Wie beschreibt die Goode–Wainwright-Darstellung die Szekeres-Lösungen in der relativistischen Kosmologie?

Die Goode–Wainwright-Darstellung stellt eine elegante und umfassende Parametrisierung der Szekeres-Lösungen dar, welche eine Verallgemeinerung der Friedmann-Modelle in der relativistischen Kosmologie bilden. Diese Darstellung erlaubt es, beide Subfamilien der Szekeres-Lösungen in einem einheitlichen Rahmen zu betrachten, wobei die Metrik in der Form

ds^2 = dt^2 - S^2 e^{2\nu}(dx^2 + dy^2) - H^2 W^2 dz^2

gegeben ist. Hierbei ist

S(t,z)

eine zentrale skalare Funktion, die sich über eine differenzielle Gleichung definiert, welche von einer Krümmungsfunktion

k

und einer Massfunktion

\mathcal{M}(z)

abhängt. Diese Funktionen ermöglichen die Beschreibung dynamischer, inhomogener Staubmodelle, die zeitlich expandieren oder kontrahieren können.

Die Funktionen $H$ , $A$ , $e^\nu$ , sowie die Parameter $\beta_+$ , $\beta_-$ sind räumlich abhängig und erlauben die Differenzierung zwischen den Subfamilien der Lösungen. Besonders auffällig ist, dass die Funktion $F$ , definiert als Linearkombination von zwei zeitabhängigen Lösungen $f_+$ und $f_-$ einer bestimmten linearen Differentialgleichung, eine Schlüsselrolle spielt. Diese Gleichung besitzt formal dieselbe Struktur wie diejenige, die in der linearen Dichtestörungs-Theorie um den Friedmann-Hintergrund erscheint, wenn das Störungsmodell ebenfalls aus Staub besteht.

Die Goode–Wainwright-Darstellung hebt hervor, dass es sich bei den beiden Subfamilien vor allem um Fälle unterscheidet, in denen die räumliche Ableitung von $\beta$ null oder nicht null ist. Im ersten Fall sind die Mass- und Bang-Zeitfunktionen konstant, was die Modelle näher an die klassischen Friedmann-Universen rückt, während im zweiten Fall räumliche Variationen erlaubt sind, was zu einer komplexeren und realistischeren Beschreibung von Kosmos-Strukturen führt.

Diese parametrische Form bringt zahlreiche Vorteile mit sich: Sie erlaubt nicht nur die Vereinheitlichung verschiedener Lösungen unter einem gemeinsamen Notationssystem, sondern erleichtert auch die Analyse der dynamischen Eigenschaften der Modelle. Zudem ist durch geeignete Wahl der Funktionen und Parameter die Rückkehr zu den Friedmann-Lösungen als Spezialfall garantiert, was die physikalische Interpretierbarkeit der Szekeres-Modelle stärkt.

Von besonderer Bedeutung ist das Verständnis, dass die Gleichung für $F$ linear ist und die Lösungen $f_+$ und $f_-$ zeitlich wachsend bzw. abklingend sind. Diese Eigenschaft erlaubt die Interpretation der Lösungen als Zusammensetzung von wachsenden und zerfallenden Dichtestörungen, was die Brücke zwischen nichtlinearen exakten Lösungen und der linearen Störungstheorie schlägt. Dennoch handelt es sich nur um eine formale Ähnlichkeit, da die Szekeres-Lösungen exakte, nichtlineare Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen sind, wohingegen die lineare Theorie nur eine Näherung beschreibt.

Wichtig ist auch die Rolle der Krümmungsfunktion $k$ , die mit Werten $0, \pm 1$ klassisch die geschlossene, flache oder offene Geometrie des Raumes beschreibt. In der Goode–Wainwright-Darstellung wird $k$ dynamisch als Funktion von $z$ mit entsprechender Skalierung durch die Funktion $\varphi(z)$ behandelt, was eine flexible Anpassung der Modellgeometrie entlang der Raumkoordinate ermöglicht.

Die Funktionen $a(z), b(z), c(z), d(z)$ müssen bestimmte algebraische Bedingungen erfüllen, um die Konsistenz der Metrik zu gewährleisten, und erlauben so eine räumlich variierende Verzerrung der Raumgeometrie. Die Skalierungsfunktion $W$ hängt ebenfalls von $k$ und einer Funktion $f(z)$ ab, deren Wahl den Grad der Inhomogenität kontrolliert.

