Miksi arbitraasimahdollisuudet ovat tärkeitä markkinoilla?

Kun tarkastellaan rahoitusmarkkinoiden mallintamista ja kaupankäynnin strategioiden luomista, on tärkeää ymmärtää, että markkinat eivät saa tarjota arbitraasimahdollisuuksia. Arbitraasimahdollisuus tarkoittaa tilannetta, jossa voi saavuttaa voittoa ilman riskiä ja ilman alkuinvestointia. Tällaiset mahdollisuudet eivät kuulu reiluihin markkinoihin, sillä ne viittaavat epätasapainoon, joka voi johtaa markkinoiden vääristymiin ja tehottomuuteen.

Tarkasteltaessa kaupankäyntistrategioita, huomataan, että arbitraasimahdollisuudet eivät ole vain markkinoiden koko käytön tasolla mahdollisia, vaan ne voivat ilmetä myös pienemmissä osissa markkinoita, kuten yksittäisissä aikajaksoissa tai erityisissä sääntöjä seuraavissa mallinnuksissa. Esimerkiksi, jos on olemassa sijoitusstrategia, jossa sijoittaja voi hyödyntää hintaeroja esimerkiksi $\xi_t$ -strategialla, voi ilmetä mahdollisuus tehdä voittoa ilman riskiä.

Kun tarkastellaan markkinoita, joissa arbitraasimahdollisuuksia ei ole, voidaan näyttää, että sellainen todennäköisyysmitta $P̃$, joka kuuluu PS-luokkaan ja jolla on rajoitettu tiheys $\frac{dP̃}{dP}$, voidaan löytää. Tämä mitta mahdollistaa markkinoiden tarkempaan analysoimiseen, ja se voi auttaa muotoilemaan kaupankäynnin strategioita, jotka ovat ristiriidassa arbitraasimahdollisuuksien kanssa.

Kun tarkastellaan tarkemmin tätä teoriaa, voidaan huomata, että strategiat, jotka kuuluvat $S^\infty$-luokkaan, eli rajoitettuihin strategioihin, ovat erityisen tärkeitä. Lemma 9.12 osoittaa, että strategiat, jotka kuuluvat $S^\infty$-luokkaan, voivat poistaa arbitraasimahdollisuudet. Näiden strategioiden analyysi on keskeinen osa markkinoiden tehokkuuden tarkastelua.

Tässä yhteydessä on tärkeää ymmärtää, että arbitraasimahdollisuuksia käsittelevät mallit ja teoriat eivät ole pelkästään matemaattisia käsitteitä, vaan niillä on suora vaikutus käytännön kaupankäynnin strategioihin. On olennaista pystyä tunnistamaan, milloin markkinoilla voi olla mahdollisuus arvon vääristymään, ja mitä työkaluja voidaan käyttää arbitraasimahdollisuuksien poistamiseen.

Miksi ja miten portfolion optimaalinen tasapainotus voi kasvattaa sen arvoa pitkällä aikavälillä?

Vasemmanpuoleisessa paneelissa esitetään kahden indeksin kvartaaliarvot lineaarisella asteikolla, oikeanpuoleisessa paneelissa samat tiedot logaritmisella asteikolla. Tämä eroasteikkojen käyttö auttaa havainnollistamaan, kuinka eri skaalausmenetelmät voivat muuttaa näkemystä markkinakehityksestä. Analyysin edetessä käsitellään osakeportfolion kasvun asymptootista käyttäytymistä, erityisesti siinä mielessä, kuinka portfolion arvo voi kasvaa ajan kuluessa tasapainottamalla sijoituksia jatkuvasti.

Tässä yhteydessä käsitellään funktion F(π, μ), joka kuvaa jatkuvasti tasapainotetun strategian kasvua ajan funktiona. Tämän funktion rooli on keskeinen, sillä se määrittelee portfolion arvon kasvun pitkällä aikavälillä. Tärkeä askel on määritellä sopiva todennäköisyysjakauma μ, jonka avulla voidaan määrittää F(π, μ) kaikille portfoliostrategioille π ∈ Δ. Tämän vuoksi otamme käyttöön jatkuvan mittaustoiminnon ψ, joka määrittelee, kuinka hyvin erilaiset todennäköisyysjakaumat liittyvät toisiinsa ja kuinka niitä voidaan verrata toisiinsa keskenään.

