Teoreemassa 8.26 todetaan, että ratkaisun voi löytää luokasta {Zr(c) | c ≥ c0}, missä c0 määritellään suhteella υ̃ = E[ φ; φ > c0 ]. Tämä antaa meille mahdollisuuden minimoida funktion 1 1 λAV@Rλ(−Zr(c)) = ∫ qZ (s) ds = λr(c) + (1 − r(c)) ∫ 1 r {q (c) φ(s)>c} ds 1−λ 1−λ c:n yli, jossa olemme hyödyntäneet Lauseen D.12 toista identiteettiä. Tämä minimointitehtävä voidaan yksinkertaistaa edelleen käyttämällä parametrisaatiota c = qφ(t), joka on yksikäsitteinen oletuksiemme mukaan. Tällöin voimme määritellä ϱ(t):n seuraavasti: r(q 1 φ(t)) = 1 − υ̃ − Φ , (t), ja yksinkertaisesti minimointitehtäväksi jää funktion 1 R(t) := λAV@Rλ(−Zϱ(t)) = λϱ(t) + (1 − ϱ(t)) ∫ 1(t,1](s) ds 1−λ = λϱ + (t) + (1 − ϱ(t))(λ − (t − 1 + λ) ) ( − = λ t 1 + )+ − (1 − υ̃ λ ) Φ(t) minimointi t:n yli, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin t0 := Fφ(c0).

Kun t ≤ 1 − λ, saamme R(t) = λ, mikä ei voi olla optimaalista. Näytämme seuraavaksi, että funktion Ψ t − 1 + λ (t) := Φ(t) maksimointipiste tλ ∈ (1 − λ, 1] on ainutlaatuinen, ja se määrittää ratkaisun heti, kun tλ ≥ t0, niin kauan kuin t = t0 ei anna parempaa tulosta. Tämän vuoksi tiedämme, että Φ(t) − (t − 1 + λ)qφ(t)Ψ󸀠 (t) = Φ(t)2 on suurempi kuin nolla t ≤ 1 − λ ja yhtä suuri kuin Φ(1 − λ) > 0 kohdassa t = 1 − λ. Lisäksi, kun t > 1 − λ, saamme

∫qφ(s)ds+∫qφ(s)−qφ(t)ds,01−λ,\int qφ(s) ds + \int qφ(s) − qφ(t) ds, 0 1−λ,

joka on tiukasti laskeva t:n suhteen. Kun t lähestyy 1, tämä lauseke lähestyy arvoa 1 − λ‖φ‖∞, joka on tiukasti negatiivinen olettaen, että ‖φ‖ −1 ∞ > λ. Näin ollen tämä osoittaa, että lausekkeessa (8.35) on ainutlaatuinen nollakohta tλ ∈ (1 − λ, 1), joka on ainutlaatuinen ratkaisu yhtälölle qφ(tλ)(tλ − 1 + λ) = Φ(tλ), ja tämä tλ on ainoa maksimointipiste funktion Ψ suhteen. Jos tλ ≤ t0, silloin R:llä ei ole minimointipistettä alueella (t0, 1], ja seuraa, että t∗ = t0 on sen minimointipiste.

Vertailtaessa R(tλ) ja R(t0), kun tλ > t0, saamme

R(t)=λ−Φ(tλ)=λ−(t0+λ−1)=λ−Φ(t0).R(t) = λ − Φ(tλ) = λ − (t0 + λ − 1) = λ − Φ(t0).

Tässä voimme nähdä, että tλ on riippumaton υ̃:stä, kun taas t0 pienenee välillä 1 ja 0, kun υ̃ kasvaa välillä 0 ja 1. Näin ollen optimaalinen ratkaisu on muotoa Z∗ 1{φ>q = φ(t0)} for υ̃ ≤ υ∗, {r∗ + (1 − r∗)1{φ>qφ(tλ)} for υ̃ > υ∗, jossa r∗ = 1 − 1−υ̃ Φ(tλ) ja υ∗ on kriittinen pääomataso, jolle tλ = t0.

Tämä selkeästi määrittää optimaalisen suojautumisstrategian ja sen käyttäytymisen tietyllä pääomatasolla. Näin ollen optimaalinen suojautumisen strategia voidaan toteuttaa joko käyttämällä t0:n tai tλ:n määrittelemää raja-arvoa. On tärkeää huomioida, että nämä arvot eivät riipu yksinään markkinoiden dynamiiikasta, vaan myös kapitalisaation ja riskialttiuden tasoista, jotka voivat vaikuttaa olennaisesti suojautumisstrategian onnistumiseen.

