Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Szekeres–Szafron-metrikkerne udgør et vigtigt aspekt af relativistisk kosmologi og beskriver et rumtidsgeometri, der ikke er helt trivielt, men i visse tilfælde kan reducere sig til enklere former som Robertson-Walker (R–W) eller Kantowski-Sachs (K–S) geometrier. For det første, når parametrene β og z er forskellige fra nul, opnås R–W geometrier, mens når β og z begge er nul, kan løsningerne opnå enten en R–W eller K–S geometri, samt deres plane og hyperboliske modparter, som beskrevet af Spero og Szafron i 1978. Denne reduktion understreger, at de generelle løsninger, afhængigt af de fysiske betingelser og symmetrier, kan forenkles betydeligt.
Den eneste ligning for tilstande, der fører til ikke-trivielle resultater, er p = konstant, især p = 0, og det er i denne sammenhæng, at løsningerne af Szekeres–Szafron metrikkerne virkelig adskiller sig. Specifikt er det de betingelser, der opstår i forbindelse med konstant tryk, som danner grundlaget for diskussionen om thermodynamik i Szekeres geometrierne. I denne sammenhæng påpeger Krasinski, Quevedo og Sussman (1997), at i tilfælde hvor β, z ≠ 0, medfører ligningerne (15.55) og (15.58) enten trivialiteter i termodynamikken (på grund af konstant tryk) eller antyder en symmetri-gruppe med mindst to-dimensionelle baner. Dette betyder, at de generelle β, z ≠ 0 Szekeres spacetimes kræver en tolkning baseret på en mere kompleks kilde end en enkelt komponent perfekt væske — det kan være en blanding, hvor kemiske reaktioner finder sted, eller en blanding af to væsker, som først blev introduceret af Letelier i 1980.
De Szekeres–Szafron geometrierne opstår ud fra en række invariant definitioner, der er udviklet over tid. Den oprindelige definition blev først givet af Wainwright i 1977 og derefter udvidet af Szafron i 1977 til at omfatte den generelle situation. I denne version af metrikkerne skal flere krav være opfyldt samtidigt: fluidets hastighedsfelt skal være geodetisk og ikke-rotatorisk, Weyl-tensoren skal være af type D, og fluidets hastighedsvektor skal i hver punkt i rumtiden ligge i den 2-plan, som de to principielle null-retninger spænder op. Desuden skal der være en vektor, som er ortogonal til begge de principielle null-retninger og som er egenvektor af skæringen. Yderligere betingelser for geometrien inkluderer, at de 2-overflader, som er tangente til de principielle null-retninger, skal have ortogonale 2-overflader.
Når disse betingelser er opfyldt, kan metrikkerne præsenteres i et koordinatsystem, som er defineret op til visse transformationer, som inkluderer ændringer i de tids- og rumlige koordinater. Hvis disse betingelser opfyldes, findes der koordinater, hvor metrikken har den ønskede form, og løsningerne svarer til de oprindelige Szekeres løsninger i den specifikke situation, hvor p = 0. Det er i denne situation, at de Szekeres–Szafron metrikkerne, der stammer fra de specifikke antagelser, giver de mest nyttige resultater for forståelsen af det kosmologiske univers.
For at forstå hvordan disse metrikker påvirker kosmologien, er det nødvendigt at analysere løsningerne af den relevante ligning (20.59), som i tilfælde hvor kosmologisk konstant Λ er forskellig fra nul, involverer elliptiske funktioner. Løsningerne kan føre til en evolution af universet, der enten undgår en Big Bang singularitet, eller som ved visse betingelser vil forudsige, at en sådan singularitet indtræffer i den kosmiske udvikling. Når M er positiv, antages løsningerne at give et fysisk meningsfuldt resultat, men for M negativ og med passende valg af k eller Λ, bliver de matematiske løsninger mere komplekse og kræver yderligere overvejelser.
Desuden, når Λ = 0, kan løsningerne af ligningerne (20.59) og (20.60) give den velkendte Szekeres model, der repræsenterer en mere simpel form for den generelle kosmologiske udvikling. Løsningerne her er analoger til de klassiske Friedmann-ligninger, og afhængigt af de valgte initialbetingelser og parametre kan de beskrive et univers, der enten er statisk, ekspanderende eller kollapsende. I denne kontekst viser det sig, at M bliver en vigtig parameter, og det kan overvejes, om universet vil udvikle sig mod et de Sitter-univers, hvilket er et univers, der er præget af en konstant kosmologisk konstant.