Tarkasteltavassa mallissa oletetaan, että todennäköisyysjakaumat, jotka kuvaavat osakkeiden suorituskykyä, käyttäytyvät tietyllä tavalla pitkällä aikavälillä. Erityisesti oletetaan, että osakkeiden tuottojakaumat voivat olla log-normaalisia, eli satunnaisvektorit noudattavat monimuotoista normaalijakaumaa. Tällöin voidaan käyttää logaritmisen funktion välimatkamittausta, joka mahdollistaa sijoitusstrategian arvioinnin ja sen kasvuvauhdin ymmärtämisen.

Kun tarkastellaan tasapainotettua portfoliostrategiaa, jossa sijoitetaan vain yhteen osakkeeseen kerrallaan (esimerkiksi εi = (0, 0, ..., 1, ..., 0)), voidaan huomata, että optimaalinen portfoliosuorituskyky ylittää yksittäisten osakkeiden suorituskyvyn. Tämä tarkoittaa sitä, että optimaalinen portfolio, joka valitaan jälkikäteen parhaiden strategioiden joukosta, voi saavuttaa paremman tuoton kuin yksittäiset osakkeet tai niiden geometristen keskiarvojen yhdistelmät.

Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista seuraavasti: portfolion arvo Vt(π) kasvaa ajan myötä enemmän kuin yksittäisten osakkeiden geometrinen keskiarvo. Tämän vuoksi jälkikäteen optimaalinen portfolio ylittää niin sanottuja markkinakokoisia indeksejä, kuten Dow Jonesin tai S&P 500:n, jotka perustuvat osakkeiden markkina-arvoihin. Tämä ilmiö voidaan todistaa laskennallisesti vertaamalla portfolion arvoja ja yksittäisten osakkeiden geometrisia keskiarvoja.

Optimaalisen portfoliosuunnitelman etsiminen ei ole yksinkertaista, sillä emme tiedä etukäteen, mitä parasta strategiaa on noudatettu. Tämä ei kuitenkaan estä meitä tekemästä arvioita ja hakemasta optimaalista suoritusta portfolion kehitykselle ajan myötä. Jälkikäteen optimaalinen portfoliostrategia voidaan määritellä maksimointiongelmana, jossa etsitään strategiaa π ∈ Δ, joka maksimoi F(π, ρt). Tässä F(π, μ) on funktio, joka kuvaa portfoliosuorituksen kehitystä tietyn todennäköisyysjakauman μ alla.

Funktion F(π, μ) jatkuvuus ja konveksisuus ovat tärkeitä ominaisuuksia, jotka tekevät mahdolliseksi analysoida pitkän aikavälin kasvuvauhtia ja vertailla eri portfoliosuunnitelmia toisiinsa. Tämä jatkuvuus myös takaa, että jos todennäköisyysjakaumat μn lähestyvät tiettyä jakaumaa μ, niin vastaavasti portfoliosuorituksen arvo lähestyy optimaalista arvoa.

Tärkeää on ymmärtää, että vaikka optimaalinen portfolio voi teoreettisesti ylittää yksittäisten osakkeiden tai markkinaindeksien suoritukset, se ei ole välttämättä helppo saavuttaa käytännössä. Jälkikäteen optimaalisten strategioiden analysointi vaatii sekä tarkkaa datan seurantaa että oikeiden tilastollisten menetelmien soveltamista. Toisin sanoen, markkinoiden ennustaminen ja optimaalisten strategioiden löytäminen vaatii huolellista tilastollista analyysiä ja mallinnusta.