Das Verständnis dieser Darstellungsweise ermöglicht es, die Szekeres-Modelle als ein mächtiges Instrument zur Beschreibung kosmologischer Inhomogenitäten zu nutzen, die weder symmetrisch noch homogen sein müssen, aber dennoch konsistente Lösungen der Feldgleichungen darstellen. Dabei wird sichtbar, dass die Rückkehr zur Friedmann-Lösung durch die Wahl der Parameter $\beta_+ = \beta_- = 0$ erfolgt, was die Goode–Wainwright-Darstellung als eine Art „Über-Parametrisierung“ begreifbar macht, die viele Modelle in einem Rahmen vereint.

Neben der mathematischen Eleganz ist es für das physikalische Verständnis essenziell, die Bedeutung der Funktionen $\mathcal{M}(z)$ , $T(z)$ (die Bang-Zeit), und der Variabilität von $S(t,z)$ zu erfassen. Die Funktion $\mathcal{M}(z)$ bestimmt die Masseverteilung entlang der Raumkoordinate $z$ , während $T(z)$ den lokalen Beginn der Expansion beschreibt. Unterschiede in $T(z)$ führen zu einer asynchronen „Big Bang“-Entstehung, was kosmologische Modelle mit variabler Entstehungszeit erlaubt.

Ferner ist zu beachten, dass die Modellfamilie, abhängig von der Wahl der Parameter, sowohl zukunftsgerichtete Expansionen als auch zeitlich rückwärts verlaufende Kontraktionen abdecken kann, was die physikalische Reichweite der Modelle erheblich erweitert. Besonders bei $k=0$ kann $\mathcal{M}$ durch geeignete Reskalierung auf Eins gesetzt werden, was die Vergleichbarkeit mit flachen Friedmann-Modellen erleichtert.

Ein weiteres wichtiges Verständnis ist die formale, aber nicht physikalische Übereinstimmung der Gleichung für $F$ mit der Gleichung für lineare Dichtestörungen. Dies bedeutet, dass trotz der ähnlichen mathematischen Struktur die Szekeres-Modelle nicht als einfache lineare Störungen des Friedmann-Hintergrunds betrachtet werden dürfen, sondern als eigenständige, nichtlineare Lösungen mit komplexen inhomogenen Strukturen.

Schließlich sind die zahlreichen Funktionalabhängigkeiten und die Bedingungen an sie zentral, um die Komplexität der kosmologischen Modelle zu fassen und präzise physikalische Aussagen treffen zu können. Die Freiheit in der Wahl der Funktionen bietet Raum für vielfältige physikalische Szenarien, von einfachen homogenen Universen bis hin zu komplexen, anisotropen und inhomogenen Kosmen.

Die Goode–Wainwright-Darstellung erlaubt somit eine tiefgehende Analyse der Szekeres-Lösungen und schafft eine Brücke zwischen der theoretischen Mathematik der Einsteinschen Feldgleichungen und der physikalischen Interpretation in der Kosmologie. Das Verständnis dieser Darstellung ist fundamental, um komplexe inhomogene kosmologische Modelle zu konstruieren und deren Dynamik zu interpretieren.

Wie sieht die vollständige Raumzeitstruktur im extremen Reissner–Nordström-Fall aus?

Im extremen Fall des Reissner–Nordström-Metrik, bei dem die elektrische Ladung und die Masse eines Körpers gerade so aufeinander abgestimmt sind, dass $e^2 = m^2$ gilt, entsteht eine qualitativ andere Raumzeitstruktur als im Fall $e^2 < m^2$ . Diese Besonderheit liegt in der radikalen Veränderung des globalen kausalen Aufbaus und der Einbettbarkeit der Raumzeitabschnitte in flache Räume.

Die Metrik in Kugelkoordinaten kann in diesem Fall geschrieben werden als:

ds^2 = \left(1 - \frac{m}{r}\right)^2 dt^2 - \left(1 - \frac{m}{r}\right)^{ -2} dr^2 - r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\varphi^2)

Das Schlüsselmerkmal dieser Metrik ist, dass der Abstand in radialer Richtung zur Koordinatensingularität bei $r = m$ unendlich ist. Dies unterscheidet sich von nicht-extremen Fällen, bei denen der Abstand zur spuriösen Singularität (also einem Koordinatenartefakt) endlich bleibt. Eine explizite Rechnung mit der entsprechenden Längenelement-Funktion zeigt, dass der Abstand von jedem Punkt mit $r \neq m$ zur Hypersphäre $r = m$ divergiert.

