¿Cómo la ausencia de oportunidades de arbitraje implica la existencia de medidas equivalentes de probabilidad?

En el contexto de estrategias de trading, se considera que no existe una oportunidad de arbitraje si no es posible construir una estrategia que garantice una ganancia sin riesgo. Es decir, en un mercado sin arbitraje, no se puede encontrar una estrategia de inversión que produzca un beneficio en todas las circunstancias sin una inversión inicial. Esto lleva a la necesidad de estudiar el comportamiento de los procesos de valor asociados a las estrategias y su relación con las medidas de probabilidad.

La proposición 9.6 establece que el proceso de valor $V$ de una estrategia es un P̃-supermartingala, lo que implica que el valor inicial de la estrategia, $V_0$ , debe ser mayor o igual que la expectativa condicional del valor final $V_T$ , es decir, $V_0 \geq \mathbb{E}_{\tilde{P}}[V_T]$ . Este resultado es importante porque si el valor $V$ es un supermartingala bajo la medida $\tilde{P}$ , se concluye que $V$ no puede ser el proceso de valor asociado a una oportunidad de arbitraje.

Un aspecto clave que se debe entender es que la ausencia de arbitraje en un modelo de trading es equivalente a la ausencia de oportunidades de arbitraje en cada uno de los modelos de un solo periodo que componen el proceso general. Es decir, si no hay arbitraje en el modelo continuo, tampoco lo habrá en sus representaciones discretas. Esta equivalencia se explora mediante la definición de un conjunto $S^\infty$ , el cual se compone de estrategias que son acotadas en el espacio $S$ .

En términos más técnicos, si $S$ no contiene oportunidades de arbitraje, esto implica que para cualquier estrategia $\xi_t$ en $S_t$ , no es posible obtener una ganancia positiva no trivial mediante la diferencia $\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1})$ . Esta propiedad se puede mostrar a través de un par de lemas: el Lemma 9.12 establece que la ausencia de arbitraje está vinculada a la condición de que el conjunto de ganancias posibles $K_S^t \cap L_0^+$ sea trivial (es decir, contenga solo el elemento nulo). Por otro lado, el Lemma 9.13 demuestra que la condición de ausencia de arbitraje también puede ser formulada en términos de medidas de probabilidad $\tilde{P}$ que pertenecen a la clase $P_S$ , lo que nos lleva a un resultado fundamental: si no hay arbitraje, entonces para cada $t$ , existe un proceso $Z_t$ que satisface ciertas condiciones sobre las ganancias generadas por cualquier estrategia en $S^\infty$ .

Por lo tanto, uno de los pasos cruciales para demostrar la ausencia de arbitraje es construir una medida de probabilidad $\tilde{P}$ que sea equivalente a la medida $P$ , bajo la cual el valor de cada estrategia en $S^\infty$ sea un P̃-supermartingala. Esto puede hacerse mediante un proceso de recursión hacia atrás, comenzando con el último periodo $t = T$ , y utilizando las propiedades de las expectativas condicionadas para asegurar que las expectativas de ganancias sean no positivas bajo la medida $\tilde{P}$ . Este proceso de construcción se puede extender hacia atrás para cubrir todo el horizonte temporal $T$ , obteniendo finalmente una medida $\tilde{P}$ que cumple con las condiciones necesarias.

Este tipo de análisis no solo es relevante para el estudio de arbitraje en mercados financieros, sino también para entender cómo las medidas de probabilidad equivalentes son fundamentales para la estructuración de modelos de precios de activos en los que se asume que no existen oportunidades de arbitraje. La existencia de una medida $\tilde{P}$ que pertenece a la clase $P_S$ y cuya densidad respecto a $P$ está acotada es un resultado clave en la teoría de precios de activos, especialmente en el contexto de modelos que involucran procesos estocásticos y optimización dinámica.

Además, se debe notar que la ausencia de arbitraje tiene implicaciones profundas en la manera en que los mercados funcionan. Si un mercado no tiene oportunidades de arbitraje, se asegura que los precios de los activos reflejan de manera justa las expectativas de los agentes, y cualquier intento de aprovechar diferencias de precio entre activos llevará inevitablemente a la convergencia de los precios hacia un equilibrio.

¿Qué es la entropía relativa y cuáles son sus propiedades fundamentales en la teoría de la probabilidad?

