Mikä on vaihteleva funktio ja sen merkitys Einsteinin kenttäyhtälöissä?

Jos 𝒱 ℋd4x on skalaari, niin ℋ:n pitäisi olla skalaari-tiheyksellä painoarvolla −1, koska 4-ulotteinen tilavuuselementti d4x on skalaari-tiheys, jonka painoarvo on +1. Yksinkertaisin skalaari-tiheys painoarvolla −1 on −g. Täten, ℋ = −gH, jossa H on oikea skalaari.

Eulerin-Lagrangen yhtälöiden järjestys on kaksi kertaa korkein derivaatan järjestys toiminnan integraalissa. Olisi siis parasta, jos H olisi funktio vain gμν ja gμν,λ suhteen. Kuitenkin ei ole mahdollista muodostaa ei-triviaalista skalaariarvoa yhdistämällä algebrallisesti gμν ja gμν,λ = ρ g + ρ μλ νρ g νλ μρ, koska Christoffelin symbolit eivät ole tensoreita. Jos H:ssa esiintyy gμν:n toiset derivoidut, niillä ei ole vaikutusta Eulerin-Lagrangen yhtälöihin, jos ne voidaan kerätä divergentiksi lausekkeeksi, joka menee nollaksi integraali-alueen rajalla. Tämä on mahdollista, jos gμν,ρσ esiintyy H:ssa lineaarisesti, eli se on supistettu vain termeihin, jotka eivät sisällä gμν,ρσ:ää. Riemannin tensoriin lineaarisesti liittyvät lausekkeet ovat tällaisia. Ainoat lausekkeet, joita voidaan muodostaa Riemannin tensorista ja jotka ovat lineaarisia gμν,ρσ suhteen, ovat Rρβρδ = Rβδ = −Rρβδρ ja gαβRαβ = R. Näin ollen H = gαβRαβ = R ja √ Wg = −gRd4x.

Tarkemmin sanottuna tämä pitäisi olla toiminnan integraali kenttäyhtälöiden vasemmalle puolelle. Kokonaiskokoelma integraalista pitäisi olla ∫ W = Wg + Ld4x, jossa L = 0 tyhjiössä. Ennen kuin lasketaan δWg/δgαβ, huomaamme kaksi apueyhtälöä:

1 δg = ϵα1...α4ϵβ1...β4gα 3 1β g1 α g 2β2 α3β δg! 3 α4β4 1 = gϵα1...α4gβ1ρ1 . . . gβ4ρ4ϵρ1...ρ gα g 3! 1β g g 1 α2β2 α3β δ4 3 α4β4 1 = gδα1...α4 ρ1 ρ2 3 ρ1...ρ δ δ 4 α1 α δρ3 β ρ α g 4 4δg 3 α4β = ggαβδgαβ .

Näin ollen, δα on tensori, koska (4.23):n ei-tensoriset termit katoavat yhdistelmässä (12.26). Kirjoittaessamme δα:n kovarianttia johdannaista ja vertaamalla sitä δR βγ αβ:hen, joka lasketaan Riemannin tensorin määritelmän mukaan, huomaamme, että

ρ ρ δRαβ = − δ ; + δ ; .

Täten ∫ { 1 √ δW σ g = d4x − √ ggαβδg − }−)gg αρ]g}β Rαβδgρσ

Tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa √ { }) − −ggαβ ρ √ ρ δ ; gαβδ ; 29) αρ β + −g αβ ρ . Koska −g ja gαβ ovat kovariantisti vakioita, on tärkeää huomata, että lausekkeet, jotka sisältävät nämä termit, ovat vektoritiheyksiä painoarvolla −1. Tällöin, kuten osassa 4.1 osoitetaan, niiden kovarianttiset divergenssit vastaavat tavallisia divergensseja.

Tämän vuoksi, kuten Stokesin lauseen mukaan, integraalin arvo on nolla, kun otetaan huomioon, että δgαβ ∂𝒱4 = 0. Tämän seurauksena voidaan sanoa, että

1√ δW αβ √ g = d4x −g g R− −g Rαβ δgαβ = 0.

