Was ist die Bedeutung des Massendipols in den quasi-sphärischen Szekeres-Modellen?

In der Klasse der quasi-sphärischen Szekeres-Lösungen tritt eine bemerkenswerte Eigenschaft auf: die Materieverteilung auf Flächen konstanter kosmologischer Zeit und radialer Koordinate weist im Allgemeinen keinen perfekten sphärischen Symmetriecharakter auf. Vielmehr ergibt sich eine Überlagerung eines Monopols mit einem Dipolmoment – eine Struktur, die zuerst von Szekeres (1975) erkannt und später durch de Souza (1985) präzise analysiert wurde. Diese Dipolstruktur ist kein Artefakt spezieller Koordinatenwahl, sondern eine fundamentale Eigenschaft der inhomogenen Geometrie.

Der zentrale Ansatz besteht darin, die Energiedichtefunktion ϵ in zwei Anteile zu zerlegen: einen sphärisch symmetrischen Teil ϵ_s, abhängig nur von der kosmologischen Zeit t und der radialen Koordinate z, sowie einen restlichen nicht-symmetrischen Beitrag Δϵ, der zusätzlich von den transversalen Koordinaten x und y abhängt. Diese Zerlegung ist a priori nicht eindeutig, da unendlich viele Möglichkeiten existieren, sie durch geeignete Wahl einer Hilfsfunktion H(t, z) zu definieren. De Souza gelang jedoch eine kanonische und physikalisch bedeutungsvolle Wahl dieser Funktion, wodurch eine eindeutige Trennung erreicht wird.

Nach Umformung des Dichteausdrucks durch Hinzufügen und Abziehen von H(t, z)/Φ² erhält man für die Dichte ϵ den Ausdruck ϵ = ϵ_s + Δϵ, wobei die Terme durch Gleichungen spezifiziert werden, in denen H sowie seine Ableitungen erscheinen. Um die Geometrie dieser Dipolstruktur sichtbar zu machen, werden die transversalen Koordinaten in sphärisch-polare Koordinaten transformiert, wobei die Sphäre im Tangentialpunkt (x = 0, y = 0) lokalisiert wird. Daraus ergibt sich eine explizite Form von ℰ, einer Hilfsgröße, die in der Metrikstruktur der Szekeres-Modelle entscheidend ist.

Die Nullstelle des Dipolanteils Δϵ = 0 beschreibt eine Fläche H₁ in der Raumzeit, die durch eine Gleichung unabhängig von der Zeit t definiert ist. Diese Fläche durchdringt jede Sphäre konstanter t und z entlang eines Kreises. Der Schnitt dieser Fläche mit einer Sphäre ist stets ein Kreis und niemals ein einzelner Punkt, außer im Spezialfall perfekter sphärischer Symmetrie – was exakt dann der Fall ist, wenn die Ableitungen P_z, Q_z und S_z simultan verschwinden. Dann verschwindet der Dipolanteil vollständig, und die Lösung reduziert sich auf das bekannte Friedmann-Modell homogener Kosmologie.

Die Lage und Orientierung der Dipolachse ist nicht global konstant, sondern variiert von Sphäre zu Sphäre. Jede Sphäre hat ihre eigene Dipolstruktur mit einer charakteristischen Richtung, was eine globale Analyse komplex macht. Diese Eigenschaft macht die quasi-sphärischen Szekeres-Modelle besonders geeignet, um kosmologische Strukturen wie Filamente oder Leerräume modellhaft darzustellen, ohne dass dabei Singularitäten oder künstliche Diskontinuitäten eingeführt werden müssen.

Ein weiteres zentrales Resultat ist die Bedingung für das Bestehen der Dipolstruktur, die durch eine Ungleichung formuliert wird, welche die Ableitungen der Szekeres-Funktionen miteinander verknüpft. Diese Ungleichung ist immer erfüllt, solange wenigstens eine der Funktionen P, Q oder S inhomogen ist, also eine z-Ableitung ungleich null besitzt. Nur im degenerierten Fall, in dem alle Ableitungen verschwinden, verschwindet auch die Dipolkomponente.

Die Nullfläche Δϵ = 0 trennt Regionen unterschiedlicher Dichtestruktur. Das Vorzeichenwechseln von Δϵ beim Überqueren dieser Fläche bedeutet, dass sich die Richtung des Dipols kehrt – eine Charakteristik, die in klassischen sphärisch symmetrischen Modellen vollständig fehlt. Diese signifikante räumliche Variation der Dichte auf jeder Zeitscheibe bedeutet, dass der Begriff der "zentralen Masse" lokal nicht mehr sinnvoll ist – eine der radikaleren Implikationen der Szekeres-Geometrien.

