Kan Shell Crossing Undgås i Ruban Modellen?

I Ruban modellen beskrives en type singularitet, der opstår, når funktionen $e^{A/2} = 0$. Dette er en typisk shell crossing, som findes i flere kosmologiske modeller, herunder det klassiske Schwarzschild rumtidsmetrik. I modellen ser man, at når radial koordinat $R$ varierer mellem to værdier, $R^{ - }$ og $R^{+}$, opstår der nødvendigvis en shell crossing et eller andet sted mellem disse to værdier. Dette skyldes, at udtrykket under kvadratrodstegnet i ligning (19.113) bliver nul på grænserne for området $R^{ - }$ og $R^{+}$, hvilket fører til, at $e^{A/2}$ skifter tegn. Uanset hvordan funktionerne $X(r)$ og $Y(r)$ vælges, vil et shell crossing altid opstå.

Det er muligt at forudse, at sådanne shell crossings vil forstyrre den radiale bevægelse af materie i modellen. For eksempel, når $R$ bevæger sig gennem området, vil skallen på et tidspunkt kollidere med sig selv før den fuldfører sin cyklus af udvidelse og sammentrækning. Dette betyder, at et objekt i en sådan model ikke vil kunne gennemgå en hel oscillerende cyklus uden at blive påvirket af shell crossings.

Der er en mulighed for at forhindre shell crossings ved at pålægge et tryk med en gradient i den radiale retning. Men sådanne løsninger er endnu ikke blevet fundet i litteraturen. Hvis vi ser på det ubelastede tilfælde, hvor $Q = 0$, omdannes den ladede Ruban løsning til den neutrale Datt-Ruban løsning. I dette tilfælde viser det sig, at modellen gennemgår en Big Bang / Crunch-singularitet, hvor $R = 0$ både i begyndelsen og slutningen af dens cyklus. Dette kan beskrives ved ligningen:

hvor $\eta$ er en parameter, der beskriver cyklusens fase. Når $R = 0$, står vi overfor en Big Bang-singularitet, og udvidelsen af modellen starter herfra. Under den første del af cyklussen vokser $R$ til en maksimal værdi, $2M$, og derefter begynder det at kontrahere tilbage mod 0, indtil det når slutningen af cyklussen. I denne model er det muligt at vælge funktionerne $X(r)$ og $Y(r)$, så det sikres, at der ikke opstår nogen shell crossings i hele cyklussen.

Disse resultater viser, at overgangen fra den ladede til den neutrale Ruban model ikke nødvendigvis er kontinuerlig. I overgangsfasen, hvor ladningen $Q$ nærmer sig 0, ser man en diskontinuitet, der ligner den overgang, der ses mellem Schwarzschild- og Reissner-Nordström-løsningerne. Den ubelastede Ruban rumtid har også en begrænset eksistensperiode, svarende til Kruskal-Szekeres diagrammet mellem de to singulariteter.

Det er også værd at bemærke, at selvom shell crossings kan forhindres i visse tilfælde, så afslører disse overvejelser den dybe kompleksitet ved at forstå de dynamiske egenskaber ved modeller som Ruban modellen. For en dybere forståelse er det nødvendigt at overveje ikke kun de geometriske egenskaber ved rumtiden, men også de fysiske betingelser, der kan føre til de forskellige typer singulariteter og hvordan de interagerer med materien i modellen.

Hvad er massedipolen i Szekeres-løsningerne og dens indvirkning på materiefordelingen?

I β,z ≠ 0 Szekeres-løsningen har massefordelingen over hver enkelt kugle med konstant t og z formen af en massedipol, der er superponeret med et monopol. Dette blev først bemærket af Szekeres i 1975, og senere generaliseret og forklaret detaljeret af de Souza i 1985. Den præsentation, vi følger her, bygger på de Souza’s arbejde, men er modificeret. Grundideen er at adskille udtrykket for materiedensiteten, som findes i (20.74), i en sfærisk symmetrisk del ϵs, der kun afhænger af t og z, og en ikke-symmetrisk Δϵ. Uden yderligere krav kan dette gøres på et uendeligt antal måder. De Souza opfandt en meningsfuld og unik separation.

