Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
I et polynomering S = Z[xij : i, j = 1, . . . , n], betragter vi en n × n matrix X = (fij) hvor elementerne er defineret som følger:
x_{ij} & \text{hvis} \, i \neq i_2, \\ x_{i1,j} & \text{hvis} \, i = i_2. \end{cases} \] Med andre ord, de i1-te og i2-te rækker i matrixen X er identiske. Hvis vi bytter disse to rækker, ændres matrixen ikke, hvilket betyder, at \(\text{det}(X) = -\text{det}(X)\). Dette medfører, at \(2 \cdot \text{det}(X) = 0\). Da S er et integralt domæne med karakteristik 0, konkluderer vi, at \(\text{det}(X) = 0\). Hvis vi nu ser på en matrix A, hvor den i1-te og i2-te række er identiske, kan vi anvende en ringhommomorfisme \(\phi : S \to R\), der sender \(x_{ij}\) til \(a_{ij}\) for alle \(i\) og \(j\). Da får vi følgende forhold: \[ \text{det}(A) = \text{det}(\phi(fij)) = \phi(\text{det}(X)) = \phi(0) = 0.Denne egenskab gør det muligt at forstå, at hvis to rækker i en matrix er identiske, vil determinanten være nul, hvilket er en fundamental egenskab ved determinantberegning.
For at forstå, hvordan dette hænger sammen med matrixoperationer, er det nyttigt at overveje hvordan elementer i en matrix påvirker determinanten gennem operationer som rækkeudvekslinger, skalarmultiplikationer og rækkeadditioner. Hvis vi bytter to rækker i en matrix, ændres determinanten med et tegn, og hvis vi tilføjer en skalarmultiplikation af en række til en anden, ændres determinanten med den relevante faktor. Men når der er identiske rækker, er ændringen nul, og determinanten vil derfor være nul.
Denne forståelse af determinanter kan hjælpe med at forenkle mange beregninger, især når man arbejder med større matricer, hvor det er lettere at finde lignende rækker eller kolonner og derfor hurtigt konkludere, at determinanten er nul uden at udføre komplekse beregninger.
I eksemplet på determinanten af en matrix, der består af både nul- og ikke-nul-elementer, som i eksemplet med matrixen A, kan vi anvende faktorisering i kolonner og rækker. Dette hjælper os med at reducere matricen til en enklere form, hvor determinanten let kan beregnes, og illustrerer hvordan ændringer i en matrixs elementer påvirker dens determinant.
Væsentlige egenskaber som disse er vigtige at forstå i dybden, da de gør beregningen af determinanter langt mere håndterbar, især i forbindelse med matricestrukturer som triangulære matricer, hvor determinanten er produktet af de diagonale elementer, eller ved Vandermonde matricer, hvor determinanten har en specifik formel baseret på forskellen mellem elementerne.
Hvordan finder man determinanten og den inverse af en matrix over en ring?
En kvadratisk matrix over en ring R kan være langt mere kompleks at analysere end over et felt, især fordi ikke alle elementer i R nødvendigvis har multiplikative inverse. Når vi ønsker at undersøge, om en matrix er invertibel, og hvordan man konkret kan finde dens inverse, må vi derfor starte med en grundlæggende forståelse af determinanter, kofaktorer og adjungerede matricer, alt sammen defineret i konteksten af en ring.
Determinanten af en kvadratisk matrix A ∈ Mn(R) defineres gennem rekursiv udvidelse, kaldet kofaktorudvikling. Givet A = (aᵢⱼ), hvor 1 ≤ i, j ≤ n, kaldes Mᵢⱼ den (n-1)×(n-1) minor, som fremkommer ved at fjerne i-te række og j-te søjle fra A. Kofaktoren Aᵢⱼ defineres som (−1)ⁱ⁺ʲ·det(Mᵢⱼ). Determinanten af A kan herefter udtrykkes som summen aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ for en fast række i, eller analogt for en søjle j. Denne udvikling har afgørende betydning for strukturelle egenskaber af matricen.
Et vigtigt resultat, som følger af denne definition, er at determinanten af en matrix med to identiske rækker (eller søjler) er nul, hvilket betyder, at hvis en række i A erstattes med en identisk række, så vil determinanten forsvinde. Det leder videre til en konsekvens, som ofte benævnes ortogonalitet mellem rækkernes og søjlernes kofaktor-udtryk: Hvis i ≠ k, da er summen ai₁Ak₁ + ai₂Ak₂ + … + aiₙAkₙ = 0. Den samme relation gælder for søjler. Disse egenskaber spiller en central rolle i teorien bag adjungerede matricer.