Zur Beschreibung der Raumzeitstruktur werden Einbettungen in flache 3-Räume verwendet. Die Einbettung der Oberfläche $\{t = \text{const}, \vartheta = \pi/2\}$ erfolgt abhängig von der Region auf unterschiedliche Weise. Für $r > m$ lässt sich diese Fläche in einen gewöhnlichen euklidischen Raum einbetten, wobei die Einbettungsfunktion divergiert, wenn $r \to m$ oder $r \to \infty$ . Die Form ähnelt einem unendlich tiefen Trichter, der asymptotisch an einen Zylinder mit Radius $m$ anschmiegt.

Für $r < m$ , insbesondere für $r \leq m/2$ , ist eine Einbettung in einen euklidischen Raum nicht mehr möglich. Stattdessen wird hier ein flacher Raum mit indefinitem Metrik-Signatur verwendet. Die zugehörige Einbettungsfunktion besitzt eine endliche Grenze bei $r = 0$ , was auf eine endliche „Tiefe“ des eingebetteten Bereichs in diesem pseudo-euklidischen Raum hinweist.

Diese Unterscheidung in der Einbettbarkeit reflektiert direkt die geometrischen Unterschiede in der Struktur der Raumzeit. Der Übergang bei $r = m$ markiert nicht nur eine Koordinatensingularität, sondern auch eine Grenze der Einbettbarkeit in einen positiv-definiten Raum.

Zur weiteren Analyse der Raumzeitstruktur werden nullartige Koordinaten eingeführt:

p = t + \int \zeta(r) dr, \quad q = t - \int \zeta(r) dr,

mit

\zeta(r) = \frac{r - m - m^2/(r - m)}{(r - m)^2} = \frac{1}{r - m} - \frac{m}{(r - m)^2} + \ldots

Diese Transformation ermöglicht es, die scheinbaren Singularitäten bei $r = m$ zu durchdringen und eine vollständige globale Beschreibung der Raumzeit zu entwickeln. Die daraus resultierende Metrik in den Koordinaten $(p, q)$ lautet:

ds^2 = \frac{r - m}{r} dp\,dq - r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta d\varphi^2)

Die Flächen $r = m$ entsprechen nullartigen Geodäten, welche als Linien mit konstantem $p$ oder $q$ dargestellt werden können. Diese Linien markieren den Ereignishorizont. Die wahre Singularität bei $r = 0$ ist zeitartig, während die Unendlichkeit $r \to \infty$ ebenfalls eine nullartige Struktur besitzt.

Ein besonders wirkungsvoller Schritt besteht in der Einführung neuer Koordinaten durch die Tangensfunktion:

p = \tan P, \quad q = \tan Q

Dadurch werden die unendli

Wie die Krümmung die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen beeinflusst

Die Maxwell-Gleichungen in ihrer ersten Ordnung zeigen, dass die Terme der ersten Ordnung als Quellen für die Terme der Nullordnung wirken. Ein Vergleich dieses Modells mit den Maxwell-Gleichungen im Vakuum verdeutlicht, dass elektromagnetische Wellen nicht direkt ins Vakuum eindringen. Vielmehr wirken die höheren Ordnungs-Terme wie ein Medium mit Strömen und Ladungen, in dem die Nullordnungswelle gestreut werden kann. Ebenso beeinflussen die Terme der ersten Ordnung die höheren Terme, und dieser Effekt setzt sich fort. Dies stellt den Einfluss der Krümmung auf die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen dar.

In einem flachen Raum in kartesischen Koordinaten ist ein konstanter Vektor $B_0^{\alpha \beta}$ mit allen $B_i^{\alpha \beta} \equiv 0$ für $i \geq 1$ eine Lösung der entsprechenden Gleichungen. Wenn wir annehmen, dass das Modell konsistent ist (obwohl ein formaler Beweis für diese Annahme bislang nicht vorliegt) und dass die "Schwanz"-Terme klein bleiben, können wir die Konsequenzen der relevanten Gleichungen untersuchen. Eine der wichtigsten Gleichungen ist:

k^\alpha B_0^{\beta \gamma} + k^\beta B_0^{\gamma \alpha} + k^\gamma B_0^{\alpha \beta} = 0.

