Hvad er det mindste uendelige tal, og hvordan tæller man uendelighed?

Den naive intuition vil ofte betragte valgaksionet som trivielt og velordningsprincippet som enten falsk eller meningsløst. Ikke desto mindre er disse to udsagn ækvivalente med Zorns lemma og spiller en grundlæggende rolle i behandlingen af uendelige mængder. Men før vi kaster os ud i de mere avancerede abstraktioner, er det værd at genbesøge velkendte størrelser: de naturlige tal.

Vi definerer 0 som den tomme mængde ∅. Givet et naturligt tal n, konstrueres efterfølgeren n⁺ som n ∪ {n}. Det giver:
0 = ∅
1 = 0 ∪ {0} = {0}
2 = 1 ∪ {1} = {0, 1}
3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2}
og så fremdeles.

Vi definerer derefter mængden ω = {0, 1, 2, 3, …} som den samlede mængde af alle naturlige tal. Denne konstruktion stopper ikke ved ω. Vi kan konstruere efterfølgeren ω⁺ = ω ∪ {ω}, som vi betegner som ω + 1, og dernæst ω + 2, ω + 3 osv. Hele denne uendelige sekvens kan igen samles i mængden ω + ω, eller kort 2ω. Dette fortsætter rekursivt og konstruerer udtryk som 3ω, 4ω, …, ω², ω³, …, ω^ω osv. Hver af disse mængder er velordnede, og deres elementer kaldes ordinære tal. Hver ordinær har en efterfølger, men ikke nødvendigvis en forgænger — ω har eksempelvis ingen.

Mængden af alle ordinære tal er selv velordnet, og blandt de ordinære med samme kardinalitet findes altid et mindste element. Dette mindste element kaldes et kardinaltal. Hvert naturligt tal n er således en endelig kardinal, og mængden ω er den første uendelige kardinal. Vi kan forstå dette konkret: Har jeg n småsten i hånden, findes der en bijektion mellem småstenene og elementerne i mængden n.

Givet en vilkårlig uendelig mængde X, kan vi konstruere en injektion fra ω til X ved at velordne X og derefter vælge det mindste element, derefter det næstmindste (undtagen det tidligere valgte) osv. Da X er uendelig, vil denne proces aldrig udtømme X, og vi opnår en uendelig sekvens af forskellige elementer i X — hvilket viser at ω ⪯ X. Dermed er ω den mindst mulige uendelige kardinal, og hvis en mængde X har samme kardinalitet som ω, skrives |X| = ω. Sådan en mængde kaldes tælleligt uendelig.

Når vi definerer addition og multiplikation af kardinaliteter, tager vi udgangspunkt i disjunkte unioner og cartesianske produkter:
|X| + |Y| = |X ∪ Y|
|X||Y| = |X × Y|

Selv hvis X og Y har fælles elementer, kan vi opnå disjunkthed ved at tilføje markører, som f.eks. at betragte elementer fra X som (x, 0) og fra Y som (y, 1). På denne måde undgår vi forveksling og opretholder ægte disjunktion. Eksempelvis er |{0,1} ∪ {1,2}| = 4, hvis vi adskiller kopien af 1 i Y som en særskilt 1′.

Denne tilgang giver os mulighed for at formulere et kardiinalt aritmetisk system med associativitet, kommutativitet og distributivitet, analogt med almindelig talteori. F.eks. gælder:
(|X| + |Y|)|Z| = |X||Z| + |Y||Z|
samt
|X| + 0 = |X|
0|X| = 0

Når vi bevæger os op i de uendelige størrelser, sker noget fascinerende:
n + ω = ω for ethvert endeligt n
n·ω = ω
ω + ω = ω
ω·ω = ω

Men ω² og ω^ω er ikke lig med ω som ordinære tal, selvom deres kardinalitet fortsat er ω. Her adskilles det ordinære og kardinale perspektiv. Det ordinære skelner mellem ordningen af elementer, mens det kardinale kun ser på "hvor mange".

Ved at udstyre ω × ω med leksikografisk orden, kan vi vise at denne mængde også er tællelig: vi kan opbygge en rækkefølge som (0,0), (0,1), (1,0), (0,2), (1,1), (2,0), … og etablere en bijektion til ω. Dermed er ω² = ω i kardinal betydning, selv om den ordinære struktur er anderledes.

Det er vigtigt at forstå, at i mængdelæren er "antal" ikke et spørgsmål om tælling, men om muligheden for bijektion. Begrebet kardinalitet adskiller sig derfor radikalt fra vores intuition om størrelser. At to uendelige mængder som ω og ω × ω har samme kardinalitet, er en central indsigt i forståelsen af uendelighed i moderne matematik.

Hvordan Lineære Afgørelser og Isomorfisme Bestemmer Modulernes Struktur

En lineær afbildning, også kaldet en lineær funktion, er et fundamentalt begreb i algebraen, og her vil vi undersøge dens egenskaber samt dens anvendelse i moduler og vektorrum. Når vi taler om lineære afbildninger, refererer vi ofte til funktioner, der bevarer både addition og skalar multiplikation. Den grundlæggende opgave er at forstå, hvordan lineære afbildninger interagerer med strukturen af de moduler, de anvendes på, og hvordan disse kan bruges til at udlede vigtige resultater om modulernes opbygning.