Tässä vaiheessa, jos merkitsisimme δL/δgαβ = −κ −g Tαβ, niin yhtälö δW = 0 johtaa (12.21) mukaan (12.23) ja (12.32). Hilbertin menetelmä ei määrittele sitä, mikä Tαβ on; hän onnistui määrittelemään sen vain elektromagneettiselle kentälle tyhjiössä. Hilbertin variatiivinen periaate toimii täydellisesti Einsteinin yhtälöiden johdannossa yleisesti, mutta vähemmän yleisen metrin tapauksessa, esimerkiksi symmetrioiden kanssa, se voi johtaa yhtälöihin, jotka eivät liity Einsteininkenttäyhtälöihin. Tämä tunnetaan tapahtuvan suurelle osalle Bianchin tyyppisiä malleja, johtuen niiden avaruuden homogeniteetista.

Koska kyseessä on geometrian ja kenttäteorian yhdistelmä, tärkeää on ymmärtää, että variatiivisen periaatteen käyttö ei ole aina suoraan yhteydessä oikeisiin kenttäyhtälöihin.

Mikä on hydrostaattisen tasapainon rooli yleisessä suhteellisuusteoriassa?

Yleisen suhteellisuusteorian kenttäyhtälöt kuvaavat gravitaation ja aineen vuorovaikutusta, ja niillä on tärkeä rooli muun muassa tähtitieteellisten objektien, kuten mustien aukkojen ja tähtien, tutkimuksessa. Yksi keskeisistä asioista, joita nämä yhtälöt selittävät, on hydrostaattinen tasapaino, joka on tilanne, jossa painovoima ja paine ovat tasapainossa. Tämä tilanne on olennainen, kun tarkastellaan painovoimakenttien muodostamista aineen massasta ja sen rakenteesta. Kun tarkastelemme sferisesti symmetrisen gravitaatiokentän mallia, kuten Schwarzschildin ratkaisua, kohtaamme monia keskeisiä käsitteitä, jotka liittyvät tähän tasapainotilaan.

Kun tarkastellaan sferisen gravitaatiokentän sisältämää ainetta, kuten täydellistä nestettä, on tärkeää huomioida, että aineen liike ja paine eivät ole satunnaisia. Kappaleen sisällä paine ja tiheys ovat paikallisesti vakioita virtauslinjojen suuntaisesti, ja nämä muuttujat vaikuttavat suoraan objektiin kohdistuvaan painovoimaan ja sen rakenteen stabiilisuuteen. Tällöin aineen liikkeen kenttä voidaan kuvata kaavan (14.124) avulla, jossa paine ja tiheys säätelevät spherisesti symmetrisen kentän rakenteen ja kehityksen.

Hydrostaattinen tasapaino saavutetaan, kun gravitaatiovoimat ja paineen aiheuttamat voimat ovat tasapainossa. Tämä on erityisen tärkeää tähtitieteellisissä objekteissa, kuten tähdissä, joissa ydinreaktiot voivat tuottaa paineen, joka tasapainottaa painovoiman aiheuttamaa kutistumista. Paineen gradientti, joka vastustaa gravitaatiovoimaa, kasvaa suhteessa painovoiman voimakkuuteen. Tällöin paineen kasvu sisäisesti kohti objektin keskustaa voi johtaa tilanteeseen, jossa tasapaino ei enää ole mahdollinen, ja objekti voi romahtaa mustaksi aukoksi. Tällainen tasapainon menetys ei ole mahdollista Newtontyypillisissä kentissä, jossa paine ei vaikuta samassa määrin massan jakautumiseen.

Jos tarkastellaan kaavan (14.132) ratkaisua, voimme huomata, että yleisessä suhteellisuusteoriassa paine lisää gravitaatiovoiman vetovoimaa, koska se ilmenee massan ja massatiheyden positiivisena kontribuutiona. Tämä tarkoittaa, että tietyssä tiheys- ja painealueessa paineen kasvu johtaa nopeampaan paineen kasvuun kohti objektin keskustaa, mikä voi osaltaan johtaa objektin romahtamiseen, jos se ei pysty ylläpitämään tasapainoa.

