Kun käsitellään karttojen nostamista upotuksiksi, voimme ajatella k-dimensioisten nostojen, eli upotusten, olemassaoloa. Tässä yhteydessä puhutaan kartoista, jotka voidaan esittää tietyllä tavalla, kuten esimerkiksi kartan f : P → Q × k R nostaminen. Tässä nosto määritellään seuraavasti: f = prQ ◦ f˜, missä f˜ on alkuperäinen kartta, ja prQ on projektiokartta Q:sta. Tällaisia karttoja kutsutaan usein k-premeiksi (k-projektioiduksi upotukseksi), ja niitä käsitellään erityisesti [1, 15, 28] lähteissä. Tämä luku keskittyy erityisesti ei-hajoaviin karttoihin.

Ei-hajoavaksi kutsutaan sellaista paloittain lineaarista karttaa f : P → Q, jossa f −1(q) on aina äärellinen joukkona jokaiselle pisteelle q ∈ Q. Tähän liittyen myös simpliceja karttoja f : K → L pidetään ei-hajoavina, mikäli vastaava paloittain lineaarinen kartta |f | : |K| → |L| on ei-hajoava. On helppo todeta, että simpliceja kartta f : K → L on ei-hajoava, jos ja vain jos se on injektiivinen jokaisessa simplexissä; eli k-simpleksi A ∈ K kuvataan k-simpleksiksi f(A) ∈ L.

Erityisesti yksidimensioisessa tapauksessa ei-hajoavat simpliceja kartat ovat synonyymejä graafin homomorfismien kanssa. Tämä tuo mielenkiintoisen yhteyden käsittelemämme ongelman ja graafiteorian tiettyjen ongelmien välille. Graafin homomorfismia f : G → H kutsutaan H-väritykseksi graafille G. Jokainen kartan f nosto upotukseksi luo järjestyksiä samoihin väreihin kuuluvien solmujen joukkoihin, mikä puolestaan määrittää järjestykset reunoille. Näitä värityksiä ja järjestyksiä käsitellään aktiivisesti graafiteoriassa (esimerkiksi [7]). Esimerkiksi niin sanottuja radan asetteluja voidaan pitää graafin homomorfismien nostamisina täydellisiin graafeihin.

Erityisesti yksidimensioisen paloittain lineaarisen nostoversion ongelma on erityinen muiden vastaavien ongelmien joukossa. Esimerkiksi, upotuksen nostamisen ongelma tasaisista immersioista moniulotteisiin monimuotoihin voidaan palauttaa yksidimensioiseen paloittain lineaariseen versioon tästä ongelmasta [5, 21]. Myöhemmin, kuten alla oleva Lause 16.3 osoittaa, moniulotteinen paloittain lineaarinen versio ongelmasta voidaan palauttaa yksidimensioiseen tapaukseen.

Kuten tämän luvun toisessa osassa tullaan käsittelemään, kartan nostaminen upotukseksi liittyy syvällisesti matemaattisiin rakenteisiin, jotka liittävät toisiinsa tietyt geometristen ja topologisten objektien käsittelytavat. Olemme kiinnostuneita siitä, miten yksittäiset kartat voivat säilyttää rakenteensa nostettaessa niitä korkeampiin ulottuvuuksiin ja kuinka ne voivat ylläpitää omia ei-hajoavia piirteitään. Yksinkertaisimmillaan nämä nostot voivat paljastaa tärkeitä piirteitä kartan ja sen tilan vuorovaikutuksista.

Lause 16.1 antaa seuraavat välttämättömät ehdot nostamisen olemassaolon tarkastelulle: jos f : K → L on ei-hajoava simpliceja kartta, niin kartan |f | : |K| → |L| nosto upotukseksi toteutuu tietyin ehdoin, kuten sen, että kaikki peittokartat pn : |(n) f | → |(n) K˜f | ovat triviaalit ja ettei ole olemassa n-obstruktoreita. Obstruktori tarkoittaa polkua (n) Kf, joka toteuttaa pisteiden syklisen permutaation.

Lisäksi Lause 16.2 määrittelee tarpeelliset ja riittävät ehdot noston olemassaololle. Kartan |f | nosto upotukseksi on mahdollista, jos ja vain jos on olemassa kokoelma keskenään yhteensopivia lineaarisia järjestyksiä, jotka vastaavat f −1(v):n joukkoja jokaiselle v ∈ V(L).

Lause 16.3 osoittaa, että jos peittokartta p2 : |f | → |(2) K K˜f | on triviaali, on olemassa 3-CNF-kaava, jonka ratkaiseminen takaa noston mahdollisuuden. Tämän kaavan ratkaiseminen on ratkaiseva askel, sillä se yhdistää nosto-ongelmat Boolean-lauseiden satisfiointiongelmiin, ja tämä yhteys tarjoaa tehokkaita työkaluja nostojen tutkimiseen.

Erityisesti loppuosassa tarkastellaan yhteyksiä nostamisen ja upotusten lähestymistavoista, joista voidaan löytää mielenkiintoisia yhteyksiä tasaisiin immersioihin. Esimerkiksi V. Poénaru esittää tuloksen, jossa oletukset vaativat vahvistamista lisäämällä satisfioitavuusehto kaavoihin, mikä korostaa nostojen merkitystä immersioiden yhteydessä. Lause 16.4 tarkastelee kuinka tietyt kaavat voidaan liittää graafien nostamiseen upotuksiksi, mikä korjaa aikaisempien tutkimusten tuloksia ja antaa meille syvällisemmän ymmärryksen nostojen rakenteesta.

