Hvad er de grundlæggende teoremer om homomorfismer og deres anvendelser i modulteori?

Teorem 2.2.5 (Fundamentale teorem om grupp-homomorfismer) beskriver et grundlæggende resultat i gruppeteori, hvor vi tager et homomorfi mellem to grupper, η: G → H, og et normalt delgruppe K af G, der er indeholdt i ker(η). Der er en entydig gruppe-homomorfi η̃ fra G/K til H, sådan at η = η̃π, hvor π: G ↠ G/K er den kanoniske epimorfisme. Dette teorem illustrerer, hvordan vi kan konstruere en ny homomorfi fra kvotientgruppen G/K til H ud fra den oprindelige homomorfi η. En vigtig observation er, at η̃ er en monomorfi, hvis og kun hvis K = ker(η).

Teorem 2.2.6 (Fundamentale teorem om R-lineære kort) overfører idéen fra gruppe-homomorfismer til modulteori. Antag, at f: M → N er en R-lineær afbildning mellem R-moduler, og lad K være et delmodul af M, som er indeholdt i ker(f). Der eksisterer en entydig R-lineær afbildning f̃: M/K → N, sådan at f = f̃π, hvor π: M ↠ M/K er den kanoniske epimorfisme. Forskellen fra gruppeteorien er, at vi nu arbejder med moduler, som også er abelske grupper, men som kan have yderligere strukturer afhængigt af ringen R. Ligesom i teorem 2.2.5 er f̃ en monomorfi, hvis og kun hvis K = ker(f).

De tre isomorfismeteoremer for moduler (teorem 2.2.8-2.2.10) giver os yderligere værktøjer til at analysere strukturen af moduler og deres kvotienter. Det første isomorfismeteorem siger, at hvis en afbildning f er et epimorfisme (en surjektiv homomorfi), så er M isomorf til N modulo ker(f). Det andet isomorfismeteorem viser en relation mellem summen og skæringen af moduler, mens det tredje isomorfismeteorem giver en beskrivelse af forholdet mellem et modul og dets kvotient, når der findes underliggende delmoduler.

Disse isomorfismeteoremer er nyttige til at forstå forholdet mellem forskellige moduler og deres understrukturer, og de hjælper med at lette arbejdet med at finde de dimensioner af undermoduler, som er nødvendige i mere komplekse beregninger og beviser. Især for anvendelser i lineær algebra og systemer af lineære ligninger er disse teoremer centrale.

Desuden, i forhold til beregning af dimensionen af løsningmængderne i systemer af lineære ligninger, finder vi, at dimensionen af løsningerne afhængig af kernel og billedet af en lineær transformation. Eksempel 2.2.13 viser, hvordan dimensionen af løsningen af et system af lineære ligninger kan bestemmes via kernel og rang.

Hvordan bestemme den kanoniske form for lineære endomorfismer?

I dette kapitel vil vi undersøge lineære endomorfismer på vektorrum. En lineær endomorfisme er en lineær afbildning fra et vektorrum til sig selv, hvor både definitionsmængden og kodomænet er det samme rum. Derfor er det naturligt at bruge den samme ordnede basis for både definitionsmængden og kodomænet. Vi vil diskutere, hvordan man finder en ordnet basis, så den matrix, der repræsenterer en given lineær endomorfisme, bliver så simpel som muligt. Denne "simpelste" matrix kaldes en kanonisk form af endomorfismen.

Den vigtigste resultater i dette kapitel er, at vi kan bruge den kanoniske form – enten rationalform eller Jordanform – til at klassificere en lineær endomorfisme. Men den mest logiske og naturlige måde at analysere en lineær endomorfisme på, er faktisk at betragte vektorrummet som et modul over et polynomering i én variabel over det givne felt. Dette giver os en god grund til at diskutere den fundamentale sætning om finit genererede moduler over et PID (Principal Ideal Domain), som er et væsentligt resultat i modulteori.

Ikke kun resultatet af denne sætning er vigtigt, men også processen med at bevise denne sætning giver en fremragende illustration af, hvordan man analyserer et modul. Når vi arbejder med matricer og moduler, er et centralt begreb ækvivalente matricer. Hvis to matricer kan repræsentere den samme lineære afbildning, siges de at være ækvivalente. Ækvivalente matricer har de samme egenskaber, og dermed giver det mening at finde baser for både definitionsmængden og kodomænet, så matricen, der repræsenterer afbildningen, er så enkel som muligt.

En ækvivalent matrix kan findes ved at gennemføre en baseændring. Hvis vi har en lineær afbildning $f: R^n \to R^m$ og ordnede baser $\beta$ og $\gamma$ for henholdsvis $R^n$ og $R^m$, så vil vi kunne finde en matrix $A$, der repræsenterer afbildningen med hensyn til disse baser. Hvis vi skifter basis, ændres matrixen i overensstemmelse med det baseændringsmatrix, der relaterer den nye basis til den gamle. En sådan matrix $P$, der er invertibel, repræsenterer baseændringen, og den nye matrix $A'$ vil være relateret til den oprindelige matrix $A$ gennem relationen $A' = P^{ -1} A P$.

For at illustrere dette, lad os se på et eksempel, hvor vi har en lineær afbildning $T: R^2 \to R^3$, som sender et punkt $(x, y)$ til $(2x + 3y, x - y, 5x - 2y)$. Vi kan finde matricen, der repræsenterer $T$ i forhold til de standardbaser for $R^2$ og $R^3$, og derefter bestemme, hvordan matrixen ændrer sig, når vi skifter til nye baser. Denne proces, der involverer elementære matrixoperationer, hjælper os med at finde en så simpel matrix som muligt, som repræsenterer $T$.

I praksis er processen med at finde den kanoniske form for en lineær endomorfisme ofte lang og krævende, men det giver en systematisk måde at forstå og klassificere lineære afbildninger på. Gennem en kombination af teoretiske resultater og praktiske beregninger kan vi få en dyb forståelse af de strukturelle egenskaber ved de lineære afbildninger, vi arbejder med.