Kun tarkastellaan sferisen gravitaatiokentän sisällä tapahtuvia prosesseja, on myös tärkeää ottaa huomioon, että sisäiset massanjakaumat, kuten kaavassa (14.128) esitetty M(r), määrittävät objektin massan ja sen rakenteen. M(r) on massan määritelmä koordinaatti r:n sisällä, mutta se ei ole yhtä suuri kuin koko objektin massan summa, koska se ei sisällä kaikkia restimassoja. Tämä massan "puute" voidaan liittää ydinfysiikassa tunnettuun massan puutteen ilmiöön, jossa sidotun systeemin massa on pienempi kuin sen komponenttien massojen summa.

Tämän vuoksi on tärkeää ymmärtää, että vaikka aineen sisäinen rakenne vaikuttaa suoraan objektiin kohdistuvaan gravitaatiokenttään, myös ulkoiset tekijät, kuten paine ja massan jakauma, voivat muuttaa tasapainoa ja johtaa äärimmäisiin ilmiöihin, kuten mustiin aukkoihin.

Mikä on Newtonilainen kosmologia ja sen yhteys universumin laajenemiseen?

Ensinnäkin tarkastellaan osaa, jossa painetun aineen jakautuminen $\rho = \rho(t)$ on sferisesti symmetrinen. Tällöin, jos tarkastellaan partikkelia, joka liikkuu säteen $r_p(t)$ sisällä, sen liike määräytyy vain niiden massojen vaikutuksesta, jotka sijaitsevat tämän säteen sisäpuolella. Kaikki massat, jotka sijaitsevat säteen ulkopuolella, eivät vaikuta kyseiseen partikkeliin (ks. Harjoitus 8). Tämä yksinkertaistaminen mahdollistaa sen, että partikkelin liike määräytyy vain sen ympärillä olevan aineen vaikutuksesta, joka luo gravitaatiokentän potentiaalissa $V(r) = -GM = -4\pi G \rho(t) r^2(t)$.

Täten, partikkelin liikeyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

missä $\mathbf{x}(t)$ on partikkelin sijaintivektori ja $\mathbf{v}(t)$ sen nopeus. Tämä kuvaa liikkeen kinematiikkaa, ja voidaan helposti nähdä, että nopeusvektorin suunta ei muutu ajan myötä.

Seuraavaksi tarkastellaan jatkokehitystä, joka liittyy kosmologiseen laajenemiseen ja aineen tiheyden muutokseen. Tällöin yhtälö jatkuvuudelle saa seuraavan muodon:

missä $v$ on radiaalinen nopeus ja $r$ etäisyys säteestä. Tämän mukaan voidaan johtaa, että partikkeli liikkuu sellaista nopeutta, joka on suoraan verrannollinen sen etäisyyteen alkuperäisestä keskipisteestä. Tämä johtaa laajentuvan universumin malliin, jossa kaikki galaksit ja taivaankappaleet liikkuvat poispäin toisistaan.

Newtonilainen malli tuottaa myös yhtälön, joka antaa gravitaation vaikutuksen laajenevassa maailmankaikkeudessa:

mikä on sama muoto kuin Friedmannin yhtälöissä, mutta ilman suhteellisuusteorian täsmällisyyksiä. Tämä yhtälö mahdollistaa erilaisten ratkaisujen etsimisen, jotka riippuvat universumin alkuperäisestä tiheydestä ja nopeudesta.

Kosmologisella vakiolla $\Lambda$ on myös merkittävä rooli laajenemisen dynamiikassa. Tämä vakio esittää "kosmologista vetovoimaa", joka voi joko jarruttaa laajenemista tai edistää sitä. Kun $\Lambda > 0$, tämä aiheuttaa kiinteän "repulsiivisen" voiman, joka voi saada universumin laajenemaan kiihtyvästi. Kun $\Lambda < 0$, taas on mahdollista, että universumi käy läpi laajenemisen ja supistumisen jaksoja. Tällöin universumin laajeneminen on epätasaisempaa ja voi johtaa palautumiseen alkuperäiseen pisteeseen.