En R-lineær afbildning mellem to moduler M og N defineres som en funktion, der opfylder betingelserne:

• $f(m + m') = f(m) + f(m')$ for alle $m, m' \in M$,

• $f(rm) = r f(m)$ for alle $r \in R$ og $m \in M$.

Dette betyder, at f er en funktion, der bevarer de algebraiske operationer (addition og multiplikation med skalarer), og derfor kaldes den en homomorfi mellem modulerne. Hvis både M og N er vektorrum over et felt F, taler vi i stedet om en lineær transformation.

Et væsentligt resultat i teorien om lineære afbildninger er den fundamentale sætning om lineære afbildninger, som giver os en metode til at bestemme strukturen af moduler, især når vi arbejder med frie moduler. For frie moduler af endelig rang, kan vi associere en matrix, som repræsenterer den lineære afbildning. En matrix for en lineær afbildning kan ses som et nyttigt værktøj til at forstå transformationen mellem modulerne. Samtidig kan forståelsen af en matrix ofte gøres lettere ved at studere den lineære afbildning, den repræsenterer.

En vigtig konstruktion i denne kontekst er kerne og billede af en lineær afbildning. Givet en lineær afbildning $f: M \rightarrow N$, defineres kernen som $\text{Ker}(f) = \{m \in M : f(m) = 0 \}$, og billedet som $\text{Im}(f) = f(M)$. Kernens rolle er at identificere de elementer, der bliver sendt til nul, mens billedet rummer de elementer, der kan opnås som resultater af afbildningen.

Dette begreb om isomorfisme er ikke kun begrænset til den algebraiske teori; det kan anvendes til at forstå, hvordan strukturer på tværs af matematiske objekter opretholdes. Når to moduler er isomorfe, kan vi påstå, at de i væsentlig grad er de samme, da de adlyder de samme algebraiske regler. Dette koncept kan for eksempel udnyttes til at klassificere og forstå dimensioner af vektorrum. Når to vektorrum over et felt $F$ er isomorfe, betyder det, at de har samme dimension, det vil sige, at de kan beskrives ved samme antal elementer i en basis.

Et andet centralt resultat i modulteorien er, at hvis to frie moduler M og N har baser med samme kardinalitet, så er de isomorfe. Dette følger fra den tidligere nævnte sætning om lineære afbildninger og kan bruges til at sammenligne moduler i praksis.

Denne teori får stor betydning, når vi studerer de grundlæggende egenskaber ved lineære afbildninger og moduler, og den danner grundlaget for videre studier i både abstrakt algebra og anvendte matematikområder som differentialligninger, funktionalanalyse og mange andre områder, hvor moduler og lineære afbildninger spiller en central rolle.

Hvordan Jordan-kanonisk form relaterer sig til karakteristiske polynomier og invariant faktorer

Når vi går videre til den Jordan-kanoniske form, opdager vi et andet aspekt af matrixens struktur, som ofte er lettere at arbejde med, især når den rationelle kanoniske form ikke giver tilstrækkelig indsigt. Hvis et polynomium deler sig over et givet felt F, betyder det, at det kan faktoriseres til en produkt af lineære faktorer i $F[\lambda]$, og dette er en vigtig forudsætning for, at vi kan arbejde med en Jordan-form. Den fundamentale sætning om algebraen siger os, at C er et algebraisk lukket felt, mens R ikke er det. Det betyder, at hvis et matrix er defineret over C, kan vi altid finde dens Jordan-form, mens det ikke nødvendigvis er muligt for matricer over R.

En vigtig teoretisk erkendelse er, at en matrix kun har en Jordan-form, hvis dens karakteristiske polynomium deler sig over det anvendte felt. Dette betyder, at for at en matrix kan repræsenteres ved en Jordan-kanonisk form, skal dens minimalpolynomium også kunne opdeles i lineære faktorer. Dette er grundlaget for Lemma 4.6.3, der viser, at de invarianske faktorer for en lineær endomorfisme T er nødvendigvis lineære, hvis det karakteristiske polynomium opdeles over F.

Matematisk set, hvis vi har en lineær transformation T med elementære divisorer $(\lambda - r_i)^{e_i}$, vil den tilhørende Jordan-matrix J være en blokdiagonal matrix, hvor hver blok svarer til en af de elementære divisorer. De enkelte blokke er af størrelser, der afspejler de eksponenter, der er forbundet med de algebraiske multipliciteter af de tilhørende egenværdier. For eksempel, hvis T har to egenværdier, $r_1$ og $r_2$, med multiplicitet henholdsvis 3 og 2, vil den resulterende Jordan-matrix J have to blokke: en $3 \times 3$ blok for $r_1$ og en $2 \times 2$ blok for $r_2$.

