Bianchi-tyyppisten avaruusaikojen ymmärtäminen on tärkeää teoreettisessa fysiikassa ja kosmologiassa, koska ne tarjoavat yksinkertaisia, mutta monivaiheisia malleja avaruuden ja ajan rakenteelle. Näitä malleja voidaan käyttää avaruuden symmetriaan perustuvien ratkaisuja analysoidessa, erityisesti silloin, kun tarkastellaan gravitaation ja kosmisen laajenemisen vaikutuksia suurilla mittakaavoilla. Bianchi-tyyppiset avaruusajat ovat tärkeitä, koska ne tarjoavat yleisen muodon, joka kattaa monia mahdollisia universumin rakenteita, mukaan lukien tasaisemmat ja epätasaisemmat mallit.

Bianchi-tyyppinen avaruusaika on määritelty niin, että sen Killing-kenttä, joka on ajassa invariantti ja spatiaalisesti homogeeninen, määrää avaruuden symmetrian. Tämä Killing-kenttä voidaan kuvata kolmena riippumattomana kenttänä, jotka muodostavat kolmion kenttää, joka sitoo yhteen avaruuden geometrian ja dynaamisen käyttäytymisen. Näiden kenttien avulla voidaan määrittää sen, miten metrit käyttäytyvät ajassa ja avaruudessa.

Bianchi-tyyppiselle avaruusaikalle asetetut yhtälöt vaativat tarkempaa analyysiä, erityisesti matriiseja, jotka kuvaavat geometrista rakennetta. Esimerkiksi metriikan, joka on aiemmin esitetty muodossa ds2=dt2−gIJdxIdxJds^2 = dt^2 - g_{IJ} dx^I dx^J, voidaan laajentaa ja yksinkertaistaa siten, että saamme aikafunktioiden gIJg_{IJ} riippuvuutta ajasta tt, joka määrittää avaruusaikojen geometrian.

Tässä yhteydessä voidaan tuoda esiin myös tärkeä oivallus: Avaruus, joka on Bianchi-tyyppinen, ei voi olla täysin symmetrinen ajassa. Aikakenttä on yleensä nollassa, joten aika ei ole suoraan osa symmetriaryhmää. Tästä syystä voidaan olettaa, että avaruusaika koostuu useista erillisistä osista, joilla voi olla eri symmetriaryhmät.

Tärkeä seuraus tästä on, että Bianchi-tyyppinen avaruusaika, joka ei ole isotrooppinen (sferisesti symmetrinen), ei voi olla täysin homogeeninen. Tämä tarkoittaa, että vaikka avaruus voi olla homogeeninen tietyllä aikavälillä, sen rakenteelliset elementit voivat vaihdella avaruuden eri osissa. Avaruuden isotrooppisuus voidaan kuitenkin määrittää tietyillä rajoilla ja määrittää sen, kuinka eri geometrian parametrit käyttäytyvät ajassa.

Näitä tärkeitä rajoitteita voidaan tutkia tarkemmin erilaisilla matemattisilla menetelmillä, kuten Ratkaisujen yhtälöiden kIk_I, jotka määrittävät Killing-kenttien dynaamiset ominaisuudet. Yhtälöt, kuten k1γ,r+2k1,rγ=0k_1 \gamma_{,r} + 2k_1,r \gamma = 0, k3,rδsin⁡2θ+k1,ϕγ=0k_3,r \delta \sin 2 \theta + k_1,\phi \gamma = 0, ja muut vastaavat, tarjoavat tarkempia suhteita kenttien ja geometrian välillä.

Ratkaistessaan näitä yhtälöitä, erityisesti ne, jotka liittyvät metriikan komponenteihin, kuten γ\gamma ja δ\delta, saamme matemaattisia ja fysikaalisia ratkaisumalleja, jotka kuvaavat universumin avaruuden ja ajan laajenemista ja rakennetta.

Tämä analyysi johtaa niin sanottuihin Kantowski–Sachs-metriikoihin, jotka eroavat Bianchi-tyyppisistä avaruusajoista siinä, että ne säilyttävät O(3)-symmetrian, mutta eivät ole täysin homogeenisia. Tällöin aikarakenne ja geometrian symmetriat ovat enemmän sidottuja radiaaliseen laajenemiseen, kuin universumin laajentumisen ja kiihtyvyyksien laajentumismalliin.