Start med at lægge til og trække H(t, z)/Φ² på højre side af (20.74), hvor H(t, z) er en vilkårlig funktion, hvilket giver udtrykket ϵ = ϵs(t, z) + Δϵ(t, z, x, y). Her bliver den sfæriske symmetri del af densitet udtrykt som:

De yderligere krav på H vil nu gøre opdelingen unik. Transformationen af koordinaterne (x, y) til sfæriske polarkoordinater på en kuglesfære af radius 1, som er tangent til (x, y)-planet ved (x, y) = (0, 0), gør beregningerne lettere. Med transformationen som:

og den omformulerede funktion ℰ:

kan vi erstatte denne i udtrykket for Δϵ og analysere, hvordan den ændrer sig i de kvasi-sfæriske Szekeres løsninger.

Ved at bruge disse transformationer får vi en beskrivelse af massedipolen som et dipol-lignende bidrag til materiedensiteten. Dette gør det muligt at forstå hvordan materiefordelingen på de enkelte kuglesfærer kan ændre sig, afhængig af den lokale geometri og densitet. En af de vigtigste opdagelser her er, at hypotesen om Δϵ = 0 ikke kun beskriver en radikal ændring i materiedensiteten, men også involverer et kryds af en cirkulær flade i hver kuglesfære, hvilket indikerer en ændring i massefordelingen fra monopol til dipol.

Yderligere detaljer kan opnås ved at analysere de specifikke løsninger af Δϵ = 0 og deres betingelser for eksistens. Hvis P,z = Q,z = S,z = 0, betyder det, at densiteten bliver sfærisk symmetrisk, og dipolen forsvinder, hvilket er en vigtig observation i studiet af ikke-sfærisk symmetri i relativistisk kosmologi. Dette viser sig at være centralt for at forstå, hvordan massedipolen påvirker dynamikken i de kvasi-sfæriske løsninger.

For videre at forstå relationen mellem det absolutte apparente horisont (AAH) og det apparente horisont (AH), som også spiller en rolle i Szekeres løsningerne, skal man indse at de to begreber er relaterede men ikke identiske. I de kvasi-sfæriske Szekeres modeller vil AH og AAH ikke nødvendigvis være sammenfaldende, men de giver vigtige informationer om, hvordan singulariteter og udvidelse opfører sig i den givne metrik.

Således illustrerer denne undersøgelse ikke kun de grundlæggende matematiske relationer i Szekeres geometrien, men viser også den dybere forbindelse mellem massefordeling, geometri og dynamik i relativistiske kosmologiske modeller. Studiet af dipolen som en ikke-sfærisk komponent i disse modeller er afgørende for en korrekt forståelse af ikke-homogene universer.

Hvad er geodesisk afvigelse og dens relation til krumning i relativitetsteorien?

I relativitetsteorien spiller geodesisk afvigelse en central rolle i forståelsen af, hvordan objekter bevæger sig i et krumt rum. Når man ser på to nabogeodeser (de korteste stier mellem to punkter i et krumt rum), kan man beskrive, hvordan de afviger fra hinanden. Dette sker gennem en matematisk relation kendt som geodesisk afvigelsesequation. Denne ligning giver en måde at beregne krumningen i et rum ved at måle de relative forskydninger af to objekter, der bevæger sig langs nærliggende geodeser.

Geodesisk afvigelse er et mål for, hvordan to nabogeodeser divergerer, konvergerer eller forbliver parallelle, afhængigt af rummet, de bevæger sig gennem. I et fladt rum uden torsion vil geodeserne enten divergere eller konvergere med en konstant hastighed, eller de vil forblive parallelle. Men i krumme rum eller rum med torsion bliver løsningen af geodesisk afvigelse langt mere kompleks. I sådanne tilfælde er det sjældent muligt at finde en eksplisit løsning af ligningen, og man er derfor ofte nødt til at bruge numeriske metoder eller perturbationsteori for at få en løsning.

I et fladt, torsionsfrit manifold, som beskriver et Euclidisk rum, simplificeres geodesisk afvigelsesequation. I dette tilfælde viser løsningen, at de relative forskydninger mellem to nabogeodeser vil ændre sig lineært med hensyn til afstanden langs geodesen. Men i manifolder med torsion eller krumning er løsningerne langt mere indviklede. For at finde løsningerne af geodesisk afvigelse i sådanne tilfælde benytter man ofte teknikker som numerisk integration eller små forstyrrelser omkring en gennemsnitlig løsning.

