Wie man Benders-Zerlegung bei der Optimierung von Energiesystemen anwendet

Die Benders-Zerlegung ist eine bewährte Methode zur Lösung komplexer Optimierungsprobleme, bei denen eine problematische Variable als "komplizierend" betrachtet wird. Diese Methode ist besonders nützlich, wenn das Problem eine natürliche Zerlegbarkeit aufweist, bei der die Problemstruktur in Master- und Subprobleme unterteilt werden kann. Dies ist in vielen Fällen von praktischer Bedeutung, insbesondere in der Optimierung von Energiesystemen, die sowohl diskrete als auch kontinuierliche Variablen beinhalten. Ein solcher Ansatz ermöglicht eine effiziente Handhabung von Problemen mit großen Dimensionen, da die komplizierenden Variablen in kleinere, handhabbare Subprobleme zerlegt werden.

Die grundlegende Form eines typischen Optimierungsproblems in diesem Kontext umfasst sowohl lineare als auch nichtlineare Gleichungen, die die Stromproduktion, den Energieverbrauch und die Netzlasten über mehrere Zeitperioden hinweg modellieren. Die Entscheidung, ob ein Generator in Betrieb ist oder nicht, kann als binäre Variable dargestellt werden, während die erzeugte Leistung durch kontinuierliche Variablen beschrieben wird. Diese Struktur ist ideal für die Anwendung der Benders-Zerlegung, da die binären Variablen als "komplizierende" Elemente fungieren, die das Gesamtsystemproblem schwer lösbar machen.

Das Masterproblem selbst enthält typischerweise eine Zielfunktion, die Produktionskosten, Startkosten, Stillstandskosten und die Kapazität der Generatoren berücksichtigt. Neben der Zielfunktion gibt es verschiedene Einschränkungen, die sicherstellen, dass die Stromerzeugung den Anforderungen des Systems entspricht und die Netzbalancen eingehalten werden. Ein weiterer wichtiger Aspekt sind die Beschränkungen, die den Betrieb der Übertragungsleitungen und die Spannungseigenschaften des Systems regeln. Zu diesen gehören auch die nichtlinearen Beziehungen, die die Spannung in den Knotenpunkten des Netzes definieren.

Ein Beispiel für die Formulierung eines Masterproblems könnte die Minimierung der Kosten für den Betrieb eines Energiesystems unter Berücksichtigung von Start- und Stillstandskosten der Generatoren sein, wobei die zugehörigen binären Variablen den Betrieb eines Generators steuern. Zusätzlich zu den Produktionskosten könnten auch regulatorische Vorgaben und technische Einschränkungen wie Rampenlimits und Reservesysteme einbezogen werden.

Benders-Schnitte entstehen aus den Lösungen des Subproblems, das ohne die komplizierenden Variablen (z. B. die Generatorstatus-Variablen) gelöst wird. Diese Schnitte werden dann zurück ins Masterproblem eingeführt, um das Optimierungsproblem weiter zu verfeinern. Die Iteration setzt sich fort, bis eine Lösung konvergiert.

Allerdings gibt es auch Herausforderungen bei der Anwendung der Benders-Zerlegung. Eine der Schwierigkeiten ist die Frage der Effizienz der Iterationen. Zu Beginn des Prozesses kann die Approximation der parametrisierenden Funktion im Masterproblem ungenau sein, was zu unproduktiven Iterationen führt. In diesem Fall können die Benders-Schnitte weit von der tatsächlichen Lösung entfernt sein, was die Konvergenz verlangsamt und die Anzahl der notwendigen Iterationen erhöht.

Eine solche Erweiterung ist die Verwendung von Multi-Cut-Benders-Zerlegung. Anstatt bei jeder Iteration nur einen Schnitt zu erzeugen, können mehrere Schnitte gleichzeitig generiert werden, um die parametrisierende Funktion im Masterproblem schneller zu verfeinern. Diese Methode kann die Effizienz der Iterationen deutlich verbessern, da sie eine genauere Annäherung an die Lösung ermöglicht und die Konvergenz beschleunigt.

Eine andere Möglichkeit zur Verbesserung der Effizienz besteht darin, den Rechenaufwand durch geeignete Modellierungsstrategien und -techniken zu reduzieren. Dazu gehört die Nutzung von sparsamen Matrizenoperationen, parallelisierten Berechnungen und der Einsatz von Heuristiken zur Reduzierung der Suchzeit.