Tärkeää on ymmärtää, että vaikka Newtonilainen kosmologia tarjoaa yksinkertaisen ja intuitiivisen lähestymistavan, se ei kykene selittämään kaikkia universumin ilmiöitä, kuten mustia aukkoja, gravitaatioaaltoja tai aika-avaruuden kaarevuutta. Näiden ilmiöiden tarkasteluun tarvitaan suhteellisuusteoriaa, joka tuo mallit lähemmäksi todellisuutta.

Mikä rooli on massan ja energian suhteella Lemaître–Tolman -mallissa?

Lemaître–Tolman (L–T) -malli tarjoaa kiehtovan näkökulman kosmologisiin malleihin, joissa tarkastellaan dynaamisia rakenteita, kuten massan jakautumista ja energian säilymistä. Tämä malli pohjautuu suhteellisuusteoriaan ja avaa ymmärrystä siitä, kuinka gravitaatio ja avaruuden geometristen ominaisuuksien muutokset vaikuttavat universumin rakenteisiin eri aikakausina. Eri ratkaisut L–T-mallissa voidaan johtaa tietyistä oletuksista ja lähtökohtaisista parametreista, kuten energiasta ja massasta, mutta myös cosmologinen vakio, Λ, voi vaikuttaa ratkaisuun merkittävästi.

Lemaître–Tolman -ratkaisujen perusteella voidaan tarkastella eri tilanteita, jotka syntyvät massan ja energian suhteista riippuen. Yksi keskeinen parametri on energia E, joka määrittää järjestelmän rakenteen ja sen, onko se sitoutunut vai hajautunut. Kun E on negatiivinen (E < 0), järjestelmä on sitoutunut ja syntyy massan puute, joka on vastuussa niin sanotusta massavajeesta. Tämä tilanne on ominaista, kun avaruuden rakenne on "sidottu" ja energia on vapautunut rakenteen luomiseksi.

L–T-mallissa energia E on keskeinen parametri, joka määrittää avaruuden ja ajan geometrian. Näiden ratkaisujen tarkastelu ilman kosmologista vakioita (Λ = 0) tuottaa seuraavat muodot eri energiatilanteille. Kun E(r) < 0, ratkaisu on:

$R(t, r) = - \frac{M}{(1 - \cos \eta)}$

Kun E(r) = 0, ratkaisu on:

$R(t, r) = M(r) (t - 2 t_B(r))^{1/3}$

Tämä on eräänlainen rajatapaus, jossa energia on tasapainossa eikä ylimääräistä energiaa ole. Tässä tilanteessa kyseessä on marginaalisesti sidottu järjestelmä.

Kun E(r) > 0, ratkaisu on:

Tässä avaruus laajenee, mutta järjestelmä ei ole enää sitoutunut, vaan energia aiheuttaa laajenemisen, jossa tilanne on enemmän avaruuden laajeneminen ilman rakenteellista sidosta. Tällaisessa mallissa voidaan nähdä, kuinka universumi voi laajentua ilman, että kaikki komponentit ovat tiukasti sidottuja toisiinsa.

L–T-mallin merkittävä piirre on sen sferinen symmetria, joka muistuttaa mustan aukon geometrista rakennetta, erityisesti silloin, kun massat ovat hajautuneet tietyllä tavalla. Tällöin L–T-malli voi käytännössä muuttua mustan aukon ratkaisuiksi, kuten Schwarzschildin ratkaisuksi, joka on vakio, kun avaruus on tyhjä.

Lemaître–Tolman -malli korostaa avaruuden ja ajan geometrian riippuvuutta massasta ja energiasta, mutta se tarjoaa myös työkalut ymmärtää, miten nämä geometrian muutokset vaikuttavat kosmologisiin ilmiöihin, kuten laajenemiseen ja massojen jakautumiseen. Tämä malli osoittaa, että vaikka tietyt malliratkaisut voivat näyttää erilaisilta, ne voivat tosiasiassa kuvata samoja ilmiöitä eri alueilla avaruudessa.