Die grundlegenden Eigenschaften der Kerr-Metrik

Die Kerr-Metrik, die erstmals 1963 von Kerr formuliert wurde, beschreibt das Gravitationsfeld eines stationären, rotierenden Körpers, wie zum Beispiel eines rotierenden Schwarzen Lochs. Diese Lösung der Einstein-Gleichungen stellt die einfachste exakte Lösung für ein solches Feld dar und hat daher eine besondere Bedeutung in der Astrophysik und der Relativitätstheorie. Sie bildet die Grundlage zahlreicher Studien zu den geometrischen Aspekten von Schwarzen Löchern und spielt eine zentrale Rolle im Verständnis der Dynamik solcher Objekte. Die Metrik beschreibt nicht nur das Gravitationsfeld, sondern auch die relativistische Raumzeitgeometrie um ein rotierendes schwarzes Loch und bietet eine allgemeine Form, die sich durch ihre hohe Symmetrie und elegante Struktur auszeichnet.

Die Komponenten der Metrik, insbesondere die Zeitkomponente $g_{00}$, zeigen, dass der Parameter $m$ mit der Masse des rotierenden Körpers verknüpft ist, während der Parameter $a$ die Rotationsgeschwindigkeit beschreibt. Für einen sehr großen Abstand $r$ wird die Metrik flach, und die Beiträge des Kerr-Schild-Terms sind im Vergleich zu den Lorentz-Komponenten vernachlässigbar.

Der zentrale Aspekt der Kerr-Metrik ist jedoch die Singularität, die im sogenannten "Ring-Singularity" auftritt. Dieser Ring, der sich in der Ebene $z = 0$ bei $r = a$ befindet, stellt einen Bereich der Raumzeit dar, in dem die Krümmung unendlich wird und klassische physikalische Modelle versagen. Diese Singularität hat weitreichende Auswirkungen auf die Struktur und das Verhalten von Schwarzen Löchern, insbesondere im Hinblick auf die Entstehung von sogenannten "ergosphären" – Bereichen, in denen keine Information mehr aus dem Inneren des Schwarzen Lochs entweichen kann, und in denen es möglich ist, mit Hilfe des Drehimpulses des Schwarzen Lochs Energie zu extrahieren.

Es ist auch von Bedeutung zu beachten, dass die Kerr-Metrik eine wichtige Rolle in der modernen theoretischen Physik spielt, insbesondere im Kontext der allgemeinen Relativitätstheorie und der Studien zu Schwarzen Löchern. Sie liefert nicht nur eine genaue Beschreibung des Gravitationsfeldes eines rotierenden Körpers, sondern auch wichtige Einsichten in die Natur der Raumzeit und deren Krümmung in der Nähe von extremen Gravitationsquellen.

Die Kerr-Metrik ist jedoch nicht nur für das Verständnis von Schwarzen Löchern von Bedeutung. Sie liefert auch wichtige Hinweise auf die Struktur und Dynamik von rotierenden Objekten in der Astrophysik, wie zum Beispiel in der Theorie der Akretion auf Schwarze Löcher. Die Untersuchung von Geodätischen und der Bewegung von Materie in der Nähe eines rotierenden Körpers kann helfen, das Verhalten von Materie in extremen Gravitationsfeldern zu verstehen, was für die Entwicklung von Astrophysikalischen Modellen von entscheidender Bedeutung ist.

Was ist das Energie-Momentum-Tensor für ein perfektes Fluid und wie beschreibt es die Bewegung?

Nach der Definition ist T00(p) in jedem Koordinatensystem die Energiedichte, die an einem gegebenen Punkt p gemessen wird. In den komoving Koordinaten ist die einzige Energie, die ein Teilchen haben kann, seine innere Energie ϵ, die sich zusammensetzt aus der Ruheenergie, der Energie der thermischen Bewegung seiner Teilchen und der chemischen Energie. Daher gilt T00 = ϵ und gleichzeitig T00 = T ∗ αβu αuβ, sodass ∗ Tαβu αuβ = ϵ. Diese Gleichung stellt die Identität zweier Skalargrößen dar, die in jedem Koordinatensystem gilt.

Per Definition ist T I0, I = 1, 2, 3 der Vektor des Energieflusses. In den komoving Koordinaten jedoch gibt es nach der Definition eines perfekten Fluids keinen Energiefluss, sodass T I0 = T Iβu β = 0. Daraus folgt, dass Tαβu β = λuα, wobei λ eine unbekannte Konstante ist. Aus den oben genannten Gleichungen folgt, dass λ = ϵ, und wir erhalten Tαβu β = ϵuα. Dies ist erneut eine Tensor-Gleichung.

