Wie man ein Minimum in Sobolev-Räumen findet: Eine Einführung in die Existenz von Minimierern und die Euler-Lagrange-Gleichung

Im Kontext der Variationsrechnung und Sobolev-Räume stellt sich die Frage nach der Existenz eines Minimierers für Funktionale, die in diesen Räumen definiert sind. Ein häufig betrachtetes Beispiel ist das Funktional

F(u) = \int_\Omega H(\nabla u) \, dx - \int_\Omega f G(u) \, dx,

wobei $u$ eine Funktion aus einem Sobolev-Raum ist, $\Omega$ ein offenes Teilgebiet des $\mathbb{R}^N$ , und $H$ , $G$ sowie $f$ gegebene Funktionen sind. Das Ziel ist es, das Infimum dieses Funktionals zu bestimmen und zu zeigen, dass es mindestens einen Minimierer gibt.

Existenzaussage eines Minimierers

Zunächst wird gezeigt, dass das infimale Funktional nicht unendlich negativ wird. Sei $u_n \in W^{1,p}_0(\Omega)$ eine Familie von Funktionen, die das Funktional erfüllen, d.h.

\int_\Omega H(\nabla u_n) \, dx - \int_\Omega f G(u_n) \, dx \leq m + \epsilon_n,

für jedes $n \in \mathbb{N}$ . Diese Funktionalreihe hat eine obere Schranke, was es ermöglicht, die Beschränktheit der Sequenz $\{u_n\}$ in $W^{1,p}_0(\Omega)$ nachzuweisen. Eine wichtige Rolle spielt hier die Poincaré-Ungleichung, die sicherstellt, dass die $\{u_n\}$ -Sequenz in $W^{1,p}_0(\Omega)$ beschränkt bleibt. Diese Beschränktheit garantiert nach einem bekannten Resultat (siehe Satz 3.3.6), dass eine schwache Konvergenz der Sequenz in den Sobolev-Raum $W^{1,p}(\Omega)$ existiert, wobei ein subsequenter Grenzwert $v$ gefunden wird. Dabei zeigt die schwache Konvergenz, dass der Funktionswert $v$ ebenfalls ein Minimierer des Funktionals ist.

Durch die Verwendung von Halbstetigkeit und den oben genannten Schätzungen erhält man schließlich die Ungleichung

\int_\Omega H(\nabla v) \, dx - \int_\Omega f G(v) \, dx \geq m,

was die Existenzaussage eines Minimierers $v \in W^{1,p}_0(\Omega)$ bestätigt.

Euler-Lagrange-Gleichung

Nach der Existenz eines Minimierers $v$ müssen wir noch zeigen, dass dieser Minimierer eine schwache Lösung der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt. Die Euler-Lagrange-Gleichung für ein Variationsproblem lautet

\int_\Omega \langle \nabla H(\nabla v), \nabla \varphi \rangle \, dx = \int_\Omega f G'(v) \varphi \, dx, \quad \forall \varphi \in C_0^\infty(\Omega),

wobei $\varphi$ eine Testfunktion ist. Um dies zu beweisen, betrachten wir die Funktionalgleichung, die durch Variation von $v$ in Richtung einer Testfunktion $\varphi$ aufgestellt wird. Die Minimierung des Funktionals führt zu der Bedingung, dass die erste Variation des Funktionals an der Stelle $t = 0$ verschwindet, was durch den Satz von Fermat zu einer Gleichung für die Ableitungen führt. Diese Bedingungen garantieren, dass die Minimierer die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllen.

Weitere Überlegungen

Es ist wichtig zu verstehen, dass die Schwäche der Konvergenz in Sobolev-Räumen eine zentrale Rolle spielt, weil sie es ermöglicht, die existierenden Minimierer trotz der möglichen Nicht-Beschränktheit von $\int_\Omega H(\nabla u) \, dx - \int_\Omega f G(u) \, dx$ zu finden. Diese Art der Konvergenz erfordert die Verwendung von Halbstetigkeitssätzen und anderen topologischen Überlegungen, die typischerweise bei der Behandlung von Problemen in nichtkompakten Räumen eine Rolle spielen.

Es muss auch beachtet werden, dass in einigen Fällen das Funktional nicht unter den Annahmen des Theorems minimiert werden kann. Beispielsweise für den Fall $q \geq p$ kann es passieren, dass das Funktional nicht beschränkt ist und daher kein Minimierer existiert. Ein solches Beispiel wurde bereits im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator besprochen.

Es ist zudem entscheidend, dass die Euler-Lagrange-Gleichung nicht nur für die Minimierer gilt, sondern dass die schwache Lösung dieser Gleichung auch als Grenzwert einer Folge von Funktionen $u_n$ in einem geeigneten Sobolev-Raum betrachtet werden kann. Dies garantiert die Existenz von Lösungen auch unter weniger idealen Bedingungen, wie sie in realen Anwendungen vorkommen können.

Wie man die Euler-Lagrange-Gleichung als schwache Formulierung betrachtet und Lösungen findet

Die schwache Formulierung der Euler-Lagrange-Gleichung lautet:

\delta F(u)[\varphi] = 0, \quad \text{für alle } \varphi \in C_0^\infty((-1, 1)),

was sich explizit in die Form

\int_{ -1}^{1} |u'(t)|^2 u'(t) \varphi'(t) \, dt - \int_{ -1}^{1} f(t) \varphi(t) \, dt = 0

übersetzen lässt. Die schwache Formulierung hat den Vorteil, dass sie auch für Funktionen gilt, die nicht notwendigerweise in den klassischen Funktionalanalysen beheimatet sind.