Suojautumisen tehokkuuden arviointi vaatii siis kokonaisvaltaista ymmärrystä siitä, miten riskimittarit ja kaupankäynnin rajoitteet linkittyvät toisiinsa. Riskimittarit, kuten AV@Rλ, auttavat optimoimaan suojautumisstrategian ottaen huomioon, että kaikki markkinoiden rajoitteet eivät ole vakioita, vaan voivat vaihdella markkinahäiriöiden, likviditeetin ja muiden taloudellisten tekijöiden mukaan.

Lopuksi voidaan todeta, että tämä teoria voi kytkeytyä laajemmin myös tilastotieteellisiin testejin, kuten todennäköisyyksien vertaamiseen ja riskin analysointiin taloudellisten mallien sisällä. Tällöin suojautumisen menetelmät voivat tukea myös tehokasta päätöksentekoa ja riskin hallintaa laajemmassa kontekstissa, jossa taloudelliset ja tilastolliset päätökset kytkeytyvät tiiviisti toisiinsa.

Miksi vakiona oleva portfolio ei voi ylittää optimaalista kasvuvauhtia?

Jos satunnaisprosessi Y1, Y2, ... on vakio, siinä mielessä että (Y1, Y2, ...) on samanlainen jakauma kuin (Yk, Yk+1, ...) kaikille k ∈ ℕ, niin tämä tarkoittaa, että prosessi on vakio, ja sen jakautuminen pysyy samana aikarivillä. Tämä sisältää erityistapauksen, jossa Y1, Y2, ... muodostavat vakion Markovin ketjun, kuten huomautuksessa G.17. ♦ Tulos (12.16) osoittaa, että F∗(μ) on optimaalinen kasvuvauhti, joka voitaisiin saavuttaa ennakoivalla strategialla, jossa tasapainoa säädetään jatkuvasti. Mutta voiko olla olemassa yleistettympiä mukautuvia portfolio-strategioita, jotka tuottavat jopa paremman kasvuvauhdin? Seuraava tulos antaa kielteisen vastauksen, kun tarkastellaan itsenäisten ja identtisesti jakautuneiden (i.i.d.) suorituskykystatistikoiden tapausta.

Lauseessa 12.10 oletetaan, että suorituskykystatistiikat Y1, Y2, ... ovat itsenäisiä ja identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia tietyllä todennäköisyysavaruudella ψ(Ω, F, P), ja että niiden jakautuminen on yhteinen μ ∈ M1. Olkoon (πt)t=0,1,2,... mikä tahansa ennakoiva portfolio-strategia, joka on ennustettavissa suhteessa suodattimeen Ft := σ(Y1, ..., Yt), jossa t = 0, 1, .... Merkitään Vπt sen arvo-prosessiksi, jonka alkupääoma on Vπ0 = 1. Silloin sen asymptottinen kasvuvauhti on enintään F∗(μ). Toisin sanoen,

lim sup⁡t→∞1tlog⁡Vπt≤F∗(μ)P:lla¨ la¨hes varmasti.\limsup_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log Vπ_t \leq F∗(μ) \quad \text{P:llä lähes varmasti.}

Todistus perustuu kahteen apulemmaan. Lemma 12.11 osoittaa, että jos μ ψ ∈ M1 on annettu, niin π∗ ∈ Δ maksimoi funktion F(π, μ), jos ja vain jos

π⋅y≤∫π∗⋅y μ(dy)kaikille π∈Δ.\pi \cdot y \leq \int \pi∗ \cdot y \, μ(dy) \quad \text{kaikille} \, \pi \in Δ.

Tässä yhteydessä on tärkeää ymmärtää, että tämä maksimointitehtävä ja siihen liittyvät laskennat eivät pelkästään tarjoa optimaalista kasvuvauhtia, vaan antavat myös käsityksen siitä, miten portfoliosuunnittelun voi kohdistaa tasapainoisten, mutta dynaamisten strategioiden kautta.

Lemman 12.12 mukaan universaalin portfolion arvo-prosessin kasvu noudattaa supermartingalin lakia suhteessa suodattimeen Ft := σ(Y1, ..., Yt). Tämä tarkoittaa, että vaikka alkuperäinen portfolio-strategia olisi dynaaminen, sen kasvu jää aina rajoitetuksi verrattuna optimaaliseen F∗(μ)-arvoon, joka määräytyy ennakoimattomista muuttujista riippumatta.

