¿Cómo asegurar la regularidad y no-negatividad de las soluciones en ecuaciones elípticas?

Comenzamos considerando la expresión de la ecuación elíptica en términos de su solución débil. Al trabajar en espacios de Sobolev, es común estudiar la diferencia entre la función $v$ y su traslación $v(·, · - h)$, donde $h$ representa un parámetro de desplazamiento. El análisis de esta diferencia se realiza a través de herramientas como la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el teorema de Fubini-Tonelli, que permiten controlar el comportamiento de la solución en espacios $L^2$ y $H^1$. Al aplicar estos resultados, se obtiene una estimación de la norma $L^2$ de la diferencia de las funciones, lo cual proporciona información crucial sobre la estabilidad y regularidad de la solución.

La no-negatividad de la solución es otro resultado importante en el estudio de ecuaciones elípticas. Cuando el término fuente $f$ es no-negativo, es decir, $f \geq 0$ en $\Omega$, se puede demostrar que la solución débil $u$ también es no-negativa. Este tipo de resultados se fundamenta en el principio de máximo y en argumentos de contradicción. Si asumimos que $u$ toma valores negativos en alguna parte del dominio, se puede mostrar que esto lleva a una contradicción con las condiciones impuestas por la ecuación. En el caso de que $f \geq 0$, el resultado sigue siendo válido si se permite que $f$ sea solo casi no-negativa, es decir, si $f \geq 0$ casi en todas partes.

Un aspecto adicional que se debe tener en cuenta es el tratamiento de las funciones no diferenciables en el punto $u = 0$. En estos casos, la regularidad de la solución en los puntos donde $u$ cambia de signo se puede analizar utilizando herramientas de análisis funcional, como la convergencia dominada y el teorema de convergencia de Lebesgue. Estas técnicas permiten que el análisis se extienda a situaciones donde las funciones involucradas no son suaves en todo el dominio, pero aún se puede garantizar la existencia de soluciones con propiedades adecuadas en un sentido débil.

En el análisis funcional, los espacios de Sobolev, especialmente los denotados como $W^{1,p}(\Omega)$, son fundamentales para estudiar las propiedades de funciones que tienen derivadas en un sentido débil. Estos espacios son utilizados en problemas de ecuaciones en derivadas parciales, ya que permiten manejar funciones que no necesariamente son suaves en el sentido clásico, pero sí lo son en un sentido más generalizado, conocido como derivadas débiles. A continuación se presenta una discusión sobre las propiedades de embebimiento de estos espacios y algunas de sus implicaciones.

Un ejemplo de tal embebimiento se da cuando se considera $W^{1,1}(\Omega)$ en el caso en que $N = 1$. En este caso, el espacio $W^{1,1}(\Omega)$ se incrusta de manera continua en $L^\infty(\Omega)$, lo que nos permite interpretar las funciones de Sobolev de una manera más accesible en ciertos casos. Además, si el dominio $\Omega$ es acotado y tiene frontera Lipschitz, entonces $W^{1,N}(\Omega)$ se incrusta de manera continua en $L^q(\Omega)$ para cualquier $1 \leq q < \infty$, lo que amplía aún más la aplicabilidad de estos resultados.

El embebimiento compacto juega un papel crucial cuando consideramos el caso de que $\Omega$ sea un conjunto acotado sin suponer ninguna regularidad sobre la frontera. El teorema de Sobolev, junto con el teorema de compacidad de Rellich, nos dice que cuando $1 \leq p \leq N$ y $q < p^\ast$, el embebimiento de $W_0^{1,p}(\Omega)$ en $L^q(\Omega)$ es compacto. Esto implica que, para una secuencia acotada de funciones en $W_0^{1,p}(\Omega)$, es posible extraer una subsecuencia que converge en $L^q(\Omega)$, lo que tiene implicaciones importantes en la aproximación de soluciones de problemas variacionales.

Es esencial comprender que, además de los resultados que se han mencionado, el concepto de regularidad de funciones es más amplio de lo que se puede captar mediante los espacios de Sobolev. Mientras que estos espacios proporcionan un marco para estudiar funciones con derivadas débiles, también es crucial entender que las funciones en estos espacios pueden ser no continuas o incluso discontinuas, dependiendo del exponente $p$. Esto implica que el hecho de que una función pertenezca a un espacio de Sobolev no garantiza que sea continua en el sentido clásico. Sin embargo, en ciertos casos, como el de los dominios acotados con fronteras regulares, es posible obtener regularidad adicional, lo que aumenta la aplicabilidad de los espacios de Sobolev en la resolución de problemas concretos.