Den adjungerede matrix, adj(A), defineres som transponeret kofaktormatrix: adj(A) = (Aⱼᵢ). Når man multiplicerer en matrix med dens adjungerede fra højre eller venstre, får man A·adj(A) = adj(A)·A = det(A)·Iₙ. Herfra ses det straks, at hvis determinanten er en enhed i ringen R (det vil sige, at der findes et element i R som er dets multiplikative inverse), så er matricen invertibel, og den inverse gives eksplicit som A⁻¹ = (detA)⁻¹·adj(A).
Men dette udtryk for inversen er primært teoretisk. I praksis er det ofte upraktisk at beregne adjungerede matricer, især for højere dimensioner, da det kræver computation af mange determinanter for mindre matricer. Ikke desto mindre er udtrykket nyttigt i bevisførelse og i karakterisationer af invertible matricer over generelle ringe.
Ved at udvide matricen A med en ekstra række og søjle og indsætte et enkelt element a på diagonalen, vises det, at determinanten af den nye matrix B bevarer forholdet det(B) = a·det(A). Dette er et nyttigt lemme, som ofte benyttes i beviser og konstruktioner. Det fungerer som grundlag for forskellige algebraiske transformationer, især når man arbejder rekursivt eller i bevisførelser ved induktion.
En særlig bemærkning gælder for ringen Z eller polynomringen Q[x], hvor det er muligt – selv uden adgang til et felt – at udføre elementære rækkeoperationer for at bringe en matrix på reduceret række-echelon form. Denne form er unik og bevares under rækkeoperationer, og herigennem kan man verificere invertibilitet og finde inversen for visse matricer.
Endelig skal det bemærkes, at selvom resultatet BA = Iₙ nødvendigvis implicerer AB = Iₙ i Mn(R), så kræver dette, at determinanten er en enhed. Hermed ses, at venstre- og højreinverse er ens i Mn(R), forudsat at det gælder, at det(A) er invertibel i R.
Det er vigtigt for læseren at forstå, at selvom koefficientringen R ikke nødvendigvis er et felt, kan mange egenskaber og metoder fra lineær algebra over felter generaliseres – med visse forbehold – til ringer. Men netop fordi ikke alle ikke-nul elementer i en ring har inverse, må man være særlig varsom med at anvende sætninger og teknikker, som i felttilfældet er trivielt sande.
Determinantens rolle som test for invertibilitet er central, men det er afgørende at forstå, hvad det vil sige, at et element i en ring er en enhed. I Z er kun ±1 enheder, mens i Z[i] (de hele Gaussiske tal) er både 1, −1, i og −i enheder. Denne forskel har konkret betydning for, hvornår en matrix over disse ringe kan inverteres.
Hvordan U⊗F W → V⊗F W er injektiv
Lad , og være -vektorrum, hvor er en underafdeling af . Vi ønsker at vise, at afbildningen er injektiv.
Tensorproduktet er en operation, der kombinerer to vektorrum eller moduler over et ring til et nyt objekt, der rummer information om begge rum samtidig. Når vi ser på et tensorprodukt som og , skaber vi nye vektorrum, hvor elementerne fra og (eller og ) er "kombineret" i en bestemt struktur.
For at vise, at afbildningen er injektiv, skal vi bevise, at hvis et element i går til nul i , så skal dette element selv være nul.
Trin 1: Struktur af tensorprodukterne
Da er en underafdeling af , kan vi se, at hvert element i er af form , hvor og . Ligeledes vil hvert element i være af form , hvor og .
Trin 2: Induktiv konstruktion af afbildningen
Trin 3: Injicitet af afbildningen
For at bevise injektivitet, antag at et element bliver sendt til nul i . Det betyder, at i . Da , må dette betyde, at (hvis ), eller at (hvis ).
Dermed har vi, at medfører eller , hvilket betyder, at hvis et element i afbildes til nul, er dette element nødvendigvis nul i . Derfor er afbildningen injektiv.
Forståelse og yderligere overvejelser
For at få en dybere forståelse af injektivitet i forbindelse med tensorprodukter, er det nyttigt at overveje, hvordan tensorprodukterne er relateret til de underliggende rum. Når man arbejder med tensorprodukter af moduler eller vektorrum, spiller spørgsmålet om inklusion og dets virkning på det resulterende produkt en central rolle i, hvordan strukturen bevares under afbildningen.
Det er også vigtigt at bemærke, at det kun er en specifik type afbildning (den naturlige inklusion), som i dette tilfælde er injektiv. I mere generelle sammenhænge med tensorprodukter er injektivitet ikke altid garanteret, og det kan kræve yderligere strukturelle betingelser.
Yderligere overvejelser kunne inkludere, hvordan tensorprodukters distributivitet og associering spiller en rolle i bevistet, og hvordan disse egenskaber kunne udnyttes i mere komplekse matematiske sammenhænge. Det er også nyttigt at reflektere over, hvordan injektiviteten af afbildningen i dette tilfælde er relateret til egenskaber ved de oprindelige vektorrum og deres forhold.