La función $h(x) = x \log x$ definida para $x > 0$ juega un papel crucial en la definición de la entropía relativa. Esta función es estrictamente convexa y se puede extender de manera continua a $[0, \infty)$ asignando $h(0) = 0$ . Un hecho esencial es que $h(x) \geq -1/e$ para todo $x > 0$ , con igualdad solo en $x = 1/e$ . Además, $h(x) \to 0$ conforme $x \downarrow 0$ , lo que justifica la continuidad de su extensión.

La entropía relativa de una medida de probabilidad $Q$ respecto a otra $P$ , también conocida como divergencia de Kullback–Leibler, se define como

H(Q \mid P) =

\begin{cases} E_Q\left[\log \frac{dQ}{dP}\right] & \text{si } Q \ll P, \\ +\infty & \text{en otro caso}. \end{cases}

H (Q ∣ P) = {E_{Q} [lo g \frac{d Q}{d P}] + \infty si Q ≪ P, en otro caso .

Este valor es siempre no negativo y es igual a cero si y solo si $Q = P$ . Esta propiedad se deduce directamente de la desigualdad de Gibbs, que a su vez es consecuencia de la convexidad de $h$ y la desigualdad de Jensen. La estricta convexidad de $h$ garantiza que la igualdad se dé únicamente cuando las densidades coinciden $P$ -casi seguramente.

Para espacios finitos, con la medida uniforme $P$ , la entropía relativa puede expresarse en términos de la entropía clásica $S(Q) := -\sum Q(\omega) \log Q(\omega)$ como

H(Q \mid P) = S(P) - S(Q),

donde $S(P)$ es la máxima entropía alcanzable. Así, la entropía relativa mide la pérdida de incertidumbre al pasar de la distribución uniforme a $Q$ .

Un ejemplo en espacios continuos es la divergencia entre distribuciones normales $\mu = \mathcal{N}(m, \sigma^2)$ y $\tilde{\mu} = \mathcal{N}(\tilde{m}, \tilde{\sigma}^2)$ , cuya fórmula explícita muestra cómo la divergencia combina la diferencia de medias y la discrepancia en varianzas.

Un resultado fundamental es la representación dual de la entropía relativa:

H(Q \mid P) = \sup_{Z} \left( E_Q[Z] - \log E_P[e^{Z}] \right),

donde $Z$ varía en el conjunto de variables aleatorias acotadas $L^\infty(\Omega, \mathcal{F}, P)$ con momentos exponenciales finitos. La supremacía se alcanza para $Z = \log \frac{dQ}{dP}$ si $Q \ll P$ , y en caso contrario, la supremacía puede crecer indefinidamente.

Esta dualidad se apoya en una construcción precisa usando medidas auxiliares $P_Z$ definidas mediante transformaciones exponenciales de $Z$ , que refuerza la interpretación de la entropía relativa como un tipo de divergencia o distancia convexa entre probabilidades. Además, esta propiedad asegura que la entropía relativa es monótona respecto a la refinación de la estructura de información, es decir, si se aumenta la información disponible (el sigma-álgebra), la entropía relativa no disminuye.

El principio variacional de Gibbs emerge como una consecuencia natural: para una función $Z$ dada, la medida $P_Z$ definida por la densidad proporcional a $e^{Z}$ es la que minimiza la entropía relativa entre todas las medidas que preservan la esperanza de $Z$ . En contextos de mecánica estadística y teoría de la información, esta medida $P_Z$ se llama medida de Gibbs y encarna el equilibrio entre entropía y energía esperada.

De particular interés es la fórmula

\max_Q \left( E_Q[Z] - H(Q \mid P) \right) = \log E_P[e^{Z}],

que establece una relación directa entre la transformada logarítmica de momentos y la entropía relativa. Este resultado es clave en la representación dual de medidas de riesgo convexas, donde la entropía relativa actúa como penalización y el término lineal $E_Q[Z]$ representa la utilidad o ganancia esperada.

Es crucial reconocer que la entropía relativa no es una distancia métrica, ya que no es simétrica y no cumple la desigualdad triangular, pero sí proporciona una herramienta fundamental para comparar medidas, entender divergencias y optimizar criterios en estadística, física y teoría de la información.