Det er vigtigt at forstå, at Szekeres–Szafron-metrikkerne ikke kun giver en matematisk model for universets geometri, men også har dybere implikationer for, hvordan vi opfatter universets struktur og udvikling. De illustrerer, hvordan et kosmologisk univers kan eksistere med varierede geometrier, som stadig opfylder de grundlæggende krav for relativistisk kosmologi.
Hvordan den Kerr-metrik beskriver singulariteter og observerbar fysik
I den generelle relativitetsteori er løsninger til Einstein-ligningerne, som beskriver gravitationen i nærvær af massive objekter, essentielle for vores forståelse af kosmiske fænomen. En sådan løsning er Kerr-metrikken, som beskriver et roterende sort hul. Et af de centrale træk ved Kerr-metrikken er dens håndtering af singulariteter, specielt i nærheden af det såkaldte "stationære limit-hypersurface" (r = r±). Denne overflade har en særlig betydning, da den adskiller regioner, hvor stationære observatører ikke kan eksistere, fra områder, hvor de kunne.
I den klassiske Schwarzschild-metrik har man en singularitet ved r = 0, hvor metrikken bliver udefineret, hvilket afspejler et sort hul med en enkelt, sfærisk symmetri. I Kerr-metrikken, derimod, forekommer der en mere kompleks struktur, da metrikken beskriver et sort hul med både masse og spin. Denne løsning med spin har et ekstra lag af kompleksitet, da den involverer ikke bare gravitationens indvirkning, men også et fænomen kaldet "frame dragging", hvor tids- og rumdimensionerne bliver trukket med i rotationen.
Et centralt aspekt ved Kerr-metrikken er, hvordan den beskæftiger sig med singulariteter, som ikke kun er defineret i form af den centrale singularitet ved r = 0, men også gennem de singulariteter, der kan opstå i nærheden af den stationære grænse. For at forstå disse singulariteter korrekt, er det nødvendigt at tage højde for koordinatsystemet og de transformationer, der gør det muligt at forstå den fysiske betydning af disse grænseflader. Carter (1973) påpegede, at disse singulariteter ikke nødvendigvis er fysiske, men snarere resultatet af den anvendte koordinatbeskrivelse. En vigtig observation er, at observere i B–L koordinater (der indfører r, ϑ, φ som stationære variabler) vil opdage, at der ikke kan findes stationære observatører, når g00 ≤ 0, hvilket betyder, at det ikke er muligt at have en stationær tilstand i områder med meget stærk gravitation, som dem tættere på singulariteterne.
Kerr-metrikken præsenterer også et andet væsentligt fænomen: frame dragging. Dette er det fysiske fænomen, hvor rumtiden omkring et roterende objekt er "trukket med" rotationen af objektet, hvilket betyder, at også lys og partikler påvirkes af objektets bevægelse. Denne effekt gør det umuligt for objekter i disse regioner at forblive stationære, uden at de bevæger sig med lysets hastighed eller hurtigere. I områder hvor Δr < 0, bliver r-koordinaten tid, hvilket forhindrer et materielt objekt i at forblive stationært.
Selvom der er mange områder, hvor observerbare effekter kan studeres, er den stationære grænse et af de mest fascinerende aspekter af Kerr-metrikken. Det er ved denne grænse, at fysikken ændrer sig dramatisk. Ligesom i Schwarzschild-metrikken, er ingen materialle objekter i stand til at opretholde konstant r i disse regioner, og fysiske objekter bliver tvunget til at følge bestemte bevægelsesveje for at opretholde deres tilstand.
En interessant effekt opstår, når ϑ nærmer sig π/2 og når r < 0. Her bliver φ-koordinaten en tidslig koordinat, og de geometriske linjer af konstant t, r og ϑ bliver timelike. Det betyder, at en observer, der forsøger at forblive stationær i disse regioner, nødvendigvis vil blive trukket i en tidslig kurve, hvilket fører til dannelsen af "lukkede timelike kurver", som betyder, at der teoretisk kan eksistere tidsrejser i disse områder.
Det er nødvendigt at forstå, at disse effekter ikke kun er et produkt af de matematiske ligninger, men har dybtgående fysiske implikationer for, hvordan vi opfatter tid, rum og kausalitet nær et sort hul. Singulariteter i Kerr-metrikken er ikke nødvendigvis reelle fysiske singulariteter, men snarere konsekvenser af valget af koordinater og de metoder, der anvendes til at beskrive gravitationsfelterne.
