Kosmologisk konstant, ofte betegnet som Λ, har været genstand for intens diskussion og forskning inden for både teoretisk fysik og kosmologi. Introduktionen af Λ i Einsteins ligninger var et forsøg på at forklare et statisk univers, som man i sin tid mente var den gældende model for det kosmiske system. Imidlertid, efter flere årtiers udvikling, har forståelsen af denne konstant gennemgået markante ændringer, som har fået os til at stille nye spørgsmål om universets dynamik og fremtid.

En af de første konsekvenser af tilføjelsen af Λ var den opfattelse, at den kunne være en universel tiltrækning (for Λ > 0) eller frastødning (for Λ < 0) af materiepartikler. I de modificerede ligninger blev det muligt at finde en statisk, homogen og isotrop løsning, der kunne beskrives af metrikken (12.82). Denne løsning var en tid betragtet som et muligt billede af universets struktur, men senere blev det klart, at dette ikke var en nøjagtig afspejling af virkeligheden, men snarere en matematisk konstruktion.

Det er netop her, at Einsteins berømte udtalelse om den kosmologiske konstant som den "største fejltagelse" i hans liv træder frem. I sin tid introducerede han konstanten for at bevare et statisk univers, hvilket senere blev betragtet som en fejl, da universets udvidelse blev bekræftet af Hubble. Hvis Einstein ikke havde været så fast besluttet på at opretholde ideen om et statisk univers, kunne han have forudset universets udvidelse elle sammenbrud før opdagelsen af denne.

Kosmologisk konstant har siden fået en større opmærksomhed blandt partikelfysikere end blandt specialister i relativitet. Observationer af supernovaers lysstyrke tyder på, at Λ faktisk er negativ. Selvom dens absolutte værdi er utroligt lille, mindre end 10^−50 cm^−2, kan den spille en rolle i universets evolution. I vores solsystem er dens indflydelse imidlertid ikke mærkbar på planeternes bevægelse.

Der er mange løsninger på de modificerede Einstein-ligninger, både inden for materiefordelinger og i vakuum. Et eksempel på en præcis løsning af Einstein-ligningerne kan findes i det, vi kalder Bianchi-type I rumtidsløsningen med en støv-kilde. I denne løsning antager vi, at rumtiden er rumligt homogen, hvilket betyder, at den har en høj grad af symmetri. Kilderne i denne ligning er støv, og vi antager, at den kosmologiske konstant er nul. En løsning som denne kan være et interessant udgangspunkt for at forstå universets udvikling under bestemte betingelser.

Det er vigtigt at forstå, at selvom det er vanskeligt at finde generelle løsninger på Einstein-ligningerne, er det ikke umuligt. Denne vanskelighed stammer fra ikke-lineæriteten i ligningerne. I relativitetsteori er sammensætningen af løsninger ikke simpelthen summen af de enkelte løsninger, som det ville være i klassisk fysik. Derfor hjælper det ikke nødvendigvis at finde en løsning i et specifikt tilfælde, da det ikke nødvendigvis gør det lettere at finde løsninger i mere generelle tilfælde. På trods af dette er et stort antal løsninger allerede blevet opdaget, især for specielle situationer med høj symmetri eller særlige kilder.

Løsningen af Einstein-ligningerne med en støv-kilde og en Bianchi-type I symmetri giver et godt eksempel på, hvordan man kan anvende metoder til at finde eksakte løsninger, selvom det stadig er en kompleks opgave. Ved at vælge koordinater, som gør det muligt at udnytte symmetrien, kan vi forenkle udregningerne og få et klart billede af, hvordan universet kunne opføre sig under disse forhold. Dette er et af de centrale temaer i teoretisk kosmologi, da det giver os indsigt i, hvordan forskellige faktorer som symmetri og stofdistribution kan forme rumtiden.

Når vi ser på de specifikke udregninger og de metrikker, der anvendes i sådanne løsninger, er det klart, at det er muligt at modellere komplekse kosmologiske systemer og udlede vigtige forhold for deres udvikling. De matematiske resultater, der opnås gennem sådanne metoder, viser os den dybde og kompleksitet, der ligger i Einstein-ligningerne, men også hvordan disse kan anvendes til at forstå universets struktur og udvikling.

Det er også væsentligt at forstå, at løsninger på Einstein-ligningerne ikke altid nødvendigvis giver os en fysisk fortolkning af universet i sin helhed. Forståelsen af kosmos kræver en integreret tilgang, hvor man både ser på matematiske løsninger og de fysiske forhold, der er til stede i rummet. Det er her, forskningen i den kosmologiske konstant og dens indvirkning på universets ekspansion spiller en afgørende rolle i at udvide vores forståelse af de kræfter, der former kosmos.