Tämä voidaan todistaa tarkastelemalla supermartingalin odotusarvoa ja varmistamalla, että portfolio-arvot pysyvät rajoissa, eikä mikään strategia ylitä tätä rajoitusta asymptottisesti.

Koska oletus itsenäisistä ja identtisesti jakautuneista (i.i.d.) suorituskykystatistiikoista on keskeinen tässä analyysissä, on myös huomioitava, että jos suorituskyky ei ole i.i.d., tämä tulos ei välttämättä pidä paikkaansa. Toisin sanoen, jos suorituskykystatistiikat eivät ole itsenäisiä, ne voivat poiketa ennakoitavista lainalaisuuksista, jolloin tämä kasvu ei ole rajoitettu.

Universaalin portfolion strategia perustuu siihen, että voidaan luoda portfolio, joka reagoi aikaisempien ajanjaksojen tuloksiin. Tässä strategiassa portfolio on yksinkertaisesti painotettu keskiarvo kaikkien mahdollisten tasapainotettujen portfolio-strategioiden joukosta, ja painot määräytyvät aikaisempien ajanjaksojen tulosten perusteella. Näin ollen universaali portfolio on mallivapaa, eikä se ole riippuvainen ennakoivista todennäköisyysmalleista.

Lauseessa 12.15 todetaan, että universaalin portfolion arvo-prosessin kasvu on suoraan yhteydessä valittuun alkuperäiseen portfolioon. Tämä tarkoittaa, että vaikka alkuperäinen valinta voi poiketa tavanomaisista strategioista, se ei estä universaalin portfolion kasvua optimaalisella tahdilla.

Tässä analyysissä keskeistä on ymmärtää, että universaali portfolio voi saavuttaa asymptottisen kasvuvauhdin F∗(μ), vaikka se ei sisällä mitään malliin perustuvia oletuksia suorituskykystatistiikoista. Toisin sanoen, vaikka meillä ei ole tietoa tulevasta markkinatilanteesta tai suorituskykystatistiikoista, universaali portfolio pystyy edelleen saavuttamaan optimaalisen kasvuvauhdin, joka on riippumaton mallin oletuksista.

Miten reflektion periaate vaikuttaa satunnaiskävelyjen ja niiden maximiarvon jakautumisiin?

Reflektion periaate on matemaattinen työkalu, joka liittyy erityisesti satunnaiskävelyihin ja niiden maksimaarvoihin, ja sen avulla voidaan saada syvällistä tietoa satunnaisprosessien käyttäytymisestä. Tämän periaatteen avulla voidaan johtaa tärkeitä kaavoja, jotka auttavat mallintamaan satunnaiskävelyjen käyttäytymistä ja sen pohjalta arvioimaan finanssiinstrumenttien hintoja.

Olkoon Ak,lA_{k,l} joukko kaikkia ω∈Ω\omega \in \Omega, joissa ZT(ω)=k−lZ_T(\omega) = k - l ja MT≥kM_T \geq k. Tällöin φ\varphi on bijektio joukon Ak,lA_{k,l} ja joukon {MT≥k ja ZT=k+l}\{ M_T \geq k \text{ ja } Z_T = k + l \} välillä. Tämä jälkimmäinen joukko on sama kuin {ZT=k+l}\{ Z_T = k + l \}, koska oletamme, että l≥0l \geq 0. Näin ollen tasainen jakauma P\mathbb{P} on määritettävä siten, että se antaa saman todennäköisyyden Ak,lA_{k,l} ja {ZT=k+l}\{ Z_T = k + l \} joukoille. Tämän perusteella saamme ensimmäisen kaavan.

Toisen kaavan saaminen on suoraviivaista, jos hyödynnämme ensimmäistä osaa tästä lemma:sta. Silloin todennäköisyyslaskenta vie meitä seuraavaan muotoon:

P[MT=k,ZT=k−l]=P[MT≥k,ZT=k−l]−P[MT≥k+1,ZT=k−l].\mathbb{P}[ M_T = k, Z_T = k - l ] = \mathbb{P}[ M_T \geq k, Z_T = k - l ] - \mathbb{P}[ M_T \geq k+1, Z_T = k - l ].

