla on induktioperiaate t:n suhteen ja myös Fatoun lemma, joka vahvistaa tämän väitteen. Eteneminen taaksepäin osoittaa, että Z on itse asiassa supermartingali.

Määritelmä 9.7. PS on kaikkien todennäköisyysmittarien P̃ ≈ P joukko, joiden mukaan Xi t ∈ L1 (P̃) kaikille i = 1, . . . , d ja t = 1, . . . , T, ja joiden mukaan minkä tahansa kaupankäyntistrategian arvo-prosessi S:ssä on paikallinen P̃-supermartingali.

Huomautus 9.8. Jos S sisältää kaikki itse-finanssoivat kaupankäyntistrategiat ξ = (ξ0, ξ) rajoitetuilla ξ:illä, niin PS vastaa kaikkien ekvivalenttien martingalimittareiden joukkoa P. Tämän voi todistaa olettaen, että P̃ ∈ PS ja huomaamalla, että ξt ⋅ (Xt − Xt−1) ∈ L1(P̃) jos ξt on rajallinen. Silloin arvo-prosessi V on P̃-supermartingali Propositio 9.6 mukaan. Samoin strategia −ξ on P̃-martingali, ja näin ollen P̃ on martingalimittari X:lle.

Seuraavaksi haluamme laajentaa "perusteellisen omaisuushinnoitteluteoreeman" tähän tilanteeseen. Olkoon R positiivinen kuula, joka määritellään S:llä luoduilla strategioilla ξ = (ξ0, ξ), joiden λ ≥ 0. Tällöin R:llä ei ole arbitraasimahdollisuuksia, jos ja vain jos S on arbitraasiavapaa. Meidän täytyy täyttää seuraava ehto Rt̂:lle: jokaiselle t, Rt̂ ∩ L∞ d (Ω, Ft, P; ℝ) ⊆ Rt. Tämä ehto pätee, jos Rt on suljettu L0:ssa, erityisesti jos St on kuula ja siten St = Rt kaikilla t.

Teoreema 9.9. Ehdon (9.6) alaisena, arbitraasimahdollisuuksia ei ole S:ssä, jos ja vain jos PS ei ole tyhjä. Tällöin on olemassa mittari P̃ ∈ PS, jolla on rajoitettu tiheys dP̃/dP.

Esimerkki 9.10. Oletetaan, että S koostuu kaikista ennakoitavista prosesseista ξ, joiden arvot ξt kuuluvat suljettuihin konvekseihin joukkoihin Ct ⊆ ℝd, joissa 0 ∈ Ct. Tällöin ehto (9.6) täyttyy heti, kun Ct:n luomat kuulat ovat suljettuja ℝd:ssä. Tämä tapaus kattaa lyhyet myynnit ja rajoitukset pitkiin positioihin, jotka mallinnetaan ottamalla Ct = [a1t, b1t] × ... × [adt, bdt] tiettyjen lukujen akt ja bkt mukaan.

Esimerkki 9.11. Oletetaan, että S koostuu kaikista ennakoitavista prosesseista ξ, joiden arvo täyttää rajoituksen a ≤ ξt ⋅ Xt−1 ≤ b P-a.s. kahdelle vakioille a ja b, joissa −∞ ≤ a < 0 < b ≤ +∞. Väite on, että S ei sisällä arbitraasimahdollisuuksia, jos ja vain jos rajoittamaton markkinatilanne ei sisällä arbitraasimahdollisuuksia. Tämä voidaan todistaa tarkastelussa, jossa arbitraasimahdollisuuden esiintyminen vapaan markkinan tilanteessa tarkoittaa, että jollekin t ja jollekin Ft−1-mitattavalle ξt pätee ξt ⋅ (Xt − Xt−1) ≥ 0 P-a.s. ja P[ ξt ⋅ (Xt − Xt−1) > 0 ] > 0.

Teoreema 9.9:n todistuksen osalta aloitetaan osoittamalla, että PS ≠ 0 merkitsee, ettei S:ssä ole arbitraasimahdollisuuksia.

Miten dynaamiset riskimittarit säilyttävät ajallisen johdonmukaisuuden?

Ajallisen johdonmukaisuuden käsite on keskeinen monilla taloudellisen riskin mittaamisen ja hallinnan alueilla, erityisesti dynaamisessa riskimittauksessa. Tämä käsite varmistaa, että riskin mittaaminen ei vain ole järkevää tietyllä hetkellä, vaan että se myös pysyy järkevänä ajan kuluessa. Ajallinen johdonmukaisuus liittyy siihen, että riskimittarit eivät muutu arvoltaan epäloogisesti, vaikka tilanne kehittyisi ajan myötä. Tämän vuoksi ajallisesti johdonmukaiset riskimittarit tarjoavat luotettavan ja ennustettavan tavan mitata ja hallita riskiä tietyllä aikavälillä.

Tarkastellaanpa, miten ajallinen johdonmukaisuus ilmenee dynaamisissa riskimittareissa ja mitä edellytyksiä siihen liittyy. Olkoon $\rho_t$ dynaaminen riskimittari ajankohdalle $t$ ja oletetaan, että se on dynaaminen ja ehdollinen. Jos riskimittari $\rho_t$ on ajallisesti johdonmukainen, silloin tietyt matemaattiset olosuhteet täyttyvät. Näitä ehtoja voidaan tarkastella kolmena keskeisenä väitteenä.

Ensimmäinen ehto liittyy dynaamisen riskimittarin ajalliseen johdonmukaisuuteen, joka voidaan esittää seuraavasti:

missä $\alpha_{t,t+1}(Q)$ on tietyt riskiparametrit ja $F_t$ on tilanne tiedonhetkellä $t$. Tämä tarkoittaa sitä, että riskimittari ei muutu epäloogisesti sen mukaan, miten tieto kehittyy ajan myötä.

Kolmas ehto on, että dynaamiset riskimittarit, jotka täyttävät yllä olevat ehdot, ovat myös johdonmukaisia useiden toistettujen mittausten suhteen. Tämä voidaan todeta käyttämällä ns. "pasting"-menetelmää, joka yhdistää kaksi eri todennäköisyysmittaria $Q_1$ ja $Q_2$ tietyllä hetkellä $t$ niin, että yhdistetty mittari säilyttää ajallisen johdonmukaisuuden.

Ajallisen johdonmukaisuuden saavuttaminen edellyttää myös, että riskimittareilla on tietyt ominaisuudet. Esimerkiksi niiden on oltava koherentteja, eli ne eivät saa olla ristiriidassa keskenään eivätkä tuottaa epäloogisia tuloksia eri aikoina. Jos riskimittari on koherentti, se tarkoittaa, että se täyttää tietyt matemaattiset periaatteet, kuten skaalautuvuuden ja additiivisuuden, ja että se pystyy käsittelemään epävarmuuksia ja riskejä luotettavasti.

Lopuksi on tärkeää, että ajallinen johdonmukaisuus ei ole pelkästään matemaattinen ehto, vaan sillä on myös käytännön merkitystä taloudessa ja riskinhallinnassa. Ajallisesti johdonmukaiset riskimittarit auttavat taloudellisia toimijoita tekemään päätöksiä, jotka ovat järkeviä niin nykyhetkellä kuin tulevaisuudessa. Näin ollen, vaikka dynaaminen riskimittari voi olla monimutkainen ja matemaattisesti vaativa, sen käytännön soveltaminen on olennaista taloudellisten päätöksentekijöiden työkalupakissa.