Ein weiterer wichtiger Punkt bei der Anwendung der Benders-Zerlegung in Energiesystemen ist das Verständnis der physischen und ökonomischen Interaktionen innerhalb des Systems. Die Leistung der Generatoren ist nicht nur eine Frage der direkten Erzeugung, sondern hängt auch von den Netzstrukturen, der Systemstabilität und den Lastanforderungen ab. Diese Beziehungen müssen sorgfältig modelliert und in die Optimierung integriert werden, um realistische und praktikable Lösungen zu gewährleisten.

Was ist der Unterschied zwischen Lagrange-Relaxation und Optimierungsproblemen mit Lagrange-Decomposition?

In der Optimierungstheorie stehen verschiedene Algorithmen zur Verfügung, um komplexe Probleme effizient zu lösen. Einer der vielseitigsten Ansätze ist die Lagrange-Decomposition, bei der das ursprüngliche Problem in mehrere Teilprobleme zerlegt wird, die unabhängig voneinander gelöst werden können. Dies führt zu einer erheblichen Reduzierung der Komplexität und ermöglicht es, groß angelegte Optimierungsprobleme zu bearbeiten. Es gibt jedoch unterschiedliche Varianten dieses Ansatzes, wie die Lagrange-Relaxation und die Optimierungsbedingungen-Decomposition (OCD), die jeweils spezifische Vor- und Nachteile aufweisen.

Die Lagrange-Relaxation beginnt mit einem Optimierungsproblem, das sowohl lineare als auch nichtlineare Constraints enthält. Das Ziel dieser Methode ist es, die ursprünglichen Einschränkungen in die Zielfunktion des Problems einzuführen, indem die Lagrange-Multiplikatoren hinzugenommen werden. Dies führt zur Formulierung eines relaxed (gelockerten) Problems, bei dem die ursprünglichen Bedingungen durch die Multiplikatoren ersetzt werden. Jedoch hat die Lagrange-Relaxation die Schwäche, dass sie häufig nicht stabil und in Bezug auf die Berechnungen ineffizient ist, besonders bei komplexeren oder nicht-konvexen Problemen. Die Ergebnisse dieses Ansatzes können oft nicht die gewünschten Präzisionsanforderungen erfüllen.

Ein weiteres Verfahren, das unter die Lagrange-Decomposition fällt, ist die Optimierungsbedingungen-Decomposition (OCD). Diese Methode hat den Vorteil, dass sie keine zusätzlichen Strafterme benötigt und vollständig dezentralisiert arbeitet. Das bedeutet, dass bei jedem Schritt die Multiplikatoren ohne zentrale Steuerung und ohne die Notwendigkeit einer globalen Optimierung aktualisiert werden können. Dies macht den Algorithmus besonders geeignet für verteilte oder große Systeme, in denen eine Zentralisierung der Berechnungen unpraktisch oder ineffizient wäre. Beim OCD wird jedes Teilproblem unabhängig voneinander gelöst, wobei die Lösung des einen Teilproblems die Iteration des anderen beeinflusst. Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass das OCD-Verfahren nicht immer eine exakte Lösung liefert. Stattdessen wird eine schnelle Annäherung erreicht, die mit jeder Iteration verfeinert wird.

Die Konvergenz dieser Verfahren hängt wesentlich von der Struktur des ursprünglichen Problems ab. Insbesondere bei Problemen, die fast separabel sind – das heißt, bei denen die Kopplung zwischen den Subproblemen relativ gering ist – bieten diese Algorithmen eine hervorragende Leistung. Wenn die Kopplung jedoch stark genug ist, kann die Konvergenz problematisch werden. Daher ist es entscheidend, den Grad der Kopplung zwischen den Subproblemen genau zu messen, um die Effizienz und Genauigkeit der Lösung zu gewährleisten.

Der OCD-Algorithmus ist dabei besonders interessant, weil er die Notwendigkeit für eine vollständige Lösung des Teilproblems minimiert. Dies bedeutet, dass der Algorithmus in vielen realen Anwendungen, bei denen Rechenressourcen begrenzt sind, effizienter sein kann. Es genügt, in jeder Iteration eine Annäherung an die Lösung zu finden, was erhebliche Rechenzeiten spart, während die Genauigkeit trotzdem schrittweise verbessert wird.