Hvordan Tensorproduktet Relaterer sig til Bilineære og Multilineære Kort

I denne sektion vil vi undersøge tensorproduktet og dets fundamentale forhold til bilineære og multilineære kort. Vi begynder med at definere tensorproduktet for endelige dimensionelle vektorrum og derefter udvide til et mere abstrakt perspektiv, der gælder for moduler generelt. Det er vigtigt at forstå, hvordan bilineære kort udgør en grundlæggende bygningsten for tensorprodukter, og hvordan dette koncept udvikler sig fra konkrete eksempler til generelle algebraiske strukturer.

Bilineære kort og multilineære kort

Bilineære kort er et naturligt udvidelse af begrebet lineære funktionaler, som er velkendt fra lineær algebra. Hvis vi betragter to moduler $M$ og $N$ over en ring $R$, så er et bilineært kort et kort $B$, der tager et par elementer $m \in M$ og $n \in N$ og afbilder det til et element $B(m,n) \in W$, hvor $W$ er et modul over $R$. Et bilineært kort tilfredsstiller to vigtige betingelser: For hvert element $n \in N$, er $B(m, -)$ et lineært kort på $M$, og for hvert element $m \in M$, er $B(-, n)$ et lineært kort på $N$.

Eksempler på bilineære kort

Et mere komplekst eksempel er den indre produktfunktion i et vektorrum $V$, hvor $V$ er et vektorrum over $F$, som kan være enten $R$ eller $C$. Det indre produkt opfylder både symmetri- og positivitetsegenskaber, hvilket er karakteristisk for bilineære former.

Multilineære kort

Tensorprodukt og bilineære kort

For at forstå tensorproduktet er det vigtigt at se på forholdet mellem bilineære kort og tensorprodukter. Tensorproduktet kan ses som en udvidelse af bilineære kort, der tager to moduler $M$ og $N$ og danner et nyt modul, der indeholder information om alle mulige bilineære kombinationer af elementer fra $M$ og $N$.

Matrice-repræsentation af bilineære kort

Når vi arbejder med bilineære kort, er det ofte nyttigt at repræsentere dem som matricer. Hvis $M$ og $N$ er frie moduler af rang $s$ og $t$ henholdsvis, og vi har et bilineært kort $B$, kan vi vælge baser $\beta$ og $\gamma$ for $M$ og $N$ og bruge disse til at konstruere en matrix, der repræsenterer $B$. Denne matrix giver os en praktisk måde at manipulere bilineære kort på, især når vi skal operere med summationer og skalarer.

Baseændringer og tensorprodukter

En vigtig egenskab ved tensorprodukter er, at de ikke kun afhænger af de oprindelige baser $\beta$ og $\gamma$, men også af eventuelle ændringer i baserne. Hvis vi ændrer basen $\beta$ til en ny base $\beta_1$, vil de nye koordinater blive relateret til de oprindelige koordinater gennem en baseændringsmatrix $P$. Tilsvarende ændres koordinaterne i $N$ med en baseændringsmatrix $Q$. Det betyder, at tensorproduktet og de tilhørende bilineære kort opretholder en stærk struktur, selv når baserne ændres, hvilket giver fleksibilitet i beregninger og operationer på tværs af forskellige systemer.

Hvornår er en mængde af elementer lineært uafhængig i en R-modul?

Et centralt begreb i modulet og vektorrummets teori er lineær kombination. Lad $M$ være en $R$-modul, og lad $m_1, m_2, ..., m_n$ være elementer i $M$. En lineær kombination af disse elementer er en sum på formen $a_1m_1 + a_2m_2 + \cdots + a_nm_n$, hvor $a_i \in R$. Hvis vi overhovedet ikke anvender nogen elementer (en tom sum), defineres denne som nulvektoren. Dette er en konvention, som sikrer matematisk konsistens og generalitet.

Den mindste undermodul af $M$, som indeholder en mængde $S$, betegnes $\langle S \rangle$, og denne består præcis af alle lineære kombinationer af elementer fra $S$. Hvis $S = \{m_1, ..., m_n\}$, skrives dette ofte som $Rm_1 + Rm_2 + \cdots + Rm_n$. En vigtig følge heraf er, at en modul er endeligt genereret, hvis en endelig mængde $S$ eksisterer således at $M = \langle S \rangle$. Når $M = \langle m \rangle = Rm$, kaldes $M$ en cyklisk modul.

Et andet eksempel er $R[x]$, polynomiumringen over $R$. Mængden $\{1, x, x^2, x^3, ...\}$ genererer $R[x]$, og enhver polynomium i én variabel er en lineær kombination af disse monomerer. Tilsvarende genereres $R^n$ af standardbasis $\{e_1, ..., e_n\}$, hvor hver $e_i$ er en vektor med én 1'er og resten 0’er. For matrixmoduler som $M_{m \times n}(R)$ genereres hele rummet af matricerne $e_{ij}$, hvor kun positionen $(i,j)$ er 1 og resten er 0.

Denne distinktion er afgørende. Det er ikke nok, at elementer kan kombineres for at danne nye – det er væsentligt om disse kombinationer er entydige. En basis for en modul (når den findes) skal være både genererende og lineært uafhængig. Den uendelige mængde ( {1, x, x^2, x^3, ...}