Edelleen, jos tämä johdetaan osaltaan edellisestä, saamme seuraavan:

P[MT=k,ZT=k−l]=P[ZT=k+l]−P[ZT=k+l+2].\mathbb{P}[ M_T = k, Z_T = k - l ] = \mathbb{P}[ Z_T = k + l ] - \mathbb{P}[ Z_T = k + l + 2 ].

Kun tarkastellaan erityistilanteita, kuten yksinkertaista satunnaiskävelyä, saamme seuraavat kaavat reflektion periaatteen avulla. Jos meillä on yksinkertainen satunnaiskävely, niin voidaan johtaa seuraavat lauseet:

P[MT≥k]=P[ZT=k]+2P[ZT>k]jaP[MT=k]=P[ZT=k]+P[ZT=k+1],k∈N0.\mathbb{P}[ M_T \geq k ] = \mathbb{P}[ Z_T = k ] + 2 \mathbb{P}[ Z_T > k ] \quad \text{ja} \quad \mathbb{P}[ M_T = k ] = \mathbb{P}[ Z_T = k ] + \mathbb{P}[ Z_T = k + 1 ], \quad k \in \mathbb{N}_0.

On tärkeää huomata, että ainakin toinen seuraavista todennäköisyyksistä, P[ZT=k]\mathbb{P}[ Z_T = k ] tai P[ZT=k+1]\mathbb{P}[ Z_T = k + 1 ], täytyy olla nolla. Tämä on oleellinen seikka, koska jos molemmat nämä todennäköisyydet ovat positiivisia, se voi johtaa ristiriitaan satunnaiskävelyn perusominaisuuksien kanssa.

Lisäksi, jos satunnaiskävely ZZ on määritelty aina ajanhetkeen T+1T + 1, voimme laajentaa todennäköisyystilaa (Ω,F,P)(\Omega, F, \mathbb{P}). Tällöin voimme esittää seuraavan todennäköisyyden:

P[MT=k,ZT=k−l]=2TP[ZT+1=1+k+l].\mathbb{P}[ M_T = k, Z_T = k - l ] = 2^T \mathbb{P}[ Z_{T+1} = 1 + k + l ].

Tämä kaava on triviaalisti totta, jos T+k+lT + k + l ei ole parillinen. Muuten asetamme j=T+k+l2j = \frac{T + k + l}{2} ja sovellamme reflektion periaatetta saadaksemme toisen muodon tälle todennäköisyydelle.

Tässä vaiheessa on tärkeää ymmärtää, että kaikki nämä johdannaiset ovat keskenään yhteydessä, ja ne pätevät erityisesti silloin, kun käytetään martingaalimittaustyökalua P∗P^*, joka esitetään myös jossain vaiheessa teoriaa. Martingaalimittauksessa todennäköisyyslaskenta tulee huomioida, ja kaavat saavat uutta merkitystä, kun tarkastellaan sellaisia tilanteita, joissa ei ole tasapainotettuja jakaumia.

Erityisesti kun tarkastellaan rahoitusinstrumentteja, kuten up-and-in call -optioita tai up-and-out call -optioita, reflektion periaate voi auttaa optioiden hinnoittelussa. Esimerkiksi up-and-in call -option hinnan laskemiseksi voidaan hyödyntää odotusarvoja, jotka saadaan käyttämällä binomijakaumaa ja reflektion periaatetta. Tämä mahdollistaa optioiden hinnoittelun ilman suoranaista arbijointia, mikä on olennaista dynaamisessa arbitrage-teoriassa.

Yksi tärkeimmistä näkökohdista on ymmärtää, kuinka satunnaiskävelyjen maksimiarvot ja niihin liittyvät todennäköisyydet muuttuvat ajan funktiona. Reflektion periaate tarjoaa yksinkertaisia mutta tehokkaita välineitä, joilla voidaan arvioida satunnaiskävelyjen ja niihin liittyvien rahoitusinstrumenttien hinnoittelua.

Mikä on superhedging-dualiteetti ja miten se liittyy johdannaisiin ja markkinahinnoitteluun?

Superhedging- ja superreplikaatio-argumentit, jotka esitetään arvopaperimarkkinateoriassa, ovat keskeisiä käsitteitä, kun tarkastellaan johdannaisinstrumenttien hinnoittelua ja markkinariskiä. Käsitteet πinf(C) ja πsup(C), jotka liittyvät superhedging- ja superreplikaatiohin, tarjoavat matemaattiset ja taloudelliset pohjat sille, miten johdannaiselle C voidaan määritellä hinnoittelu ja kuinka sen markkinahinta syntyy. Näiden käsitteiden ymmärtäminen on välttämätöntä, jotta voimme nähdä, kuinka markkinoilla voidaan suojautua mahdollisilta riskiltä ja arvonalennuksilta, joita johdannaisilla voi olla.