Schließlich muss beachtet werden, dass die Wahl des richtigen Algorithmus stark vom konkreten Problem abhängt. Während die Lagrange-Relaxation in vielen Fällen eine schnelle und einfache Lösung bietet, ist sie nicht immer die stabilste oder genaueste. Die Augmentierte Lagrange-Decomposition und das OCD-Verfahren bieten mehr Kontrolle und Stabilität, erfordern jedoch eine genauere Analyse der Kopplung zwischen den Teilproblemen.

Die genaue Wahl des Algorithmus und die Ausbalancierung zwischen Effizienz und Genauigkeit spielen eine zentrale Rolle bei der erfolgreichen Anwendung von Lagrange-Decomposition-Methoden in der Optimierung.

Wie Augmentierte Strafen und Benders Zerlegung die Optimierung von Stromsystemen verbessern können

In der praktischen Anwendung von Optimierungsalgorithmen zur Lösung komplexer Probleme, wie etwa bei der Betriebseffizienz von Stromsystemen, werden oft Herausforderungen wie Kopplungsrestriktionen und unregelmäßige oder diskontinuierliche Problemstellungen gemeistert. Eine besonders vielversprechende Methode, um diese Herausforderungen zu adressieren, ist der Einsatz von Algorithmen, die augmentierte Strafterm-Strukturen in ihr Optimierungsrahmenwerk integrieren. Diese Strategien ermöglichen eine effizientere Handhabung von Kopplungsbedingungen und erweitern die Flexibilität in realen Anwendungsbereichen.

Ein solcher Algorithmus, der ALD-Algorithmus, hat sich als äußerst robust erwiesen. Durch die Möglichkeit, Augmentierungen in das Optimierungsmodell einzuführen, kann er selbst dann erfolgreich agieren, wenn klassische Ansätze an ihre Grenzen stoßen. Die Fähigkeit des ALD-Algorithmus, mit unregelmäßigen oder diskontinuierlichen Optimierungsproblemen umzugehen, macht ihn besonders wertvoll in Bereichen wie der Stromnetzbetreibung, wo die typischen Annahmen über lineare oder glatte Funktionen oft nicht zutreffen.

Trotz seiner Vielseitigkeit zeigt der ALD-Algorithmus jedoch auch einige signifikante Einschränkungen. Die Abhängigkeit von Multiplikatoraktualisierungen stellt eine der größten Herausforderungen dar, da diese sorgfältig abgestimmt werden müssen, um eine konvergente Lösung zu gewährleisten. Bei unzureichender Wahl der Parameter kann es zu langsamen Fortschritten oder suboptimalen Ergebnissen kommen. Dies betrifft vor allem die Feinabstimmung von Parametern, was in praktischen Szenarien eine zusätzliche Komplexität darstellt.

Ein weiterer Schwachpunkt des ALD-Algorithmus ist das Fehlen einer historischen Informationsbehandlung über Multiplikatoren oder replizierende Variablen. Obwohl dieser Ansatz die Berechnungs-Komplexität reduziert, wird durch das Fehlen einer langfristigen Erinnerung an vergangene Iterationen die Möglichkeit genommen, aus früheren Berechnungen zu lernen und so die Effizienz des Algorithmus zu steigern. Eine Verbesserung dieses Aspekts könnte die Leistungsfähigkeit des Algorithmus erheblich steigern, indem die Möglichkeit geschaffen wird, durch adaptive Anpassung von Parametern oder die Einführung von Gedächtnismechanismen die Konvergenzgeschwindigkeit und Skalierbarkeit zu optimieren.

Ein konkretes Beispiel für die Anwendung eines solchen Ansatzes findet sich in der Benders-Zerlegung, die insbesondere bei der Lösung komplexer Gleichgewichtssysteme in der Energiewirtschaft eine Rolle spielt. Diese Methode trennt das Problem in Master- und Subprobleme, was eine effiziente Handhabung von Unsicherheiten und Variabilitäten ermöglicht. Durch den Einsatz der Benders-Zerlegung können große, aufeinander abgestimmte Optimierungsprobleme in handhabbare Teilprobleme unterteilt werden, was die Berechnung effizienter gestaltet und die Systemkomplexität reduziert.

