Was passiert am Zentrum einer kollabierenden Staubwolke in der Lemaître-Tolman-Geometrie?

In der Lemaître–Tolman-Geometrie (L–T), einem spherisch symmetrischen, staubgefüllten Universum ohne Druck, ist das Verhalten der zentralen Singularität von besonderem Interesse. Die Struktur der Fläche $R = 0$ , wo $R$ die areale Radialkoordinate ist, hängt entscheidend vom Verhalten der Massefunktion $M(r)$ und der Entwicklung der Singularität ab.

Wenn sich der Raumzeitpunkt $R = 0$ nähert, ergibt sich je nach Verhältnis $2M/R$ , ob diese Fläche zeitartig, lichtartig oder raumartig ist. Bei Annäherung an das reguläre Zentrum $R \to 0$ mit $M \to 0$ geht das Verhältnis gegen null, was bedeutet, dass dieser Teil von $R = 0$ zeitartig ist. Dagegen führt $M > 0$ im Grenzfall $R \to 0$ zu einer Divergenz in der entsprechenden Metrikkomponente, sodass der entsprechende Teil raumartig wird. An der Schnittstelle der Weltlinie des Zentrums mit der Big-Bang- oder Big-Crunch-Singularität wird die Orientierung der Fläche $R = 0$ schwieriger zu bestimmen, insbesondere da die komovierenden Koordinaten dort ebenfalls eine Singularität aufweisen.

Erst durch numerische Untersuchungen wurde erkannt, dass die Menge $R = 0$ nicht immer ein einzelner Punkt ist, sondern ein endliches Segment einer zeitartigen oder lichtartigen Kurve sein kann – ein Phänomen, das Eardley und Smarr 1979 als shell focusing beschrieben. Sie nahmen an, dass dieses Segment nur lichtartig sein könne, doch ihre Kriterien basieren auf koordinatenabhängigen Größen wie dem Verhältnis $t_B / M$ , was ihre Allgemeingültigkeit fraglich macht. Hellaby zeigte in seiner Dissertation, dass dieses Segment auch zeitartig sein kann.

Ist die Big-Crunch-Singularität überall raumartig, kann ihr Schnittpunkt mit der Weltlinie des Zentrums als einzelner Punkt verstanden werden, aus dem keine zukünftigen Lichtstrahlen entkommen können. Enthält die Singularität jedoch ein nicht-raumartiges Segment, so wird dieser Abschnitt zu einem Ursprung unendlich vieler unterschiedlicher Lichtkegel. Dieses nicht-raumartige Segment ist eine gekrümmte Linie, die in den komovierenden Koordinaten zu einem einzelnen Punkt abgebildet wird.

Die Betrachtung des E = 0-Modells mit der Massefunktion $M(r) = M_0 r^3$ und einer kollabierenden Lösung mit $R(t, r) = [9M(r)/2]^{1/3}(t_C(r) - t)^{2/3}$ , wobei $t_C(r) = a r^2$ , führt zu einer besonders anschaulichen Analyse. Die Gleichung der radialen Nullgeodäten in diesem Modell zeigt, dass sie die Big-Crunch-Singularität senkrecht im $(t, r)$ -Diagramm treffen, wenn $r \neq 0$ . Dagegen haben die Lichtstrahlen am Zentrum ( $r = 0$ ) endliche und nicht-vertikale Tangenten.

Insbesondere ergibt sich, dass Lichtstrahlen, die vom Punkt $P_0 = (0, 0)$ – dem gemeinsamen Punkt von Zentrum und Singularität – ausgesendet werden, anfangs vom Big Crunch wegreisen und vor dem Erreichen des scheinbaren Horizonts bleiben. Dies wird dadurch bestätigt, dass die zweite Ableitung der Lichtstrahlkurven an $P_0$ verschwindet, während die entsprechenden Ableitungen für die Singularitätszeit und die scheinbare Horizontzeit jeweils nicht null sind.

Das bedeutet, dass es eine ganze Familie von Lichtstrahlen gibt, die alle vom Punkt $P_0$ ausgehen, vom Big Crunch zurückweichen und vor dem scheinbaren Horizont verbleiben. Diese Lichtstrahlen, obwohl sie von einem Punkt in den komovierenden Koordinaten ausgehen, breiten sich in der physikalischen Raumzeit real aus. Dadurch wird ersichtlich, dass der Punkt $P_0$ eine verborgene Struktur besitzt – er erscheint als Singularitätspunkt, enthält aber in Wirklichkeit eine Richtung, in der Information entweichen kann.