Hvordan relativitetsteori beskriver planeternes baner i solens gravitationsfelt

I relativitetsteori, ligesom i Newtons teori, antages det, at planeterne i deres bevægelse på banerne opfører sig som punktmasser, mens deres egne gravitationsfelter er svage og kan forsømme i sammenligning med solens gravitationsfelt. Disse to antagelser står dog i konflikt med hinanden. Gravitationsfeltet af en punktmasse er singulart ved massens position og derfor stærkere end ethvert ydre felt. I Newtons teori løses denne vanskelighed ved at observere, at tyngdepunktet af enhver udstrakt krop følger den samme bane som en punktmasse, der ikke har nogen selvgravitation. Ved tyngdepunktet forsvinder kroppens eget gravitationsfelt. I relativitetsteorien findes der endnu ikke en generelt accepteret definition af tyngdepunktet, selvom der arbejdes på dette problem (se f.eks. Dixon, 2015). Derfor, når vi overvejer banerne af punktmasser i relativitet, udvider vi teorien til et område, hvor det endnu ikke er fuldt udviklet. Ikke desto mindre stemmer de opnåede resultater med de observationelle tests.

Vi antager, at solens gravitationsfelt er sfærisk symmetrisk, at rummet omkring solen ikke indeholder elektromagnetiske felter, og at den kosmologiske konstant er nul. Dette betyder, at rumtiden vil blive beskrevet ved den metriske form (14.40) – (14.42). Planeternes baner skal være tidslige geodesikker i denne rumtid og dermed løsninger af (5.14), hvor derivatet D/ds beregnes langs geodesikken. Ved at kontraktere (5.14) med gαβd(xβ/ds og bruge (5.14) får vi

Dds(dxαds)=0⇒gαβdxαdsdxβds=konstant.\frac{D}{ds}\left(\frac{dx^\alpha}{ds}\right) = 0 \Rightarrow g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} = \text{konstant}.

Dette betyder, at størrelsen ℓ = gαβ (dxα/ds) dxβ/ds er konstant langs hver geodesik. Dette indebærer, at dens tegn ikke kan ændre sig under bevægelsen; en geodesik er derfor tidslig (ℓ > 0), nul (ℓ = 0) eller rumlig (ℓ < 0) gennem hele sin længde. Den affine parameter s er bestemt op til inhomogene lineære transformationer, så for tidslige geodesikker kan den skaleres, så dxαdsdxβds=1\frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} = 1. Denne affinerede parameter er s = c × (den fysiske tid), hvor c er lysets hastighed. På banen ønsker vi at bruge de fysiske enheder, så i det følgende vil vores tidskoordinat være ct.

For en sfærisk symmetrisk gravitationsfelt i en rumtid beskrevet af de givne metriske former er Christoffel-symbolerne for denne metrik givet som:

Γαβμ=(0m111mr2(1−2mr)1−mc22mc20−1)\Gamma^\mu_{\alpha \beta} =
\begin{pmatrix} 0 & m & 1 & 1 \\ 1 & \frac{m}{r^2} (1 - \frac{2m}{r}) & 1 & -\frac{m}{c^2} \\ 2 & \frac{m}{c^2} & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}

Disse symboler bruges i de geodesiske ligninger, som styrer bevægelsen af objekter i solens gravitationsfelt. Hvis vi ser på bevægelsen af et objekt, kan de relevante geodesiske ligninger for tidslige bevægelser i denne metrik skrives som:

d2tds2+2mr2dtds=0,\frac{d^2t}{ds^2} + \frac{2m}{r^2} \frac{dt}{ds} = 0,
d2rds2+mc2(1−2mr)dtds2−1r2drds=0,\frac{d^2r}{ds^2} + \frac{m}{c^2} \left( 1 - \frac{2m}{r} \right) \frac{dt}{ds}^2 - \frac{1}{r^2} \frac{dr}{ds} = 0,
d2θds2+2mr3dθds=0,\frac{d^2\theta}{ds^2} + \frac{2m}{r^3} \frac{d\theta}{ds} = 0,
d2ϕds2+2cot⁡θdϕds=0.\frac{d^2\phi}{ds^2} + 2\cot{\theta} \frac{d\phi}{ds} = 0.

Når vi betragter disse differentialligninger, er det især vigtigt at bemærke, at J0, som repræsenterer den initiale vinkelmomentum, er en konstant. I det tilfælde, hvor J0 er nul, bevæger planeten sig direkte mod solens centrum, og den radiale bane er den eneste mulige løsning.

For en planet med ikke-nul J0, får vi følgende ligning, der beskriver planetens bane:

d2σdϕ2+σ=3σ2.\frac{d^2\sigma}{d\phi^2} + \sigma = 3 \sigma^2.

Denne ligning er et eksempel på, hvordan en relativistisk bane adskiller sig fra den Newtonianske. I relativitetsteori forekommer der en ekstra term, som gør det muligt at beskrive effekter som præcession af perihelionet. Ved at introducere den dimensionløse parameter α, som er en funktion af solens gravitationsfelt, får vi en ligning, der i Newtons grænse bliver den velkendte form for Keplers love.

Endvidere kan vi se, at i den relativistiske model vil den præcessionsvinkel, som planetens bane undergår, ikke kun være et resultat af solens gravitationsfelt, men også af den r

Hvordan bøjes lyset i nærheden af massive legemer?