Konveksiset riskimittarit ja niiden rooli todennäköisyysmittarien käsittelyssä

Jos ρ on konveksi riskimittari, jolla on esitystapa α, niin sen arvo tietyllä satunnaismuuttujalla X voidaan esittää funktiona, joka liittyy odotusarvoon. Erityisesti, jos α on minimipakotustoiminto (αmin), joka edustaa ρ:ta, voidaan todeta, että kun ρ(Xn) konvergoi arvoon ρ(X), niin tämän riskimittarin arvioinnissa käytettyjä satunnaismuuttujia voidaan käsitellä myös todennäköisyysmittarien avulla. Tällöin ρ(Xn) lähestyy ρ(X) arvoa, kun Xn lähestyy X:tä pisteittain.

Erityisesti, kun αmin (ja siis muutkin pakotustoimintojen muodot) ovat keskittyneet M1-luokkaan todennäköisyysmittareita, voidaan todeta, että Q on σ-lisätty, jos ja vain jos min α(Q) < ∞. Tämä antaa keskeisen rakenteen riskimittarille, jonka avulla voidaan tarkastella sekä mittarin ominaisuuksia että sen käyttöä riskien hallinnassa.

Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että riskimittarin arvo, kuten ρ(X), voidaan laskea ottamalla huomioon kaikki ne todennäköisyysmittarit Q, jotka kuuluvat M1-luokkaan. Tällöin kaikki mahdolliset todennäköisyysmittarit, jotka ovat σ-lisättyjä ja täyttävät määritellyt ehdot, otetaan huomioon riskimittarin arvon laskemisessa. Erityisesti voidaan huomata, että silloin kun riskimittari ρ on konveksi ja täyttää tämän ehdon, niin se voidaan esittää maksimaalisena odotusarvona:

Tämä tarkoittaa, että riskimittari saadaan yksinkertaisella tavalla odotusarvon ja pakotustoiminnon avulla, jossa α(Q) on määritelty M1-luokan todennäköisyysmittareille.

Riskimittarien käsittelyssä voidaan käyttää myös Lemma 4.23:n kaltaisia tuloksia, jotka mahdollistavat konvergenssin näyttämisen. Tämä lemma käsittelee tilanteita, joissa riskimittari ρ, joka on esitetty α:lla, täyttää tietyt ehtojen täyttyessä, ja tämä konvergenssi voidaan saavuttaa joko ylhäältä tai alhaalta. Näin ollen, kun satunnaismuuttujat Xn lähestyvät X:tä pisteittäin, voidaan todeta, että riskimittarin arvo lähestyy ρ(X):tä.

Lisäksi, on tärkeää huomata, että tällaisen riskimittarin esitys voi olla vaikeaa ilman tiettyjä teknisiä välineitä. Esimerkiksi Dinin lause auttaa vahvistamaan, että jos tietyt olosuhteet täyttyvät, kuten M1-luokan todennäköisyysmittarien kompaktius, niin konvergenssi tapahtuu myös tasa-arvoisesti, mikä mahdollistaa riskimittarien tarkemman arvioinnin.

Mikäli halutaan siirtyä tilastollisesta teoriasta käytännön sovelluksiin, niin tässä yhteydessä voidaan ottaa huomioon myös tilanteet, joissa riskimittarit ovat jatkuvia. Tällöin voidaan osoittaa, että konveksit riskimittarit ovat myös jatkuvia alhaalta ja ylhäältä, mikä tarkoittaa, että riskimittari ei heilu äkillisesti vaan muuttuu tasaisesti tilanteen mukaan. Tämä on erittäin tärkeää riskien arvioinnissa, koska se varmistaa ennakoitavuuden ja ennustettavuuden taloudellisessa päätöksenteossa.

Käytännön sovelluksissa tällaisia riskimittareita voidaan käyttää esimerkiksi taloudellisessa suunnittelussa ja sijoituspäätöksenteossa, joissa on tärkeää ymmärtää, miten eri riskitasot vaikuttavat sijoituksen arvoon ja mitä varmuusmarginaaleja tarvitaan riskien hallintaan.

Mitä tarkoittaa markkinoiden täydellisyys ja kuinka se vaikuttaa hinnoitteluun?