Superhedging-strategia on portfolio, joka suojaa johdannaiselle C mahdollisesti aiheutuvilta riskeiltä, eli se varmistaa, että tulevaisuuden maksut voidaan täyttää jopa silloin, kun markkinat näyttävät epävakailta. Superreplikaatio puolestaan tarkoittaa sitä, että tietty johdannainen voidaan "replikoida" eli toistaa olemassa olevalla markkinaportaaliin liittyvällä portfoliolla, joka tarjoaa tarvittavat maksut.

Teoreettisesti voidaan ajatella, että johdannainen C on saavuttamaton, mikä tarkoittaa, että ei ole olemassa portfoliota, jonka arvo kattaisi tämän johdannaisen mahdolliset maksut kaikissa markkinatilanteissa. Tällöin πinf(C) (alimpana hinta-arviona) on pienempi kuin πsup(C) (ylin hinta-arvio), jolloin kyseessä on hinnoitteluväli, johon johdannaisen hinta jää. Tämä ero voi syntyä silloin, kun johdannainen ei ole täysin "saavutettavissa" eli se ei ole "replikoitavissa" suoralla kaupankäynnillä markkinoilla ilman arbitraasimahdollisuuksia.

Esimerkiksi, jos markkinat eivät salli täydellistä replikaatiota tai hedgausta, kuten saattaa tapahtua epälikvideillä markkinoilla, johdannaisen hinnoitteluväli muodostuu superhedging- ja superreplikaatiokriteerien pohjalta. Tämä tuo esiin sen, miten tärkeää on ymmärtää markkinariskit ja mahdolliset arbitraasimahdollisuudet, jotka voivat johtaa hinnoitteluvälin laajentumiseen tai kaventumiseen.

Matemaattisesti nämä käsitteet liittyvät siihen, kuinka portfolion tuottojen tulee vastata johdannaisen maksusuorituksia eri skenaarioissa. Kun käytämme portfoliota ξ, sen tuotto V = ξ ⋅ S voidaan tarkastella odotusarvon perusteella. Jos tämä tuotto on positiivinen, sitä voidaan pitää eräänlaisena "johdannaisena", ja jos se voidaan "replikoida" portfolion avulla, se on mahdollista hinnoitella yhdenmukaisella tavalla markkinoilla.

Mikäli johdannainen on saavutettavissa, sen hinta määräytyy suoraan sen replikoinnin kustannuksilla, eli portfolion kustannuksella ξ ⋅ π. Tämä liittyy suoraan yhden hinnan lakiin, joka on keskeinen osa markkinoiden tehokkuuden perusperiaatteita.

Jos johdannainen ei ole saavuttavissa, kuten esimerkiksi johdannaiset, jotka eivät ole replikoitavissa tietyissä markkinatilanteissa, hinnoitteluväli πinf(C) ja πsup(C) on laajempi. Tämä tarkoittaa, että markkinahinnat voivat heittelehtiä tiettyjen riskitekijöiden, kuten likviditeetin tai epävakautensa, vuoksi.

Tämä käsitteiden syvempi tarkastelu on tärkeää, koska se paljastaa, että johdannaisten hinta ei ole yksinkertainen markkinahinta vaan monimutkainen tulos useista tekijöistä, jotka liittyvät markkinariskien hallintaan, arbitraasimahdollisuuksiin ja portfolion replikaatiokykyyn. Käsitteet kuten "superhedging" ja "superreplikaatio" osoittavat, että markkinoilla ei ole vain yksinkertaista hinnan määritystä, vaan se on aina osa laajempaa strategiaa, joka ottaa huomioon koko markkinarakenteen ja riskienhallinnan.

Miten tekoäly mullistaa terveydenhuollon käytännön ja infrastruktuurin?
Miten valmistaa terveellisiä ja maukkaita ruokia, jotka yhdistävät proteiinit ja kasvikset?
Kuinka yhteiskunnallinen konteksti vaikuttaa teknologian käyttäytymiseen ja miksi se on tärkeää?
Miten Mediat muokkaavat Politiikkaa ja Kulttuuria: Roger Ailesin Perintö