I forbindelse med afvigelse af geodeser spiller også torsion en rolle. Torsion refererer til en egenskab ved geometri, hvor paralleltransport af vektorer langs en lukket sti ikke nødvendigvis returnerer vektoren til sin oprindelige orientering. Dette aspekt af geometri har stor betydning i forhold til forståelsen af fysisk rumtidskrumning, især i forhold til teorier, der forsøger at beskrive fundamentale kræfter som gravitationen. Torsion kan forstyrre den måde, hvorpå geodeser adskiller sig, hvilket gør, at løsninger til geodesisk afvigelse kan blive endnu mere komplicerede i manifolder med torsion.

En anden væsentlig faktor i denne sammenhæng er de algebraiske og differentialidentiteter, som krumningstensoren undergår. Disse identiteter giver vigtige relationer mellem de forskellige komponenter i krumningstensoren og spiller en central rolle i den matematiske struktur, som beskriver et krumt rum. Det er specielt vigtigt at forstå, hvordan disse identiteter giver indsigt i de dynamiske egenskaber af rummet, som f.eks. bevægelsen af materialer og energier. For eksempel følger Bianchi-identiteterne fra kommutatorer af de anden covariante afledte og er fundamentale for den fysiske fortolkning af relativitetsteorien, da de sikrer, at de fysiske bevægelsesligninger af materielle medier følger naturligt fra feltligningerne og ikke behøver at blive postuleret separat.

Geometrien af manifolder, både flade og krumme, er således en grundlæggende del af relativitetsteoriens fundament. Når man studerer, hvordan objekter bevæger sig langs geodeser, og hvordan geodeser afviger fra hinanden i krum geometrisk rum, får man en bedre forståelse af, hvordan gravitation virker som en manifestation af rummet og tidens krumning. Krumningens egenskaber er ikke blot abstrakte matematiske koncepter, men fundamentale for at forstå universets struktur på både kosmologisk og mikroskopisk skala.

Dette er vigtigt, fordi det giver os mulighed for at afprøve teorier om gravitation i praksis og forstå, hvordan de forskellige kræfter, der virker i naturen, hænger sammen. For den, der ønsker at forstå relativitetsteorien på et dybere niveau, er det essentielt at have en solid forståelse af geodesisk afvigelse, dens relation til rumtidskrumning, og hvordan de matematiske identiteter, som krumningstensoren opfylder, forbinder teori og observation.

Hvordan optiske tensorer påvirker relativistisk kosmologi og deres betydning for dynamiske sorte huller

Når vi taler om optiske tensorer, skal vi først forstå, at en nullvektor, såsom $k^\alpha$, repræsenterer en lysstråle, der bevæger sig i et geodesisk felt. Dette felt antages ofte at være affint parametriseret, hvilket betyder, at vektoren $k^\alpha$ opfylder betingelsen $k_\nu k_\mu ; \nu = 0$. I stedet for at arbejde med denne affinte parametrisering, kan vi introducere accelerationen af lysstrålen som $\dot{k}_\mu$, som defineres som afledt af $k^\mu$ i forhold til den affinte parameter, hvilket giver os et udtryk for lysstrålens acceleration. Denne formalisering er vigtig, da den tillader os at arbejde med generelle løsninger, hvor accelerationen af lysstråler ikke nødvendigvis er nul.

Specifikt, $\omega_{\alpha\beta}$ måler, hvor meget retningen af lysstrålerne ændrer sig, mens $\theta$ måler den samlede ændring i området, som lyset dækker, og $\sigma_{\alpha\beta}$ beskriver den distorsion, som forekommer i lysstrålerne, som følge af krumning i rummet. Vigtige matematiske relationer, såsom:

gør det muligt at beregne disse tensorer i komplekse rumtider og forstå de fysikalske implikationer af lysstrålers bevægelse.

Det er især relevant at notere sig, at i statiske rumtider som Schwarzschild-metrikken, stemmer den apparente horisont overens med den egentlige horisont, men i dynamiske situationer, som for de sorte huller, der kontinuerligt suger materie til sig, kan disse to horisonter adskille sig. Dette belyser vigtigheden af den apparente horisont i forbindelse med observationer af sorte huller, som kan ændre sig over tid, afhængigt af systemets udvikling.

