¿Cómo abordar la convergencia en la topología débil-ψ en espacios métricos separables?

En el análisis de medidas sobre espacios métricos separables y metrizables, surge un desafío importante relacionado con la convergencia de las medidas y la aplicación de funciones continuas a estas. La topología débil-ψ, que introduce una transformación de la topología débil estándar, permite abordar de manera más adecuada la convergencia de funciones no acotadas. La función ψ, continua y que toma valores en el intervalo [1,∞), actúa como una herramienta clave para mejorar la teoría de la convergencia débil, haciendo posible tratar ciertos casos en los que la topología débil no es suficiente.

La topología débil, aunque útil, muestra limitaciones en su capacidad para garantizar la convergencia de integrales cuando se aplican funciones no acotadas. Por ejemplo, si tomamos la secuencia de medidas μₙ definida sobre el espacio [0, ∞) con la medida de Dirac en 0 y en n, la convergencia débil de μₙ a μ no implica una convergencia adecuada para algunas funciones continuas no acotadas, como f(x) = x. En este contexto, la introducción de la función ψ permite suavizar esta limitación, proporcionando una convergencia más efectiva y una mejor caracterización de la convergencia de medidas bajo condiciones más generales.

La topología débil-ψ se define de tal forma que todas las funciones continuas acotadas que cumplen la condición de integrabilidad con respecto a ψ se utilizan para caracterizar la convergencia. Es decir, la topología débil-ψ es la topología más fina para la cual todas las aplicaciones de la forma μ ↦ ∫ f dμ, donde f pertenece al espacio de funciones continuas Cψ(S), son continuas. Esta modificación permite manejar la convergencia débil para funciones continuas que de otro modo no podrían ser tratadas en la topología débil tradicional.

La relación entre las topologías débil y débil-ψ no se limita únicamente a la convergencia de funciones acotadas. De hecho, un conjunto de medidas en M(S) es débilmente abierto si y solo si su imagen bajo la transformación Ψ, que mapea medidas de M(S) a Mψ(S), es abierta en la topología débil-ψ. Esta propiedad proporciona un puente entre las dos topologías, lo que permite traducir los resultados de una a otra de manera eficiente.

Por ejemplo, el teorema de Prohorov, que describe la compacticidad relativa de conjuntos de medidas, puede ser reescrito en el contexto de la topología débil-ψ. Esto implica que la condición de compacticidad relativa en Mψ(S) es equivalente a la existencia de un conjunto compacto en S tal que las integrales con respecto a ψ se mantengan acotadas. Además, bajo ciertas condiciones, se puede asegurar que un conjunto de medidas es relativamente compacto en la topología débil-ψ si y solo si su integral con respecto a ψ está controlada de manera adecuada.

Otro resultado clave en el contexto de la topología débil-ψ es la convergencia de distribuciones empíricas de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. En este caso, la ley de los grandes números se refuerza, mostrando que, con probabilidad 1, las distribuciones empíricas de una secuencia de variables aleatorias convergen débilmente-ψ a la distribución de la variable aleatoria original. Esto refuerza la aplicabilidad de la topología débil-ψ en la teoría de probabilidades, extendiendo los resultados clásicos de convergencia en distribuciones a un marco más amplio y adecuado.

Es importante destacar que la definición de la topología débil-ψ permite que la teoría de convergencia de medidas se extienda a una variedad de escenarios que incluyen funciones no acotadas, lo que sería imposible en la topología débil tradicional. Esta extensión de la teoría no solo mejora la capacidad de trabajar con medidas en espacios complejos, sino que también abre nuevas puertas en el análisis de procesos estocásticos, contribuyendo al estudio de la convergencia en la teoría de probabilidad de manera más flexible y general.

El uso de la topología débil-ψ, por lo tanto, no solo resuelve problemas de convergencia en escenarios con funciones no acotadas, sino que también ofrece un enfoque más refinado y robusto para tratar cuestiones fundamentales en la teoría de medidas y la probabilidad.

¿Cómo se determinan los precios libres de arbitraje para las reclamaciones contingentes europeas?

El modelo financiero de precios libres de arbitraje se fundamenta en la existencia de medidas martingala equivalentes para la evaluación de reclamaciones contingentes. Estas medidas garantizan que los precios de los activos no permitan la existencia de arbitraje, lo que significa que no es posible realizar operaciones sin riesgo que generen ganancias aseguradas. En este contexto, uno de los objetivos principales es caracterizar el conjunto de precios libres de arbitraje para una reclamación contingente dada $H$, especialmente aquellos que se encuentran en el intervalo entre $\pi_{\inf}(H)$ y $\pi_{\sup}(H)$, es decir, el precio mínimo y máximo posible para dicha reclamación.

La clave aquí es que una reclamación $H$ se puede expresar en términos de un proceso estocástico de tipo $X^{d+1}_t := E^{P^*}[H | F_t]$, el cual satisface las condiciones necesarias para que el modelo de mercado extendido sea libre de arbitraje. Si $\pi_H = E^*[H]$ para algún $P^* \in P$, entonces podemos definir el proceso estocástico que garantiza que el precio en el modelo extendido será igualmente libre de arbitraje.

Además, es posible deducir que el valor de $\pi_{\inf}(H)$ está relacionado con las propiedades de la medida martingala equivalente $\hat{P}$, y que se puede obtener de inmediato a partir de la ecuación (5.19), sabiendo que $\Pi(H) \neq \emptyset$. Sin embargo, la fórmula para $\pi_{\sup}(H)$ requiere de un argumento adicional que se basa en la existencia de una medida $P_\infty \in P$ tal que $E_{\infty}[H] = \infty$. En este caso, para cualquier $c > 0$, podemos encontrar un $\pi \in \Pi(H)$ tal que $\pi > c$. Esto se logra mediante la construcción de un proceso estocástico $X^{d+1}_t := E_{\infty}[H \land n | F_t]$, y el uso del hecho de que el conjunto de precios libres de arbitraje es no vacío en el modelo de mercado extendido.

Por otro lado, en el caso de una opción de venta europea $C_{put} = (K - S_1T)^+$, la situación se complica un poco más. Para tasas de interés positivas, el valor temporal de una opción de venta que está "en el dinero" puede llegar a ser negativo. Este comportamiento refleja la diferencia entre el precio de la opción y su valor intrínseco, conocido como la paridad put-call, y puede ser descrito mediante el ejercicio 5.3.1.

El concepto de alcanzabilidad es fundamental para comprender el comportamiento de los precios en mercados dinámicos y, por lo tanto, para determinar la estructura de precios de las opciones y otros instrumentos financieros. Además, la noción de medida martingala equivalente es crucial para asegurar que no existan oportunidades de arbitraje, lo que garantiza la consistencia y la fiabilidad de los precios calculados en tales modelos.