Nun wählen wir einen Punkt q im Raum-Zeit-Kontinuum und einen Vektor vα(q) an diesem Punkt, der orthogonal zu uα(q) ist, das heißt, uα(q)vα(q) = 0. Der Vektor vα(q) zeigt von q auf ein benachbartes Teilchen. Da (12.64) besagt, dass die Projektion der Geschwindigkeit auf vα(q) null ist, folgt daraus, dass das Teilchen, auf das vα(q) zeigt, sich relativ zu q nicht bewegt. Die linear unabhängigen Vektoren, die diese Eigenschaft (12.64) besitzen, definieren ein dreidimensionales Volumenelement, das mit dem Teilchen bei q komoving ist.

Folglich muss das Pascal-Gesetz auf diesem Volumenelement Anwendung finden: Der Druck p, der auf das Flächenelement σ im Fluid ausgeübt wird, erzeugt die Kraft f = pσ in Richtung nI, I = 1, 2, 3, orthogonal zu σ. Der Druck p und die Kraft f hängen nicht von der Richtung des Vektors nI ab, das heißt, sie sind unabhängig von der Orientierung des Flächenelements σ im Fluid. Sei −T IJ der Newtonsche (dreidimensionale) Spannungstensor. (Das Minuszeichen ergibt sich aus der Signatur (+−−−); in dieser Signatur ist der räumliche Teil des Energie-Momentum-Tensors Tαβ nicht der Spannungstensor τ IJ selbst, sondern −τ IJ.)

Die Vektoren nI in (12.65) – (12.67) sind im Allgemeinen nicht orthogonal zu den Hypersurfacer, sodass sie kein Koordinatensystem definieren können. Jedoch kann in jedem Punkt q der Mannigfaltigkeit im Tangentialraum ein Untersystem orthogonal zu uα gewählt werden, und in diesem Untersystem kann eine orthonormale Basis e α Î, I = 1, 2, 3 gewählt werden. In dieser Basis wird (12.67) erfüllt, wobei TÎĴ = e α Î e β Ĵ Tαβ.

Aus den Gleichungen (12.62) – (12.63), (12.67) und (12.68) können wir die allgemeine Formel für den Energie-Momentum-Tensor eines perfekten Fluids ableiten. Wenn wir ein orthonormales Tetrad e αi, i = 0, 1, 2, 3, im Raum-Zeit-Kontinuum wählen, so dass e α 0̂ = uα, während jedes e α Î , I = 1, 2, 3 die Gleichung (12.66) erfüllt, erhalten wir für die Tetrad-Komponenten von Tαβ:

T0̂0̂ = Tαβu αuβ = ϵ,
T0̂Â = T β αβu αe = ϵuβe β Â Â = 0, A = 1, 2, 3,
TÂB̂ = −T  B̂ = pδ  B̂ = −pηÂB̂.

Durch Anwenden der inversen Projektion erhalten wir Tαβ = eiαe j βTij = uαuβT 0̂ 0̂ + e Âαe B̂ βT  B̂ = ϵuαuβ − pη  B̂e  αe B̂ β − puαuβ + puαuβ = (ϵ+ p)uαuβ − pgαβ.

Ein perfektes Fluid, dessen Druck identisch null ist, wird als Staub bezeichnet. Daraus folgt, dass für Staub Tαβ = ϵuαuβ.

Die Bewegungsgleichungen für ein perfektes Fluid, Tαβ ;β = 0, sind äquivalent zu der Gleichung (ϵ + p),β u αuβ + (ϵ + p)uα;β u β + (ϵ + p)uαuβ ;β − p,β gαβ = 0. Diese Gleichung impliziert, dass der Energiestrom ϵuβ durch die Volumenarbeit −puβ ;β erzeugt wird.

Für Staub vereinfacht sich die Gleichung (12.77) zu ϵuβ ;β = 0, was der relativistischen Kontinuitätsgleichung (Massenkonservierung) entspricht. In der Newtonschen Näherung (c → ∞) und in asymptotisch kartesischen Koordinaten geht sie über in ∂ρ/∂t + div(ρv) = 0. Die Gleichung (12.78) wird zu uα;β u β = 0, was bedeutet, dass der kovariante Operator von uα entlang seiner selbst null ist, sodass uα entlang affiner parametrisierten Geodäten tangential ist. Daher bewegt sich der Staub entlang dieser Geodäten.