La comprensión profunda de la entropía relativa implica captar su doble naturaleza: como funcional convexa que mide la discrepancia entre distribuciones y como un instrumento dual que permite caracterizar problemas de optimización mediante transformadas de Legendre. Esta dualidad otorga flexibilidad para modelar problemas complejos de inferencia y aprendizaje, donde la divergencia de Kullback–Leibler aparece como un término de regularización natural.

Además, la continuidad y convexidad estricta de la función $h$ garantizan la estabilidad y unicidad en las soluciones de minimización de la entropía relativa, lo que es fundamental para la consistencia en aplicaciones prácticas. La extensión continua de $h$ y la consideración de valores infinitos para densidades fuera del soporte aseguran que la definición sea robusta y aplicable en general.

Es importante también destacar que el comportamiento límite de la función $h$ en cero y la asignación $0 \log 0 := 0$ permiten manejar situaciones donde la densidad puede ser nula en regiones con peso positivo bajo $P$ , sin perder sentido matemático ni interpretación probabilística.

Por último, la entropía relativa sirve como base para numerosos desarrollos en teoría de la información, estadística bayesiana, aprendizaje automático y mecánica estadística, ya que permite formular problemas de inferencia y actualización de creencias mediante mínimos de divergencias, estableciendo así puentes entre probabilidades, energía y entropía en sistemas complejos.

¿Cómo se representa la preferencia en un espacio topológico conectado?

En el contexto de las relaciones de preferencia continuas en espacios topológicos, el concepto de representación numérica continua se presenta como un tema esencial. Consideremos un espacio topológico $X$ con una relación de preferencia continua, $\succ$ . Si $X$ es un espacio métrico conectado, y existe una función continua $U : X \to \mathbb{R}$ , tal que $U$ restringida a un subconjunto denso $Z \subseteq X$ sea una representación numérica para $\succ$ en $Z$ , entonces $U$ también servirá como una representación numérica para $\succ$ en todo $X$ . Este resultado se demuestra mediante un argumento de continuidad y densidad, lo que implica que la relación de preferencia sobre el espacio $X$ se preserva a través de $U$ en el espacio completo.

El argumento se puede explicar de la siguiente manera. Supongamos que $y \succ x$ para dos elementos $x, y \in X$ . Dado que $Z$ es denso en $X$ , podemos encontrar una secuencia $z_n$ en $Z$ que converge a $y$ , y una secuencia $z'_n$ en $Z$ que converge a $x$ . Por la continuidad de $\succ$ , podemos garantizar que $z_n \succ z'_n$ para $n$ suficientemente grande, lo que lleva a la conclusión de que $U(y) > U(x)$ , dado que la función $U$ es continua y preserva la relación de preferencia.

Este resultado tiene implicaciones significativas para el estudio de las preferencias continuas en espacios topológicos, ya que proporciona una forma de construir una representación numérica continua a partir de una representación en un subconjunto denso. La clave aquí es la propiedad de continuidad tanto de la relación de preferencia como de la función numérica $U$ , lo cual permite extender la representación de un subconjunto denso a todo el espacio conectado.

Sin embargo, no siempre es necesario recurrir a representaciones continuas en espacios topológicos para abordar problemas prácticos. En muchos casos, como en la teoría de von Neumann y Morgenstern, se pueden usar representaciones más simples, como las representaciones numéricas que involucran funciones integrales de distribuciones de probabilidad, lo que facilita la aplicación de estas ideas en contextos como la toma de decisiones bajo incertidumbre y la teoría de juegos.

Por ejemplo, si consideramos un conjunto de loterías representadas por distribuciones de probabilidad en un espacio medible $(S, \mathcal{S})$ , podemos asumir que el conjunto $M$ de todas las distribuciones de probabilidad sobre $S$ es convexo. La teoría de von Neumann y Morgenstern proporciona una representación numérica para las preferencias sobre este conjunto de loterías, que puede expresarse mediante una integral sobre $S$ . Esto significa que cada preferencia $\succ$ sobre las loterías admite una representación de la forma:

U(\mu) = \int u(x) \mu(dx)

donde $u$ es una función real definida sobre $S$ , y $\mu$ es una distribución de probabilidad en $M$ . Esta representación es fundamental para modelar la toma de decisiones en situaciones de riesgo, como las decisiones económicas o en juegos estratégicos.