Det er også vigtigt at overveje, hvordan dette relaterer sig til observerbare fænomener. Frame dragging kan forklare en række astrofysiske observationer, såsom de underlige bevægelser af stjerner i nærheden af roterende sorte huller. Desuden, mens den teoretiske struktur af Kerr-metrikken giver os en kompleks forståelse af gravitationen i disse ekstreme forhold, er det også nødvendigt at erkende de udfordringer, der er forbundet med at observere disse fænomener direkte, da de kræver ekstremt præcise målinger og observationer, ofte langt ud i det kosmiske rum.
Hvordan udvikles densiteten og hastigheden i Lemaître-Tolman modellen?
I Lemaître-Tolman (L-T) geometrien beskrives udviklingen af den kosmiske struktur ved hjælp af densitets- og hastighedsfordelinger, hvor masse M fungerer som den radiale koordinat. De grundlæggende antagelser om udviklingen af den kosmiske struktur indebærer, at vi arbejder med to specifikke tidspunkter og , hvor , og de tilsvarende densiteter og bestemmes på disse tidspunkter. Disse densiteter beskriver, hvordan materien er fordelt i rummet ved de givne tidspunkter og bruges til at beregne de relevante radiale afstande , som afspejler udvidelsen af materien over tid.
For at finde ud af, hvordan materien udvikler sig fra til , er det nødvendigt at overveje, hvordan den radiale afstanden ændrer sig mellem disse tidspunkter. Antagelsen om, at , betyder, at materien udvider sig mellem og . Det er nødvendigt at analysere den bagvedliggende fysik i forhold til energiindholdet i systemet, som er karakteriseret ved parametrene eller .
I tilfælde hvor , kan vi beskrive udviklingen af systemet ved hjælp af de såkaldte L-T ligninger, som giver os mulighed for at beregne den eksakte udvikling af radiale afstande i tid. Denne udvikling udtrykkes gennem parametre, som afhænger af tidens forskelle og massens fordeling. En vigtig del af denne analyse er at forstå, at for , vil ligningen for udviklingen af materiens densitet og radiale afstand (som beskrevet af ligning ) have en løsning, hvis og kun hvis visse uligheder er opfyldt. Disse uligheder sikrer, at udvidelsen af materien mellem og sker hurtigt nok, således at vi undgår situationer som skalekryds, der ville gøre modellen fysisk inkonsistent.
For , hvor systemet beskriver en kontraktion snarere end en udvidelse, skal vi betragte flere forskellige tilfælde, afhængig af om den afsluttende tilstand stadig er i udvidelse eller allerede er begyndt at kollapsere. I begge tilfælde kan vi udlede ligninger for, hvordan de relevante parametre udvikler sig, og igen er det afgørende at sikre, at de rigtige uligheder er opfyldt, således at modellen forbliver fysisk konsistent og undgår shell crossings.
Når vi ser på hastighedsudviklingen i stedet for densiteten, bliver en praktisk målestok for ekspansionen , som er uafhængig af massen i det Friedmann-ligningsmæssige tilfælde, og dermed giver en målestok for inhomogeniteter i rumtiden. Ved at kombinere denne hastighedsudvikling med densitetsfordelingerne ved de to tidspunkter kan vi udlede betingelser for, hvordan systemet skal udvikle sig mellem og under hensyntagen til både positive og negative energier.
I den praktiske anvendelse af disse teorier er det vigtigt at forstå, at L-T modellen kan beskrive både udvidelse og kollaps af materien, og at valget af vil bestemme den konkrete udvikling af systemet. Desuden er det nødvendigt at sikre, at alle betingelser og uligheder i de relevante ligninger er opfyldt for at undgå fysiske problemer som shell crossings eller et forkert energiforbrug. Det betyder, at selv om løsningerne af de relevante ligninger kan give os en beskrivelse af materiens udvikling, skal vi altid tjekke for, om de specifikke betingelser for den fysiske konsistens er opfyldt.
Det er også vigtigt at bemærke, at mens repræsenterer et særligt tilfælde, hvor modellen i praksis ikke nødvendigvis er udviklet, kan det være nødvendigt at overveje det som en grænsetilfælde. I de fleste tilfælde vil der være behov for at arbejde med eller , og det er gennem forståelsen af disse, at vi kan få en nøjagtig beskrivelse af, hvordan materien i universet udvikler sig fra et tidspunkt til et andet.
Endelig skal det understreges, at den komplette forståelse af disse modeller også kræver, at vi inddrager potentielle problemer som skalaeforvrængning og inkompatible initialbetingelser, som kan føre til shell crossings eller andre uønskede fysiske fænomener, som vil kræve yderligere analyse og eliminering.