En anden vigtig egenskab ved de optiske tensorer er deres evne til at beskrive, hvordan lysstrålerne adskiller sig i forskellige områder af rumtiden, og hvordan dette påvirker den observerede struktur af f.eks. sorte huller eller kosmologiske objekter. Optiske tensorer gør det muligt at konstruere et såkaldt dobbelt-null tetrad, som består af et nullvektorfelt og dets komplekskonjugerede, der tilsammen danner et system, som kan beskrive alle de relevante fysiske egenskaber af rumtiden på en konsistent måde.

Denne tetradformalisering, kendt som Newman-Penrose formalismen, giver os kraftige værktøjer til at studere relativistiske kosmologiske systemer. For eksempel kan vi beskrive hvordan skæringen, rotationen og ekspansionen af lysstråler adskiller sig i forhold til en grundlæggende geometri, og hvordan disse variationer påvirker vores forståelse af kosmologiske fænomener som singulariteter og sorte hullers dynamik.

Endvidere er det vigtigt at forstå, hvordan de apparente horisonter adskiller sig fra de egentlige horisonter, især i dynamiske rumtider, da de apparente horisonter er et mere observerbart og praktisk koncept. En apparente horisont kan defineres som den ydre grænse af et område, hvor lukket fangede overflader findes, hvilket er et kritisk begreb i studiet af sorte huller, der absorberer nye mængder stof og ændrer deres masse. Dette adskiller sig fra den mere teoretisk definerede begreb om den egentlige horisont, som kræver en fuld forståelse af fremtidens udvikling af rumtiden.

Disse koncepter er ikke kun relevante for den teoretiske fysik, men har også praktiske anvendelser, når vi studerer sorte huller og universets struktur gennem observationelle data, såsom de, vi får fra teleskoper og kosmologiske målinger.

Hvordan skaber vi modeller for universets udvidelse og kontraktion i relativistisk kosmologi?

For tilfælde hvor den rumlige krumning $k > 0$, og $R > R_E$, er modellen enten ekspanderende fra en asymptotisk tilstand $R \to R_E$ ved $t \to -\infty$ til $R \to \infty$ ved $t \to \infty$, eller den er kontraherende fra $R \to \infty$ ved $t \to -\infty$ til $R \to R_E$ ved $t \to \infty$. Den statiske løsning, $R \equiv R_E$, hvor $k > 0$, er en instabil løsning og betegnes ofte som Einstein-universet. Denne løsning er instabil, fordi selv en lille forstyrrelse af $R$ vil føre til, at universet enten udvider sig som i det første tilfælde eller trækker sig sammen som i det andet.

Med en negativ $\lambda$ kan de oscilkerende modeller, der beskrives, have et maksimal $R$, som kan være vilkårligt stor, og modelens levetid kan være uendeligt lang. Når $k \leq 0$, kan et meget stort maksimalt $R$ opstå, hvis $|\lambda|$ er tilstrækkelig lille. Det er også værd at bemærke, at når $\lambda < 0$, vil en recollapse, uanset om $k$ er positiv eller negativ, være uundgåelig.

I tilfælde af $\lambda = \lambda_E$ er der modeller, der nærmer sig det statiske Einstein-univers asymptotisk, både i fortiden og fremtiden. For modeller med $k > 0$ vil universet på et givet tidspunkt enten være større end $R_E$ eller mindre, men altid stræbe efter at nærme sig $R_E$.

I dag er den dominerende model for kosmologi den såkaldte $\Lambda$CDM-model, hvor $\Lambda$ repræsenterer den kosmologiske konstant og CDM står for "cold dark matter", eller kold mørk materie. Denne model understøttes af observationer af supernovaer af type Ia, som viser, at universet udvider sig med en accelererende hastighed. I denne model, som antager et fladt univers ($k = 0$), beskriver den kosmologiske konstant $\lambda$ universets accelererende ekspansion, og hvordan mørk energi (den kvantificerede virkning af $\lambda$) spiller en central rolle i denne proces.

Det er vigtigt at forstå, at der er en stadig udvikling i vores forståelse af universets udvidelse, og at observationer af massefordelinger og hastigheden af udvidelsen kan simulere acceleration, selv når $\lambda = 0$. Dette giver anledning til muligheden for alternative modeller, som også skal tages i betragtning i den videnskabelige diskussion om universets fremtidige udvikling.