Además de la existencia de una representación continua en espacios topológicos conectados, la teoría de von Neumann-Morgenstern introduce dos axiomas clave que deben cumplirse para que una preferencia en $M$ tenga una representación numérica affine: el axioma de independencia y el axioma Archimedeano. El axioma de independencia establece que las preferencias sobre loterías deben ser preservadas en cualquier combinación convexa de loterías, mientras que el axioma Archimedeano implica que, dadas tres loterías $\mu \succ \lambda \succ \nu$ , existen combinaciones convexas $\alpha \mu + (1-\alpha) \nu$ y $\beta \mu + (1-\beta) \nu$ tales que la preferencia se mantiene.

La importancia de estos axiomas radica en su capacidad para garantizar la existencia de una representación numérica affine única, que puede ser utilizada para modelar preferencias de una manera coherente y matemáticamente robusta. El axioma de independencia es intuitivo y refleja la idea de que las preferencias sobre loterías deben ser invariables frente a las combinaciones de otras loterías. En cambio, el axioma Archimedeano, a pesar de ser menos intuitivo, juega un papel crucial en garantizar la continuidad de las preferencias en el espacio de las loterías.

Cuando ambos axiomas se satisfacen, es posible construir una representación numérica affine, que no solo es única, sino que también puede ser transformada de manera afín positiva, lo que proporciona una gran flexibilidad en la representación de las preferencias.

La conexión entre los resultados anteriores y la representación de preferencias en contextos económicos es profunda, ya que muchos modelos de toma de decisiones en situaciones de riesgo y de incertidumbre dependen de la existencia de una representación numérica para las preferencias de los agentes. Además, esta teoría permite extender las ideas de representación numérica a contextos más generales, incluyendo el análisis de decisiones en situaciones dinámicas y complejas.

¿Cómo se construyen las medidas de riesgo convexas y su relación con la entropía y la divergencia?

En el contexto de las medidas de riesgo convexas sobre $L^\infty$ , las funciones penalizadoras juegan un papel fundamental. La construcción de una medida de riesgo en este entorno puede entenderse a través de la formulación de un problema de optimización que involucra una clase de modelos probabilísticos. Para cualquier $\lambda \geq 0$ , si consideramos $\lambda Y + \rho(0) \in A_\rho$ , podemos deducir que $-\infty < \gamma < \ell(\lambda Y + \rho(0)) = \lambda \ell(Y) + \ell(\rho(0))$ . Este proceso describe la determinación de la medida de riesgo como el valor esperado de la pérdida, ajustado por un factor de penalización asociado a la desviación del modelo utilizado respecto al modelo base.

Al tomar el límite $\lambda \to \infty$ , se observa que $\ell(Y) \geq 0$ , lo que implica que la variable aleatoria $Z$ es mayor o igual a cero con probabilidad 1. Este comportamiento también lleva a la conclusión de que la probabilidad de que $Z > 0$ es estrictamente positiva, dado que $\ell$ es no nula. Así, se puede definir la medida de probabilidad $dQ_0 Z / dP := E[Z]$ , la cual representa una medida de probabilidad $Q_0 \in M_1(P)$ .

Con esta definición, se puede formular el problema de optimización de la medida de riesgo como una maximización del valor esperado de la pérdida ajustada por la penalización dada por $\alpha(Q)$ . Este tipo de medidas permite modelar el riesgo de acuerdo con la peor pérdida esperada bajo cualquier modelo $Q \in M_1(P)$ , considerando siempre la penalización asociada a la discrepancia con el modelo de referencia $P$ . Un ejemplo típico de esta aproximación es la medida de riesgo entropica, donde la penalización es proporcional a la divergencia de Kullback-Leibler entre el modelo $Q$ y el modelo de referencia $P$ . La medida de riesgo entropica $\rho_\beta(X)$ se puede definir como:

\rho_\beta(X) = \sup_{Q \in M_1(P)} \left( E_Q[-X] - \beta H(Q|P) \right),

donde $H(Q|P) = E_Q[\log(dQ/dP)]$ es la entropía relativa, o divergencia de Kullback-Leibler, entre $Q$ y $P$ . Este enfoque proporciona una medida que refleja el riesgo en función de las variaciones posibles de los modelos probabilísticos, penalizando aquellas que se alejan más de $P$ .