In der Praxis zeigt sich, dass die Benders-Zerlegung besonders bei großen, dezentralisierten Systemen wie Stromnetzbetreibungen von Nutzen ist. Hier werden Störungen oder Ausfälle einzelner Netzkomponenten berücksichtigt, was es ermöglicht, das System zu optimieren, ohne die gesamte Struktur neu berechnen zu müssen. Das führt zu einer signifikanten Reduktion der Rechenzeit, während gleichzeitig die Genauigkeit der Ergebnisse gewahrt bleibt.

Eine mögliche Erweiterung des ALD-Algorithmus wäre die Implementierung von adaptiven Tuning-Mechanismen, die die Parameter dynamisch anpassen können, basierend auf der aktuellen Iteration und den Fortschritten im Optimierungsprozess. Auch eine stärkere Integration von historischen Daten oder die Schaffung eines Mechanismus zur Rückführung von Iterationen könnte helfen, die Konvergenz zu beschleunigen und suboptimale Lösungen zu vermeiden.

Ein weiterer Bereich, der weiter untersucht werden könnte, ist die Möglichkeit der Parallelisierung der Berechnungen, insbesondere in großen Systemen, in denen viele Parameter gleichzeitig optimiert werden müssen. Hier könnten moderne parallele Rechenmethoden und High-Performance-Computing-Plattformen zum Einsatz kommen, um die Berechnungen weiter zu beschleunigen und die Anwendungsreichweite zu erweitern.

Wie man Benders-Zerlegung zur Lösung von SCUC-Problemen in der Energiewirtschaft anwendet

Die Modellierung und Optimierung von Energiesystemen sind zunehmend von zentraler Bedeutung, um den Betrieb und die Integration erneuerbarer Energien effizient zu gestalten. Eine besonders leistungsfähige Technik für die Lösung komplexer Optimierungsprobleme ist die Benders-Zerlegung, welche in der Praxis des sogenannten Security-Constrained Unit Commitment (SCUC) Anwendung findet. Diese Methode trennt das ursprüngliche Problem in ein Masterproblem und mehrere Subprobleme, was die Berechnungseffizienz erheblich verbessert.

Das SCUC-Problem stellt sicher, dass die Generierungseinheiten eines Kraftwerks optimiert werden, während gleichzeitig die Betriebssicherheit des gesamten Stromnetzes beachtet wird. Dabei müssen sowohl die Lastanforderungen als auch mögliche Störungen durch die Netzstruktur (Contingencies) berücksichtigt werden. Ein entscheidender Aspekt dieser Problematik ist die sogenannte Rampenbegrenzung der Generatoren. Diese Einschränkungen stellen sicher, dass die Leistung eines Generators innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens auf- oder abgeregelt wird, um plötzliche Schwankungen zu vermeiden, die die Netzstabilität gefährden könnten.

Im Pyomo-Modell, das häufig zur Formulierung solcher Probleme genutzt wird, sind die Variablen und Parameter des Modells entscheidend. Das Modell verwendet beispielsweise Variablen für die Erzeugungsleistung (Pg) und die Spannung an den Generatoren (v), die über mehrere Zeitperioden hinweg optimiert werden müssen. Jede Generatorleistung und jede Spannung in jeder Periode wird in die Zielfunktion und die entsprechenden Nebenbedingungen aufgenommen. Besonders wichtig ist, dass bei der Lösung solcher Modelle auch die Auswirkungen von Notfallszenarien (Contingencies) berücksichtigt werden müssen.

In Bezug auf die Benders-Zerlegung wird das Problem in zwei Hauptkomponenten unterteilt: das Masterproblem und die Subprobleme. Das Masterproblem umfasst die allgemeinen Planungsentscheidungen, während die Subprobleme die spezifischen Szenarien unter verschiedenen Kontingenzen (z. B. Netzfehler oder Ausfälle von Generatoren) behandeln. Die Benders-Schnitte werden iterativ berechnet, wobei nach jeder Iteration die Lösung des Masterproblems angepasst wird, um die Kosten zu minimieren und gleichzeitig alle Einschränkungen zu wahren.

Ein kritischer Teil des Optimierungsprozesses ist die Definition der Randbedingungen, die die Grenzen der Erzeugung und die Netzbelastung betreffen. Dazu gehören unter anderem:

• Erzeugungsgrenzen: Jeder Generator hat eine Mindest- und Höchstleistung, die er erzeugen kann. Diese Grenzen müssen in den Optimierungsprozess integriert werden.