Da eine analytische Lösung der Geodätengleichung nicht verfügbar ist, kann der früheste Lichtstrahl, der von $P_0$ ausgeht, nur numerisch bestimmt werden. Dennoch kann analytisch gezeigt werden, dass eine solche Lösung existiert. Die Tatsache, dass keine anderen radialen Nullstrahlen später vom Big Crunch austreten können, belegt, dass alle zukünftigen radialen Strahlen, die den BC überschreiten, vom Punkt $P_0$ stammen müssen. Es existiert also eine unendliche Familie solcher Strahlen.

Wichtig ist dabei zu verstehen, dass die komovierenden Koordinaten zwar einen Eindruck vermitteln, als wäre der Punkt $P_0$ singulär und strukturlos, die physikalische Raumzeit jedoch eine feinere, differenzierte Struktur aufweist, die nicht vollständig durch die gewählten Koordinaten erfasst wird. Die Tangenten der Lichtstrahlen, des Big Crunch und des scheinbaren Horizonts stimmen am Punkt $P_0$ überein, aber ihre Krümmungen – gemessen durch die zweiten Ableitungen – unterscheiden sich, was auf unterschiedliche physikalische Eigenschaften hinweist.

Zudem zeigt sich, dass der scheinbare Horizont, beschrieben durch $t_{AH}(r) = ar^2 - \frac{4}{3} M_0 r^3$ , bei kleinen $r$ zunächst mit dem Big Crunch tangent ist, sich aber bei größeren Werten in entgegengesetzte Richtungen entwickelt. Diese Trennung in der Entwicklung des Horizonts zeigt, dass die Lichtstrahlen zunächst vom BC entkommen können, bevor sie den Horizont durchqueren – eine dynamische Phase des Universums, in der noch Kausalverbindungen bestehen.

Wichtig ist auch zu erkennen, dass das scheinbar einfache Verhalten in den komovierenden Koordinaten nicht die volle Kausalstruktur der Raumzeit widerspiegelt. Gerade in der Umgebung des Zentrums, wo alle relevanten Kurven – Geodäten, Horizont, Singularität – zusammentreffen, offenbart sich eine versteckte Geometrie, die in einer feineren Analyse eine komplexe Struktur zeigt, deren Verständnis tiefere Einsichten in die Natur gravitativer Kollapsprozesse ermöglicht. Diese Erkenntnisse bilden eine wichtige Grundlage für die Diskussion über die Entstehung nackter Singularitäten und die Gültigkeit der kosmischen Zensurhypothese.

Wie man optische Tensors und ihre geometrischen Eigenschaften versteht

In der relativistischen Kosmologie spielt die Beschreibung von Lichtstrahlen und ihrer Bewegung in gekrümmtem Raum eine zentrale Rolle. Insbesondere bei der Betrachtung von Nullvektoren und deren Zerlegungen in verschiedene geometrische Tensoren und Skalargrößen, wie Rotation, Expansion und Scherung, stoßen wir auf tiefgreifende Einsichten in die Struktur des Raumes und der Zeit. Dabei ist das Verständnis der sogenannten optischen Tensors entscheidend, insbesondere wenn wir sie auf dynamische schwarze Löcher und deren eventuelle Horizonte anwenden.

Ein Nullvektorfeld $k^\alpha$ ist durch die Bedingung $k^\mu k_\mu = 0$ charakterisiert. Dies bedeutet, dass das Vektorfeld null ist, was für Lichtstrahlen typisch ist. Um solche Vektoren vollständig zu beschreiben, müssen wir ihre Bewegung innerhalb des gekrümmten Raumes untersuchen. Eine wichtige Erweiterung in dieser Betrachtung ist die sogenannte "Beschleunigung" eines Lichtstrahls, definiert als $\dot{k}^\mu = k^\mu_{\ ;\nu} k^\nu$ . Diese ist eine Verallgemeinerung der Bewegung entlang einer geodätischen Linie und beschreibt Abweichungen vom idealisierten geodätischen Verlauf. Eine solche Betrachtung führt uns zu den sogenannten optischen Tensoren, die auf verschiedene Weisen zerlegt werden können, um tiefere Einsichten in die Struktur der Lichtstrahlen zu gewinnen.