Markkinoiden täydellisyys on keskeinen käsite dynaamisessa arbitrage-teoriassa, ja sen ymmärtäminen on tärkeää, kun tarkastellaan ehdotuksia markkinahinnoittelun ja -sijoittamisen osalta. Markkinoiden täydellisyys viittaa siihen, että kaikilla mahdollisilla ehdollisilla vaateilla on selkeästi määriteltävissä oleva hinta, ja että markkinat ovat vapaata arbitragea eli riskitöntä voitontavoittelua vastaan. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että markkinoilla ei ole mitään mahdollisuuksia hyödyntää hinnoittelun virheitä ilman riskiä.

Markkinoiden täydellisyyden ymmärtämiseksi on hyödyllistä tarkastella martingaalimittausten, riskittömien tuottojen ja mahdollisten markkinavirheiden vuorovaikutusta. Jos markkinat ovat täydellisiä, jokaiselle ehdolliselle claimille (vaateelle) voidaan määrittää yksiselitteinen, markkinahinnan määrittävä martingaalimittaus. Toisin sanoen, markkinoilla ei ole mahdollisuuksia hyödyntää väärin hinnoiteltuja sijoituksia, jotka tuottavat riskitöntä voittoa.

Kun tarkastellaan martingaalimittausten roolia, on oleellista ymmärtää, että martingaalimittaus on todennäköisyysmitta, joka on tärkeä työkalu markkinoiden hinnoittelussa, erityisesti arbitraasimahdollisuuksien estämisessä. Tällöin arvopaperin hintakehityksestä tulee prosessi, jossa odotettu tuotto on aina nolla, eli odotukset eivät muutu ajassa. Tämä on se ominaisuus, joka takaa markkinoiden täydellisyyden: tuleva hinta ei ole ennakoitavissa aiempien tapahtumien perusteella ilman riskiä.

Yksi markkinoiden täydellisyyden testauksista liittyy toisen peruslauseen esittämiseen. Sen mukaan markkinoiden täydellisyys tarkoittaa, että on olemassa vain yksi ekvivalentti martingaalimittaus, eli ei ole olemassa useita mittauksia, jotka voisivat viedä markkinoiden hinnoittelun eri suuntiin. Tämä tekee markkinahinnoittelusta selkeää ja yksiselitteistä, mikä on tärkeää sijoittajille ja markkinatoimijoille. Markkinoiden täydellisyyttä ei esiinny kaikilla markkinoilla, ja sen saavuttaminen edellyttää erittäin tarkkoja ehtoja, kuten markkinoiden täydellistä tehokkuutta ja riittäviä resursseja.

Tarkasteltaessa markkinoiden täydellisyyttä diskreetissä ajassa, vain hyvin rajattu joukko malleja voi täyttää täydellisyyden vaatimukset. Täydellisyys ei ole itsestäänselvyys, sillä markkinoiden mallin on täytettävä tarkkoja ehtoja, kuten varmuus siitä, että kaikille mahdollisille claimille löytyy markkinahinta, ja että tätä hintaa ei voi manipuloida arbitrage-tilanteilla.

Tässä yhteydessä on tärkeää huomata, että täydelliset markkinat mahdollistavat sen, että jokaisen mahdollisen claimin hinnoittelun voi suorittaa yksiselitteisesti ja ilman riskiä. Jos markkinat eivät ole täydellisiä, syntyy mahdollisuus arbitraasiin, eli riskitöntä voitontavoittelua, jolloin markkinat voivat olla epätahtisia ja epäoikeudenmukaisia. Täydellisissä markkinoissa tämä mahdollisuus on estetty. Täydellisyys ei kuitenkaan ole saavuttavissa kaikilla markkinoilla, ja sen edellyttämät olosuhteet voivat olla harvinaisia.

Lopuksi on tärkeää ymmärtää, että markkinoiden täydellisyys ei ole pelkästään teoreettinen käsite, vaan sillä on käytännön merkitystä jokapäiväisissä sijoittamisratkaisuissa. Se takaa, että sijoittajat voivat luottaa siihen, että hinnat heijastavat kaikkia markkinoilla olevia tietoja eikä arvaamattomia yllätyksiä esiinny. Täydelliset markkinat ovat siten olennainen osa talouden ja rahoitusjärjestelmän vakautta.