Abschließend ist festzuhalten, dass die Trennung von ϵ in einen sphärischen und einen Dipolanteil eine nichttriviale geometrische und physikalische Bedeutung hat. Sie erlaubt es, die komplexe Inhomogenität realistisch zu erfassen und präzise mathematisch zu beschreiben. Dabei tritt eine überraschende Eigenschaft auf: obwohl die Dipolstruktur global ist, ist sie lokal auf jeder Sphäre verschieden orientiert. Dies stellt eine bemerkenswerte Abweichung von klassischen Modellen wie dem Lemaître-Tolman-Dust-Modell dar.

Die analysierte Eigenschaft der Materieverteilung ist nicht nur eine mathematische Feinheit, sondern von zentraler Bedeutung für das Verständnis realer kosmologischer Strukturen. Gerade weil die Dipolstruktur in der Dichte explizit geometrisch greifbar ist, eröffnet sich ein Weg zu einer physikalisch fundierten Beschreibung anisotroper, dynamischer Inhomogenitäten im Universum.

Wie können Koordinatentransformationen zur Vereinfachung sphärisch symmetrischer metrischer Tensoren genutzt werden?

Um zu klären, wann eine Transformation möglich ist, die β̃ = 0 und δ̃ = −r′² erfüllt, wird die Funktion r′ in Abhängigkeit von δ, F und G betrachtet. Daraus resultieren zwei wesentliche Gleichungen für die partiellen Ableitungen von F und G. Daraus ergeben sich verschiedene Fälle, je nachdem, ob die partiellen Ableitungen von δ nach G und F verschwinden oder nicht. Dabei wird klar, dass die Möglichkeit, δ̃ = −r′² zu erreichen, davon abhängt, ob der Vektor der partiellen Ableitungen δ,α raumartig, zeitartig oder lichtartig ist.

Im Fall, dass δ,α raumartig ist, lässt sich δ̃ = −r′² erfüllen (Lemma 14.1). Ist δ,α zeitartig, so kann man die Koordinaten so wählen, dass β̃ = 0 und δ̃ = −t′² gilt (Lemma 14.2). Für den lichtartigen Fall (Lemma 14.3) ist eine gleichzeitige Erfüllung von β̃ = 0 und δ̃ = −r′² nicht möglich, allerdings kann β̃ = 0 mit γ̃ = 0 kombiniert werden. Falls δ konstant ist, ist keine weitere Bedingung auf δ̃ möglich (Fall IV).

Diese unterschiedlichen Fälle führen auf physikalisch und geometrisch verschiedene Regionen der Raumzeit, bekannt als R- und T-Regionen nach Novikov. Während die meisten Lehrbücher den zeitartigen Fall (II) ignorieren, ist er insbesondere für die Erweiterung des Schwarzschildmanifolds relevant. Die Fälle III und IV sind ebenfalls von Bedeutung, weil sie zu unterschiedlichen physikalischen Lösungen führen, die etwa durch die Einstein–Maxwell-Gleichungen beschrieben werden.

Im Kontext der Symmetrievererbung in den Einsteinschen Gleichungen stellt sich die Frage, wie sich die Quellen, repräsentiert durch den Energie-Impuls-Tensor Tαβ, gegenüber den Symmetrien der Metrik verhalten. Für ein perfektes Fluid vererbt Tαβ direkt die Symmetrien der Metrik, was bedeutet, dass materielle Größen wie Dichte, Druck und Geschwindigkeitsfeld ebenfalls symmetrisch bleiben. Bei elektromagnetischen Feldern verhält sich dies differenzierter: Der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes ist zwar symmetrieerhaltend, das elektromagnetische Feld selbst muss dies jedoch nicht sein. Es existieren Beispiele, bei denen die Feldstärke Fμν nicht unter allen Isometrien invariant ist, obwohl Tαβ es ist. Ein vollständiger Symmetrieerhalt des elektromagnetischen Feldes folgt nur, wenn Tαβ unter der ganzen Rotationsgruppe O(3) invariant ist.

Diese Differenzierungen sind für die Lösung der Einsteinschen Gleichungen mit elektromagnetischen Quellen von großer Bedeutung. Insbesondere im Vakuum mit sphärischer Symmetrie zeigt sich, dass nur bestimmte Komponenten des elektromagnetischen Feldstärketensors Fαβ nicht verschwindend sein können, was aus der Antisymmetrie und den Symmetrieeigenschaften folgt. Nur F01 und F23 bleiben übrig, was physikalisch der radiale elektrische und der magnetische Monopolanteil ist.