Diese Gleichung, die mit der Null des Rotationstensors des Vektorfeldes $k^\alpha$ im Einklang steht, zeigt, dass die geometrische Optik einen allgemeineren Ansatz bietet. Sie besagt, dass Wellenbeschreibungen keine rotierenden Strahlenkongruenzen zulassen. Dies ist ein bedeutsamer Punkt, da es die fundamentale Eigenschaft der Nullgeodäten in einem gekrümmten Raum betrifft: Der Wellenvektor einer elektromagnetischen Strahlung ist ein Nullvektor, was bedeutet, dass der Strahl geodätisch ist.

Die Weiterführung dieser Überlegungen führt zu der Gleichung:

k^\alpha k_\alpha = 0.

Dies bedeutet, dass die Parametrisierung der Nullgeodäte affine ist, und die Ausbreitung der Welle erfolgt entlang einer geodätischen Linie des Raum-Zeit-Kontinuums. Wenn wir nun die Gleichung mit den gegebenen Tensoren weiter untersuchen, ergibt sich die Struktur des elektromagnetischen Energie-Momentum-Tensors:

T^{\alpha \beta} = \frac{\mu}{4\pi} k^\alpha k^\beta + O(\epsilon),

was bis zu den linearen Termen in $\epsilon$ einem perfekten Fluid entspricht, dessen 4-Geschwindigkeit mit dem Wellenvektor $k^\alpha$ übereinstimmt. Da der Wellenvektor null ist, entspricht dies einem Photonstrom. Diese Erkenntnis ist grundlegend für das Verständnis der Energieübertragung in gekrümmten Räumen und hat direkte Auswirkungen auf die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in der Kosmologie.

Ein weiteres wichtiges Konzept, das sich aus dieser Theorie ableitet, ist das Phänomen des Rotverschiebungseffekts. Ein Beobachter, der sich mit der 4-Geschwindigkeit $u^\alpha$ bewegt, misst die Änderung der Phase der Lichtwelle. Innerhalb eines kleinen Zeitintervalls $\Delta s$ ändert sich die Phase der Welle gemäß:

\Delta S = k^\alpha u_\alpha \Delta s.

Für zwei verschiedene Beobachter, die sich mit unterschiedlichen 4-Geschwindigkeiten $u^\alpha$ und $u^{\alpha_1}$ bewegen, wird die gleiche Phasenänderung $\Delta S$ in unterschiedlichen Zeitintervallen gemessen. Die Formel für den kosmologischen Rotverschiebungseffekt kann dann wie folgt geschrieben werden:

z = \frac{\lambda_o - \lambda_e}{\lambda_e} = \frac{\nu_e}{\nu_o} - 1,

wobei $\lambda_e$ und $\lambda_o$ die Wellenlängen am Ort der Emission und der Beobachtung sind. Dies beschreibt den rotverschobenen Zustand der Welle, der ohne Bezug auf ein bestimmtes kosmologisches Modell gewonnen wurde.

Für kleine Rotverschiebungen, bei denen $z \ll 1$ , lässt sich eine vereinfachte Version der Gleichung ableiten, die in verschiedenen kosmologischen Modellen verwendet werden kann:

z = \sigma_{\alpha \beta} n^\alpha n^\beta + \theta + n^\alpha \dot{u}_\alpha \delta \ell.

Diese Gleichung zeigt, dass für kleine Rotverschiebungen der Effekt der Rotation vernachlässigbar ist. Sie beschreibt die Anisotropie des Rotverschiebungseffekts, wobei die Terme $\sigma_{\alpha \beta}$ und $\dot{u}_\alpha$ eine wesentliche Rolle spielen, wenn sie von null abweichen. Für isotrope Rotverschiebung muss jedoch $\sigma_{\alpha \beta} = 0$ und $\dot{u}_\alpha = 0$ sein.

Ein weiterer wichtiger Aspekt, der hier betrachtet werden muss, betrifft die optischen Tensoren. Der geometrische Kontext der Nullgeodäten erfordert eine Definition von Projektions-Tensoren, die auf einer Oberfläche orthogonal zu beiden Vektoren $k^\alpha$ und $\ell^\alpha$ basieren. Diese Tensoren sind entscheidend für die genaue Bestimmung der Geometrie des Raumes und für die korrekte Modellierung der Ausbreitung von Lichtstrahlen.

Die gewonnenen Gleichungen und Tensoren bieten eine präzise Beschreibung der elektromagnetischen Wellen in gekrümmten Räumen und sind von entscheidender Bedeutung für die relativistische Kosmologie. Der Einfluss der Krümmung auf die Wellenpropagation ist nicht nur für die theoretische Physik, sondern auch für praktische Anwendungen in der Astrophysik und Kosmologie von zentraler Bedeutung.

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