Når lys bevæger sig i nærheden af et massivt legeme som en stjerne, krummer dets bane sig på grund af den krumning af rumtiden, som legemets masse forårsager. Dette fænomen, som er en konsekvens af Einsteins generelle relativitetsteori, kan beskrives ved hjælp af geodætiske ligninger i Schwarzschild-geometrien – den løsning af Einsteins feltligninger, der beskriver det ydre rum omkring en statisk, sfærisk masse.

I Schwarzschild-rammen reduceres problemet med lysbanens afbøjning til løsningen af ligninger for nullgeodæter, hvor metrikken gαβ og kravet om at linjeelementet for lys er nul, danner fundamentet:

gαβdxαdsdxβds=0g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{ds} \frac{dx^\beta}{ds} = 0
Her er ss ikke tiden, men en vilkårlig parameter langs lysbanen.

Efter delvis integration af geodætiske ligninger for radial og vinkelret bevægelse, får vi en ligning, som relaterer lysbanens radialkoordinat rr til vinklen ϕ\phi. Ved at transformere til σ=1/r\sigma = 1/r, reduceres problemet til en ikke-lineær differentialligning:

d2σdϕ2+σ=ασ2\frac{d^2\sigma}{d\phi^2} + \sigma = \alpha \sigma^2
hvor α=3m=3GMc2\alpha = 3m = \frac{3GM}{c^2}, og MM er massen af det centrale legeme.

Den første løsning, i den newtonske grænse, er simpelthen en ret linje, svarende til:

1r=1Rcos⁡(ϕ−ϕ0)\frac{1}{r} = \frac{1}{R} \cos(\phi - \phi_0)
Dette beskriver en lysstråle, der passerer forbi det massive legeme med mindste afstand RR.

Men når relativistiske korrektioner inkluderes – altså når der tages hensyn til krumningen af rumtiden – får vi en førsteordens korrektion til løsningen:
1r=1Rcos⁡(ϕ−ϕ0)+α3R2(1+sin⁡2(ϕ−ϕ0))\frac{1}{r} = \frac{1}{R} \cos(\phi - \phi_0) + \frac{\alpha}{3R^2} (1 + \sin^2(\phi - \phi_0))

Denne korrektion bevirker, at lysbanen ikke længere er en ret linje, men en kurve, der har to asymptoter med en indbyrdes vinkel. Denne vinkel mellem ind- og udgående retninger af lysbanen er defineret som afbøjningsvinklen, Δϕ\Delta\phi, og i første relativistiske approksimation fås:
Δϕ=4GMc2R\Delta\phi = \frac{4GM}{c^2 R}
Dette er et af de mest berømte resultater fra den generelle relativitetsteori. Det blev for første gang bekræftet under solformørkelsen i 1919, hvor man observerede, at stjerner tæt på Solens rand syntes forskudt fra deres egentlige positioner.

En udbredt misforståelse, som stadig findes i litteraturen, er idéen om at kunne udlede lysafbøjningen ved at anvende Newtons tyngdekraft kombineret med særlige relativistiske antagelser – som f.eks. at fotonen har en effektiv masse. Resultatet herfra giver en afbøjning på:

Δϕ=2GMc2R\Delta\phi = \frac{2GM}{c^2 R}
Dette er kun halvdelen af den korrekte værdi og illustrerer, at sammenblanding af teorier uden hensyn til deres indre konsistens fører til forkerte resultater. Fysikkens teorier må anvendes konsekvent, hver for sig.

I praktiske observationer, som dem foretaget for lysstråler der lige netop passerer forbi Solens rand, kan vi sætte R≈6.96×1010R \approx 6.96 \times 10^{10} cm. Dette giver en teoretisk forudsagt afbøjningsvinkel på 1.75 buesekunder – præcis hvad man observerede. For andre stjerner er præcisionen i målingerne af MM og RR utilstrækkelig, og afbøjningsvinklerne alt for små til at kunne detekteres med nutidens metoder. Planeter har endnu mindre masse og afbøjningseffekten fra dem er uden for målbarhedens grænse.

Det er vigtigt at bemærke, at den udledte formel kun gælder i den svage feltgrænse – altså når afstanden til det massive legeme er stor sammenlignet med dets gravitationelle radius GM/c2GM/c^2. For lysstråler der passerer tæt på sorte huller eller neutronstjerner, hvor denne betingelse ikke opfyldes, bryder approksimationen sammen og mere komplekse løsninger – ofte kun opnåelige med computerassistance – bliver nødvendige.

Et væsentligt aspekt er også, at selv o

Hvordan man maler regn: Teknikker og praksis
Hvordan Donald Trump repræsenterer sociale og psykologiske dynamikker i amerikansk politik og magt
Hvordan forbereder man sig til adfærdsmæssige interviews som softwareingeniør?
Hvordan de gamle indiske tekster afspejler både religiøse og historiske realiteter
Hvordan fungerer Angular YouTube Player, og hvilke muligheder giver den?