El uso de la entropía como penalización lleva a una serie de resultados interesantes, como la convergencia de $\rho_\beta(X)$ hacia la medida de riesgo del peor caso cuando $\beta \to \infty$ , y hacia la pérdida esperada bajo el modelo base $P$ cuando $\beta \to 0$ . Sin embargo, también es importante destacar que, para valores de $\beta$ dentro de $(0, \infty)$ , la medida de riesgo entropica no es coherente, lo que implica que no satisface algunas propiedades fundamentales como la subaditividad o la invariancia bajo reescalado.

Una de las propiedades cruciales de las medidas de riesgo convexas es su continuidad desde abajo. Esta propiedad implica que, para una secuencia de riesgos $X_n$ que converge casi seguramente a $X$ , las medidas de riesgo correspondientes $\rho(X_n)$ convergen de manera no creciente a $\rho(X)$ . Esta característica está estrechamente vinculada a la propiedad de Lebesgue, que establece que una secuencia acotada de riesgos en $L^\infty$ que converge casi seguramente debe tener una medida de riesgo que también converja. En este contexto, la función penalizadora mínima $\alpha_{\text{min}}$ está concentrada en $M_1(P)$ , lo que significa que cualquier penalización finita implica que el modelo probabilístico $Q$ debe pertenecer a $M_1(P)$ .

Además, existen medidas de riesgo que surgen de divergencias más generales, como la divergencia $g$ -divergence, que se define a través de una función convexa y semicontinua $g$ . Estas medidas de riesgo, llamadas medidas de riesgo de divergencia, pueden escribirse como:

\rho_g(X) = \sup_{Q \in M_1(P)} \left( E_Q[-X] - I_g(Q|P) \right),

donde $I_g(Q|P)$ es la divergencia $g$ entre el modelo $Q$ y el modelo base $P$ . Estas medidas también tienen la propiedad de ser continuas desde abajo y pueden representarse mediante la maximización del valor esperado ajustado por la divergencia. En el caso de que $g(x) = \frac{1}{\beta} x \log x$ , se obtiene la medida de riesgo entropica discutida anteriormente.

La coherencia de las medidas de riesgo es una propiedad esencial en este marco, y uno de los resultados importantes es que una medida de riesgo coherente en $L^\infty$ puede representarse a través de un conjunto de modelos probabilísticos $Q \subset M_1(P)$ . Sin embargo, la estructura de estos modelos depende de la penalización utilizada, y es crucial entender que el conjunto de modelos $Q$ que representa una medida de riesgo coherente puede ser complejo y depender de la naturaleza de la penalización aplicada.

Para medir el riesgo en contextos más complejos, se introducen conceptos como el valor en riesgo promedio $AV@R_\lambda(X)$ , que se define sobre una clase de modelos $Q_\lambda$ cuyos densidades están acotadas por un parámetro $\lambda$ . Este tipo de medidas se encuentra dentro de la clase de medidas de riesgo de divergencia y tiene aplicaciones prácticas en la gestión de riesgos financieros. El valor en riesgo promedio permite analizar el riesgo asociado con una cartera o inversión, ajustado por el nivel de penalización correspondiente a $\lambda$ .

Es importante entender que cada tipo de medida de riesgo y cada función penalizadora se adapta a diferentes tipos de riesgos y modelos probabilísticos. La elección de la medida de riesgo adecuada depende del contexto específico y de la naturaleza del riesgo que se desee modelar. Sin embargo, todas las medidas de riesgo discutidas comparten la propiedad de que buscan evaluar el peor caso posible en términos de pérdidas esperadas, ajustadas por las desviaciones del modelo de referencia.

¿Cómo las medidas de martingala afectan las oportunidades de arbitraje en los mercados financieros?

En la teoría de la probabilidad aplicada a los mercados financieros, uno de los conceptos clave es el de la medida de martingala. Este concepto tiene un papel fundamental en el análisis de arbitraje y en la evaluación de estrategias de inversión en mercados financieros. A través del Teorema 5.14, podemos observar cómo diferentes condiciones se interrelacionan para garantizar la ausencia de oportunidades de arbitraje en los mercados.