Das Feld $k^\mu$ folgt bestimmten Differentialgleichungen, die durch die Verbindung von Rotation, Expansion und Scherung des Lichtstrahlsystems charakterisiert sind. Diese Größen sind in der Hydrodynamik ähnlich, da sie die Deformation und Verzerrung von Materie und Lichtstrahlen unter der Wirkung der Gravitationskraft beschreiben. Konkret gibt es drei Hauptgrößen, die die Geometrie von Lichtstrahlen und deren Bündeln beschreiben:

Rotation ( $\omega_{\alpha\beta}$ ), die eine Drehung der Bündel beschreibt.
Expansion ( $\theta$ ), die die Ausdehnung des Lichtstrahlbündels angibt.
Scherung ( $\sigma_{\alpha\beta}$ ), die die Verzerrung des Bündels beschreibt.

Diese Tensoren und Skalargrößen sind nicht nur mathematisch von Bedeutung, sondern auch physikalisch, da sie tief in die Struktur des Raumes und der Zeit eingreifen. Zum Beispiel sind sie entscheidend für das Verständnis von Horizonsystemen bei schwarzen Löchern, wie dem Ereignishorizont und dem scheinbaren Horizont. Letzterer wird als eine Oberfläche definiert, die die Grenze zwischen der region darstellt, in der Lichtstrahlen divergieren, und der Region, in der sie konvergieren. Diese Definition ist besonders für dynamische schwarze Löcher relevant, da sie es ermöglicht, die Grenzen eines Schwarzen Lochs in Echtzeit zu bestimmen, ohne die gesamte Zukunft der Raumzeit zu kennen.

Der scheinbare Horizont ist somit nicht nur ein mathematisches Konstrukt, sondern hat tiefgehende physikalische Konsequenzen, die mit der beobachtbaren Dynamik von schwarzen Löchern zusammenhängen. Ein weiterer wichtiger Punkt, der in diesem Zusammenhang zu verstehen ist, dass der scheinbare Horizont dynamisch ist und sich mit der Zeit verändern kann, besonders in Systemen, die kontinuierlich Materie ansaugen. Dies steht im Gegensatz zu statischen Modellen, bei denen der Horizont unveränderlich bleibt.

Es ist wichtig zu erkennen, dass der scheinbare Horizont und der Ereignishorizont im Allgemeinen nicht identisch sind. Während der Ereignishorizont in statischen und asymptotisch flachen Raumzeiten das ist, was als die Grenze der "Zukunft" eines schwarzen Lochs angesehen wird, ist der scheinbare Horizont in dynamischen Fällen eine lokal beobachtbare Entität, die sich mit der Entwicklung des Systems verändert. Dies hat praktische Konsequenzen für die Kosmologie und die Beobachtung von schwarzen Löchern, da der Ereignishorizont nicht immer zugänglich ist, während der scheinbare Horizont in vielen Fällen leicht identifizierbar ist.

Darüber hinaus wird durch die Einführung des sogenannten doppel-null Tetrads im Newman-Penrose-Formalismus eine weitere nützliche Werkzeugstruktur geschaffen. Diese Tetraden ermöglichen eine präzise Beschreibung der Raumzeit unter Verwendung von null Vektorfeldern, die es ermöglichen, die Geometrie des Raumes effizienter zu berechnen und zu interpretieren. Die Tetraden $k^\alpha$ , $\ell^\alpha$ , $m^\alpha$ , und $m^\alpha$ sind orthogonal zueinander und bieten eine Grundlage für die Analyse von Vektor- und Tensoroperationen, die die Krümmung und die Deformation des Raumes beschreiben. Besonders die Verwendung der Ricci-Rotationskoeffizienten in diesem Kontext ist für das Verständnis der kinematischen Eigenschaften von Lichtstrahlen wichtig.

In Bezug auf die Expansion und die Rotation in einem solchen Tetradsystem sind die Berechnungen in der Regel einfach, da viele Terme aufgrund der Orthogonalität der Vektoren wegfallen. Die wichtigen Komponenten, die übrig bleiben, bieten uns die notwendigen Informationen zur Charakterisierung der Expansion und Rotation von Lichtstrahlen in einem dynamischen kosmologischen Kontext.

Für den praktischen Gebrauch ist es entscheidend, diese Beziehungen und die damit verbundenen Tensoren zu verstehen, um die Lichtgeometrie in dynamischen und gekrümmten Raumzeiten exakt zu beschreiben. Während diese Tetraden in der Theorie eine komplizierte Struktur aufweisen, erlauben sie es uns, auf einer grundlegenden Ebene die Struktur von schwarzen Löchern, Singularitäten und ihren Wechselwirkungen mit der umgebenden Raumzeit zu verstehen.

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