Luku päättyy yhteyteen nostamisen ja upotusten likimääräistämisongelmien välillä, joka vie meidät kohti päätulosta: yksinkertaisista simpliceja kartoista puutarhaan tai segmenttiin nostaminen on mahdollista, jos 2-obstruktoreiden puuttuminen on välttämätön ja riittävä ehto noston olemassaololle.

Lifting-määrittelyn rooli ja edellytykset yksinkertaisten kartoitusten yhteydessä

Lifting-määrittelyllä on keskeinen rooli topologisessa ja geometrisessa analyysissä, erityisesti silloin, kun tutkitaan yksinkertaisten kartoitusten nostamista upotuksiksi. Tämä käsittelee kartoituksen f : K → L nostamista upotukseksi, joka on avainasemassa tietyissä geometrisissa rakenteissa ja niiden analyyseissä. Liftingin olemassaolo ei ole aina itsestäänselvää, ja sen edellytykset ovat monivaiheisia. Yksi keskeinen teema on se, että vaikka kartoitus täyttäisi nostamisen osittaiselle ehtolle, se ei takaa noston olemassaoloa upotukseksi.

Liftingin olemassaololle on tietyt ehdot, ja ne voivat olla joko tarpeellisia tai riittäviä, riippuen kontekstista. Teoreemassa 16.1 määritellään vain tarpeelliset ehdot, kun taas seuraavat teoreemat antavat sekä tarpeelliset että riittävät ehdot nostolle upotukseksi.

Määritelmän mukaan, kun tarkastellaan epädegeneroitua simplisiä kartoitusta f : K → L, jossa K ja L ovat äärellisiä simplisiä kompleksseja, voidaan määritellä lineaarinen järjestys joukolle Kv, joka on osa simplisiä kompleksseja. Tällöin määritellään hyväksyttävä kokoelma lineaarisia järjestyksiä, joka täyttää tietyt ehdot. Jos kokoelma täyttää nämä ehdot, voidaan muodostaa nostaminen, joka on upotus.

Teoreemassa 16.2 todetaan, että kartoituksen |f| : |K| → |L| nostaminen upotukseksi on mahdollista, jos ja vain jos on olemassa hyväksyttävä kokoelma lineaarisia järjestyksiä. Lisäksi on olemassa bijektio hyväksyttävien lineaaristen järjestysten kokoelmien ja nostojen isotopia-luokkien välillä. Tämä tarkoittaa, että noston onnistuminen voidaan mieltää tietyksi isotopia-luokaksi, joka liittyy tiettyyn lineaaristen järjestysten kokoelmaan.

Todisteessa käytetään nostoa |˜f| : |K| → |L| × R hyväksi määrittämään hyväksyttävä lineaaristen järjestysten kokoelma. Jos kokoelma ei ole hyväksyttävä, syntyy ristiriita, mikä estää nostamisen onnistumisen. Tällöin voidaan todeta, että joko lineaaristen järjestysten kokoelman määrittely on virheellinen tai nostamisen ehdot eivät täyty.

Liftingin käsittelyn seuraava askel liittyy siihen, että nostaminen voidaan vähentää graafien tapaukseen. Teoreemassa 16.3 näytetään, että jos kartoitus f : K → L nostetaan upotukseksi, sen vastaava osittain lineaarinen kartoitus |f| : |K| → |L| nostetaan upotukseksi, jos ja vain jos f : K → L nostetaan upotukseksi skelleteissä. Tämä tarkoittaa, että tietyt kartoituksen osat voivat olla riittäviä noston määrittämiseen ilman, että koko kartoitusta tarvitsee käsitellä kerralla.

Erityisesti teoreemassa 16.3 todetaan, että yksinkertaisten kartoitusten nostaminen voidaan rajata vain kartoituksen osaan, joka käsittelee useamman pisteen esikuvia. Tällöin voidaan keskittyä vain siihen, kuinka kartoitus käyttäytyy useiden pisteiden alueella, mikä voi yksinkertaistaa noston tutkimista ja mahdollistaa tehokkaamman analyysin.

Nostamisen määrittäminen liittyy myös monimutkaisempaan laskentateoriaan, jossa nostaminen voidaan koodata kolmoislausekkeen (3-CNF) tyydytettävyydeksi. Tämä tekee nostamisen tutkimisesta entistä tarkempaa ja systemaattisempaa, ja sen avulla voidaan määrittää nostamisen mahdollisuus tietyissä topologisissa ja geometrisissa konteksteissa.

Yhteenvetona voidaan todeta, että nostamisen mahdollisuus yksinkertaisten kartoitusten osalta on tiukasti sidoksissa erityisiin ehtoihin, kuten hyväksyttäviin lineaarisiin järjestyksiin ja kartoituksen osien rakenteellisiin ominaisuuksiin. Koko prosessi edellyttää huolellista tarkastelua, jossa isotopia-luokat ja geometriset rakenteet voivat paljastaa nostamisen mahdollisuuden tai mahdottomuuden.

Miten luoda liiketoimintaprosessikartta, joka tukee asiakastarpeiden täyttämistä?
Miten sylkirauhasten sairaudet vaikuttavat syljeneritykseen ja kliinisiin oireisiin?
Miksi tiedon välttely voi olla epistemisesti perusteltua?
Miten LVAD-muistiongelmat ja elämänlaatu muuttuvat hoidon edetessä?
Miten lääkkeet vaikuttavat imetyksen aikana ja miksi varovaisuus on tärkeää?