Um jedoch zur klassischen Formulierung zu gelangen, genügt es, den ersten Integralterm partiell zu integrieren. Dies führt zur umgekehrten Form der Euler-Lagrange-Gleichung:

\int_{ -1}^{1} \left( - \left( |u'(t)|^2 u'(t) \right)'\varphi(t) \, dt - \int_{ -1}^{1} f(t) \varphi(t) \, dt = 0.

Daraus folgt mit dem Du Bois-Reymond Lemma:

\left( |u'(t)|^2 u'(t) \right)' = f(t) \quad \text{im Intervall} \ (-1, 1).

Dieser Schritt setzt jedoch voraus, dass die Funktion $|u'(t)|^2 u'(t)$ mindestens einmal differenzierbar auf dem Intervall $[-1, 1]$ ist, was eine zusätzliche Regularität voraussetzt.

Versuch einer Lösung durch Annahmen und Integration

Nun versuchen wir, eine Lösung zu vermuten, indem wir die Gleichung formell manipulieren. Die Gleichung lautet nun:

\left( |u'(t)|^2 u'(t) \right)' = 1 \quad \text{auf} \ (-1, 1).

Durch Integration erhalten wir eine Lösung der Form:

|u'(t)|^2 u'(t) = -C - t,

wobei $C$ eine geeignete Konstante ist. Eine mögliche Lösung für $u'(t)$ ist die Funktion:

u'(t) = -\left( C + t \right)^{1/3}.

Nun integrieren wir diese Gleichung, um eine Lösung für $u(x)$ zu finden:

u(x) = -\int_{ -1}^{x} \left( C + t \right)^{1/3} dt.

Durch die Anwendung der Integration erhalten wir:

u(x) = 3\left( \left(C - \frac{4}{3} \right)^{3/4} - (C + x)^{3/4} \right).

Die Konstante $C$ wird nun durch die Randbedingungen $u(1) = u(-1) = 0$ bestimmt, und wir erhalten:

u(x) = 3\left( \left(\frac{1}{4} \right)^{3/4} - (C + x)^{3/4} \right).

Überprüfung der Lösung als schwache Lösung

Nun überprüfen wir, ob diese Lösung tatsächlich eine schwache Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung ist. Wir berechnen die Variation der Funktion, indem wir den Term $\int_{ -1}^{1} |u'(t)|^2 u'(t) \varphi'(t) \, dt$ und den Term $\int_{ -1}^{1} f(t) \varphi(t) \, dt$ für jede Funktion $\varphi \in C_0^\infty((-1, 1))$ betrachten. Wir stellen fest, dass die Differenz dieser beiden Ausdrücke null ist, was bestätigt, dass $u(x)$ eine schwache Lösung ist.

Einzigartigkeit der Lösung

Nun untersuchen wir die Einzigartigkeit der Lösung. Angenommen, $v \in C^1([-1, 1])$ ist eine andere schwache Lösung der gleichen Gleichung mit den Randbedingungen $v(-1) = v(1) = 0$ . Wenn wir die schwache Formulierung für $u$ und $v$ subtrahieren, erhalten wir:

\int_{ -1}^{1} \left( |u'(t)|^2 u'(t) - |v'(t)|^2 v'(t) \right) \varphi'(t) \, dt = 0 \quad \text{für alle } \varphi \in C_0^\infty((-1, 1)).

Dieser Ausdruck zeigt, dass $|u'(t)|^2 u'(t) - |v'(t)|^2 v'(t)$ konstant auf $[-1, 1]$ ist. Da beide Lösungen dieselbe Form haben, müssen $u$ und $v$ übereinstimmen, was die Einzigartigkeit der Lösung zeigt.

Zusätzliche Betrachtungen

Die obigen Überlegungen führen uns zu einer soliden mathematischen Grundlage, um die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen der Euler-Lagrange-Gleichung im schwachen Sinne zu etablieren. Es wird jedoch auch deutlich, dass die Regularität der Lösung von entscheidender Bedeutung ist. Besonders hervorzuheben ist, dass die Lösung $u(x)$ nicht notwendigerweise in $C^2([-1, 1])$ ist, sondern nur in $C^1([-1, 1])$ . Dies bedeutet, dass die Lösung möglicherweise an bestimmten Stellen nicht differenzierbar ist, was die Notwendigkeit der Verwendung schwacher Lösungen unterstreicht.

Die Wahl der geeigneten Funktionalform und der zusätzlichen Regularitätsbedingungen ist für die korrekte Anwendung der Variationsmethoden entscheidend. Wenn man die Lösung für verschiedene Werte von $p$ betrachtet, kann man ebenfalls die Stabilität der Lösung und ihre Sensibilität gegenüber Veränderungen in den Randbedingungen oder in der Funktionalform analysieren.

Wie beeinflusst die Anästhesiewahl das perioperative Risiko und die Patientenaufklärung?
Wie die Ernährung und Lebensweise von Affenarten das Ökosystem beeinflusst
Wie erzeugt man Atmosphäre und Tiefe mit Kohlezeichnungen?
Wie man Speicherlecks bei der Verwendung von Observables und Subscriptions in Angular vermeidet
Welche Lehren zieht man aus John Laws Mississippi-Blase und den betrügerischen Bergbauaktien des 19. Jahrhunderts?