El Teorema 5.14 establece que, dado un proceso de medida de probabilidad $Q$ , existen equivalencias entre ciertas condiciones de martingalas. Específicamente, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Q es una medida de martingala.
Si $\xi = (\xi_0, \xi)$ es una estrategia auto-financiada y $\xi$ es acotada, entonces el proceso de valor $V$ de $\xi$ es una martingala bajo la medida $Q$ .
Si $\xi = (\xi_0, \xi)$ es una estrategia auto-financiada y su proceso de valor $V$ satisface que $\mathbb{E}_Q[V_T^-] < \infty$ , entonces $V$ es una martingala bajo la medida $Q$ .
Si $\xi = (\xi_0, \xi)$ es una estrategia auto-financiada y su proceso de valor $V$ satisface que $V_T \geq 0$ casi seguramente bajo $Q$ , entonces $\mathbb{E}_Q[V_T] = V_0$ .

Implicaciones y demostración

La primera implicación del teorema muestra que, si $Q$ es una medida de martingala, entonces el proceso de valor $V$ de una estrategia auto-financiada $\xi = (\xi_0, \xi)$ , donde $\xi$ es acotada, también será una martingala bajo la medida $Q$ . Para demostrar esto, consideremos que, dado que la estrategia $\xi$ es acotada, su valor $V_t$ estará en el espacio $L^1(Q)$ , lo que significa que $\mathbb{E}_Q[|V_t|] < \infty$ para cada $t$ . Además, utilizando la propiedad de las martingalas, se puede mostrar que la expectativa condicional de $V_t$ dada la filtración $\mathcal{F}_t$ se mantiene constante a lo largo del tiempo, lo que asegura que $V$ sea una martingala.

Por otro lado, la segunda implicación del teorema establece que si un proceso $V_t$ satisface la condición $\mathbb{E}_Q[V_T^-] < \infty$ , entonces se cumple la propiedad de la martingala, es decir, la expectativa condicional de $V_t$ en el tiempo $t$ , dada la información en $\mathcal{F}_{t-1}$ , es igual a $V_{t-1}$ . Esto implica que el proceso $V_t$ no presenta tendencias sistemáticas en su evolución, lo cual es una característica esencial de una martingala.

Relación con la ausencia de arbitraje

El concepto de martingala está intrínsecamente relacionado con la ausencia de arbitraje en los mercados. En un contexto de arbitraje, se entiende que un inversor puede generar ganancias sin riesgo mediante la compra y venta de activos financieros sin necesidad de inversión inicial. La existencia de martingalas y la ausencia de arbitraje están fuertemente conectadas, ya que la condición de que un proceso de valor sea una martingala asegura que no hay "ganancias libres de riesgo" disponibles en el mercado.

Cuando se afirma que $V_t$ es una martingala, significa que, a pesar de las fluctuaciones del mercado, no es posible predecir de manera sistemática una ganancia o pérdida en el futuro. De esta forma, las estrategias que implican compras y ventas de activos no pueden generar beneficios sin riesgos bajo una medida de martingala. Este principio es crucial en la teoría moderna de los mercados financieros, ya que asegura que el mercado es eficiente y que no hay espacio para realizar operaciones de arbitraje sin incurrir en algún tipo de riesgo.

El impacto de la elección del numerario

Es importante destacar que, aunque la ausencia de arbitraje es independiente de la elección del numerario, la estructura de las medidas de martingala sí depende de esta elección. Un numerario es un activo utilizado para descontar el valor de otros activos y, al elegir un numerario diferente, podemos cambiar la forma en que las medidas de martingala se distribuyen. Sin embargo, la ausencia de arbitraje sigue siendo una propiedad fundamental que no depende de la elección específica del numerario.

Material adicional

Para una comprensión más profunda, el lector debe considerar que la teoría de martingalas no solo se aplica a los modelos financieros clásicos, sino también a modelos más complejos como los que involucran procesos estocásticos en tiempo continuo o en mercados con fricciones. También es relevante explorar cómo la dinámica de los mercados de opciones y futuros se ve afectada por la presencia o ausencia de arbitraje, especialmente en mercados que presentan incertidumbre o información asimétrica.

Además, el estudio de medidas de martingala ofrece un marco para la evaluación de precios de activos en condiciones de incertidumbre, lo que es esencial para comprender la teoría de precios en finanzas modernas.

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