On tärkeää ymmärtää, että vaikka Bianchi-tyyppiset avaruusaikaratkaisut voivat näyttää yksinkertaisilta, ne sisältävät syvällisiä ja monivaiheisia riippuvuuksia, jotka liittyvät avaruuden ja ajan geometrian rakenteeseen. Tällöin on otettava huomioon, että vaikka avaruuden symmetria voi olla tarkkaan määritelty, sen evoluutio ajassa ei aina ole lineaarinen tai helposti ennakoitavissa. Tämä tekee Bianchi-tyyppisistä avaruusajoista keskeisiä malleja kosmologisissa tutkimuksissa, erityisesti niiden roolissa ymmärtäessämme universumin suuria rakenteita ja dynaamisia muutoksia.

Miten täydelliset nesteet ja kosmologinen vakio liittyvät suhteellisuusteoriaan?

T00(p) on energiatehokkuus tietyllä pisteellä p, ja sen määritelmä pätee kaikissa koordinaatistoissa. Erityisesti liikkeessä olevissa koordinaateissa ainoa energia, joka hiukkasella voi olla, on sen sisäinen energia, joka koostuu levossa olevasta energiasta, hiukkasten lämpöliikkeen energiasta ja kemiallisesta energiasta. Tällöin T00 = ϵ, ja samalla T00 = T ∗ αβuαuβ, josta seuraa, että ∗Tαβuαuβ = ϵ. Tämä on skalaariyhtälö, joka pätee kaikissa koordinaateissa.

Määritelmän mukaan T I0, I = 1, 2, 3 on energian virran vektori. Mutta liikkeessä olevissa koordinaateissa, täydellisen nesteen määritelmän mukaan, energian virtoja ei ole, joten T I0 = T Iβuβ = 0. Tämä tarkoittaa, että Tαβuβ = λuα, missä λ on tuntematon kerroin. Laskemalla (12.61) ja (12.62) saamme λ:n arvoksi ϵ, joten Tαβuβ = ϵuα.

Valitsemalla pisteen q avaruusajassa ja vektorin vα(q), joka on ortogonaalinen uα(q):lle, eli uα(q)vα(q) = 0, voidaan todeta, että tämä vektori osoittaa hiukkaseen, joka ei liiku suhteessa pisteeseen q. Tällöin voidaan määritellä liikkeessä olevan hiukkasen 3-ulotteinen tilavuuselementti, joka liikkuu suhteessa pisteeseen q. Tällöin Pascalin laki pätee tälle tilavuuselementille, ja nesteen paine p, joka kohdistuu pintaelementtiin σ nesteessä, luo voiman f = pσ suuntaan nI, I = 1, 2, 3, joka on ortogonaalinen σ:lle. Paine p ja voima f eivät riipu nI:n suunnasta, eli σ:n orientoitumisesta nesteessä.

Tämän perusteella saamme Newtonin (3-ulotteisen) jännitystensorin −T IJ, jossa miinusmerkki johtuu metriikkasisällön allekirjoituksesta (+−−−). Tällöin jännitystensorin määritelmän mukaan on pätevää, että −T IJσnJ = fnI ≡ pσnI, josta seuraa, että T IJnJ = −pnI. Tämä tarkoittaa, että jokaista tällaista vektoria nI on oma arvo (−p) jännitystensorin matriisille T IJ, eli T IJ = −pδIJ.

Jatkamme tästä valitsemalla ortonormaalin tetradin e αi, i = 0, 1, 2, 3, avaruusajassa, jolloin e α 0̂ = uα ja e α Î, I = 1, 2, 3 täyttävät (12.66). Tällöin voimme kirjoittaa energiamomenttitenorimme Tαβ seuraavasti: T0̂0̂ = ϵ, T0̂ = ϵuβe β  = 0 ja TÂB̂ = −pηÂB̂. Tämä johtaa kaavaan täydellisen nesteen energiamomenttitenorin yleiselle muodolle: Tαβ = (ϵ + p)uαuβ − pgαβ.

Paineen ollessa nolla täydellinen neste muuttuu pölyksi (dust), jolloin energiamomenttitenori on yksinkertaistunut muotoon Tαβ = ϵuαuβ. Täydellisen nesteen liikkeet voidaan määrittää kenttäyhtälöiden avulla, jotka ovat yleisesti muodossa (ϵ + p),β uαuβ + (ϵ + p)uα;β uβ + (ϵ + p)uαuβ;β − p,β gαβ = 0.

Kun tämä yhtälö kerrotaan

Trumpin hallituksen korruptio ja sen vaikutukset kansainvälisiin suhteisiin ja Yhdysvaltojen sisäpolitiikkaan
Kuinka ikä ja asiakastyyppi vaikuttavat pyörämatkojen nopeuteen ja pituuteen?
Miten geometrista laskentaa voidaan käyttää sekvenssien tilojen tutkimisessa?
Miten psykologit voivat puhua julkisuuden henkilöiden mielenterveydestä ilman henkilökohtaista tutkimusta?