• Rampenbegrenzungen: Die Geschwindigkeit, mit der die Leistung eines Generators innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens erhöht oder verringert werden kann, stellt sicher, dass das Netz nicht überlastet wird.

• Kraftwerksstart- und Abschaltkosten: Diese Kosten müssen ebenfalls berücksichtigt werden, um die wirtschaftlichste Betriebsstrategie zu ermitteln.

Das Ziel des Modells ist es, die Gesamtkosten für die Stromerzeugung zu minimieren, wobei gleichzeitig eine zuverlässige Stromversorgung unter allen möglichen Szenarien gewährleistet werden muss. Diese Kostensummen beinhalten neben den direkten Erzeugungskosten auch die Kosten für die Netzstabilität und die Auswirkungen von Notfallszenarien, die durch sogenannte Slack-Variablen und deren Grenzen modelliert werden.

Die Lösung eines solchen Modells erfordert nicht nur ein tiefes Verständnis der mathematischen Modellierung von Energiesystemen, sondern auch die Fähigkeit, die Dynamik der Benders-Zerlegung richtig zu nutzen. Insbesondere ist es entscheidend, dass die Subprobleme effizient gelöst werden, um die Gesamtberechnungskosten zu minimieren. Eine schlechte Modellierung oder ungenügende Berücksichtigung von Randbedingungen kann zu suboptimalen Lösungen führen, die entweder zu höheren Betriebskosten oder zu Instabilität im Netz führen.

Wichtig ist auch, dass dieses Modell eine Iteration erfordert, um sich den besten Lösungskandidaten anzunähern. Zu Beginn wird der Optimierungsprozess mit einer initialen Schätzung der Generatorleistungen und Spannungen gestartet. Im Verlauf der Iterationen wird das Modell immer genauer, indem es die durch Benders generierten Schnitte einbezieht und die Masterproblemlösung entsprechend anpasst. Der iterative Prozess führt schließlich zu einer stabilen Lösung, die sowohl ökonomisch als auch sicherheitstechnisch optimal ist.

Zu den Herausforderungen bei der Anwendung der Benders-Zerlegung gehört die Handhabung der Subprobleme, die sehr stark von den zugehörigen Kontingenzen abhängen. Diese Subprobleme müssen für jede Kontingenz in jeder Zeitperiode gelöst werden, was zu einer erheblichen Rechenlast führen kann, insbesondere bei großen Netzen mit vielen Generatoren und Bussen. Um die Effizienz zu steigern, werden in der Praxis oft zusätzliche Techniken wie Parallelverarbeitung und heuristische Verfahren eingesetzt.

Die Anwendung der Benders-Zerlegung in der Praxis erfordert nicht nur die Anpassung der Modellierungsstrategie an die spezifischen Anforderungen des betrachteten Energiesystems, sondern auch ein tiefes Verständnis für die verschiedenen Einflussfaktoren und Unsicherheiten, die während des Betriebs auftreten können. Das Verständnis der Modellparameter, der Optimierungstechnik und der praktischen Implementierung von SCUC-Problemen wird dazu beitragen, das Potenzial dieser Methoden in der Energiewirtschaft voll auszuschöpfen.

Wie die Benders-Zerlegung zur Lösung von Sicherheitsbeschränkten Unit Commitment-Problemen beiträgt

Die Benders-Zerlegung ist eine effiziente Methode zur Lösung komplexer Optimierungsprobleme, die sich häufig in der Energiewirtschaft, insbesondere beim Sicherheitsbeschränkten Unit Commitment (SCUC), verwenden lässt. Diese Methode ermöglicht es, das ursprüngliche Problem in zwei kleinere und leichter lösbare Teilprobleme zu zerlegen: das Hauptproblem (Masterproblem) und das Subproblem. Indem man diese Teilprobleme iterativ löst, kann man schrittweise zu einer optimalen Lösung gelangen. Im Folgenden wird ein Beispiel aus der praktischen Anwendung der Benders-Zerlegung zur Lösung eines SCUC-Problems gegeben.

Das Masterproblem, das in jeder Iteration von Benders gelöst wird, umfasst die Festlegung der Einsatzpläne der Generatoren und die Zuordnung der Notfallressourcen unter Berücksichtigung von Unsicherheiten in den Netzkonditionen. Hierzu werden verschiedene Kontingenzen, also potenzielle Störungen im Netz, berücksichtigt. In jedem Schritt der Benders-Zerlegung wird ein Mastermodell erstellt, das die grundlegenden Entscheidungen über die Betriebskosten und -strategien der Generatoren umfasst. Ein zentraler Bestandteil ist die Berechnung der so genannten "Masterkosten", die sich aus den Betriebs- und Startkosten der Generatoren sowie den zusätzlichen Kosten für die Netzsicherheit zusammensetzen.

Die Berechnungen im Mastermodell umfassen unter anderem die Fixierung der Generatorleistungen (Pg), die Versorgungsspannungen (v) und die aktivierten Generatoren über die verschiedenen Zeitperioden. Ein Teil der Berechnungen konzentriert sich auch auf die Kosten für das Ab- und Anfahren von Generatoren, was für die Flexibilität und die Effizienz des Systems von entscheidender Bedeutung ist. Die Iteration des Modells ermöglicht es, immer genauere Lösungen zu finden, indem die Entscheidungsmuster für die Notfallkontingenzen (z. B. Generatorausfälle oder Lastspitzen) kontinuierlich angepasst werden.

Im Subproblem werden dann die detaillierteren Berechnungen für jede Kontingenz durchgeführt, um die genauen Auswirkungen dieser Störungen auf das System zu bestimmen. Es wird ein separates Optimierungsproblem für jede Kontingenz gelöst, um die Reaktionsfähigkeit des Systems auf die unterschiedlichen Szenarien zu testen. Das Subproblem berücksichtigt sowohl die zeitliche Entwicklung als auch die jeweiligen Systemgrenzen und Netzwirkungen.

Der Übergang zwischen Masterproblem und Subproblem in der Benders-Zerlegung erfolgt in der Regel durch sogenannte "Dualvariablen", die die Wechselwirkungen zwischen den beiden Problemteilen darstellen. Diese Dualvariablen werden nach jeder Iteration aktualisiert, sodass das Subproblem in der nächsten Runde auf den verbesserten Schätzungen basiert. Dadurch wird der Lösungsprozess zunehmend präziser, und die Optimierungsbedingungen werden immer näher an der optimalen Lösung ausgerichtet.

Ein wichtiger Aspekt der Benders-Zerlegung im Kontext von SCUC ist das Konzept der optimalen Schranken. Während der Lösung des Masterproblems und der Subprobleme werden fortlaufend obere und untere Schranken für die Gesamtkosten des Systems berechnet. Die Differenz zwischen diesen Schranken gibt die sogenannte "optimality gap" an, die anzeigt, wie nahe man der optimalen Lösung ist. Ziel ist es, diese Lücke zu minimieren, bis sie unter einem festgelegten Toleranzwert liegt, der den Abschluss des Optimierungsprozesses markiert.

Ein weiteres zentrales Element ist die Effizienz der Benders-Zerlegung. Auch wenn jeder Schritt der Iteration eine gewisse Rechenzeit in Anspruch nimmt, ermöglicht es das iterative Verfahren, sehr große und komplexe Probleme zu lösen, die andernfalls unlösbar wären. Die Methode wird häufig in großen Energieversorgungsnetzen eingesetzt, in denen die Zahl der Generatoren und Zeitperioden enorm sein kann. Indem man die Berechnungen in kleinere Teilprobleme zerlegt, wird die Lösungsfindung erheblich beschleunigt.

Die Praktikabilität der Benders-Zerlegung zeigt sich auch in der Möglichkeit, die Methode an unterschiedliche Varianten des SCUC-Problems anzupassen. Dies ermöglicht eine hohe Flexibilität bei der Modellierung von Szenarien mit unterschiedlichen Netzwerkkonfigurationen oder bei der Berücksichtigung von Energiespeichern und erneuerbaren Energien, die in modernen Stromnetzen zunehmend eine Rolle spielen. Die Methode lässt sich zudem so anpassen, dass sie auch auf andere Optimierungsprobleme in der Energiewirtschaft angewendet werden kann, wie etwa die Lastflussberechnung oder die langfristige Netzplanung.