Hvordan man arbejder med elasto-plastiske simuleringer i 3D ved hjælp af Newtons metode

Elastisk-plastisk opførsel af materialer er en grundlæggende komponent i numeriske simuleringer, især når det kommer til at forstå komplekse strukturelle opgaver under belastning. Ved at bruge det finite elementmetode (FEM) kan man modellere og analysere materialers respons på ydre kræfter. I denne sammenhæng er det nødvendigt at anvende en iterativ tilgang, der sikrer, at de relevante fysiklovgivninger som stress-strain-forholdet, flowregler og hårdningsekvationer bliver opfyldt. Newtons metode udgør hjørnestenen i denne iterative proces, og dens anvendelse i tre-dimensionelle elastisk-plastiske simuleringer vil blive gennemgået her.

Når man arbejder med ikke-lineære materialemodeller, kan ændringer i stress og strain udtrykkes som funktioner af det trial stress state. Dette betyder, at den totale strain increment (εn) kan beregnes ud fra ændringerne i stress mellem to på hinanden følgende tidspunkter, som vist i ligning (4.120). Denne tilgang udvider sig hurtigt til at inkludere de komplekse sammenhænge, der findes i tre-dimensionelle modeller, som kræver en grundig forståelse af både det elastiske og plastiske stadie af materialet.

For at finde den endelige tilstand, σ_n+1, skal man overveje både det trial stress og en form for flowregel, som beskriver, hvordan materialet deformeres under belastning. Et vigtigt aspekt her er den implicitte back-Euler metode, der bruges til at opdatere stress tilstanden ved hjælp af iterativer beregning som beskrevet i ligning (4.121). Dette betyder, at den endelige stresstilstand afhænger af både det trial stress og en korrektion, der er proportional med den plastiske strækning (λ_n+1), som er blevet opnået i den forrige iteration.

Det er ikke nok blot at opfylde disse ligninger i det lokale integrationspunkt; hele systemet af ligninger skal også tilfredsstille den globale ligevægtsbetingelse. For at opnå dette, og for at sikre stabiliteten af løsningen, anvendes Newton-Raphson metoden. Ved hjælp af denne metode opdateres alle relevante variabler i hver iteration for at konvergere mod en løsning, der opfylder både plastiske og elastiske krav. Newton iterationen involverer løsning af et system af ligninger, hvor de resulterende residualer fra hver ligning skal bringes tættere på nul for at opnå den ønskede nøjagtighed.

Den Newton-Raphson metode kræver også, at Jacobian-matricen for residualerne evalueres korrekt. Dette er en vigtig opgave, da den bestemmer, hvordan de respektive funktioner ændrer sig med hensyn til de variable, hvilket er afgørende for at finde den optimale løsning. Denne matrix bliver en nøglekomponent i beregningen af den elasto-plastiske tangentmodul, som beskriver, hvordan systemet reagerer på små ændringer i stress og strain, og er nødvendig for at sikre korrekt opførsel under simulationen.

En af de udfordringer, som ofte opstår i denne type simuleringer, er at sikre korrekt evaluering af residualer for de plastiske tilstande. Hvis residualerne ikke konvergerer hurtigt nok, kan man ende med en dårlig approximation af materialets virkelige adfærd. Derfor er det vigtigt at implementere robuste metoder til at håndtere både numeriske og fysiske vanskeligheder under simuleringen.

For at gøre denne metode endnu mere effektiv, kan man anvende avancerede elasto-plastiske tangentmoduler, som gør det muligt at reducere beregningstiden ved at håndtere de ikke-lineære aspekter mere effektivt. For den tre-dimensionelle tilfælde opnås den konsistente elasto-plastiske modulus ved at bruge de afledte af stress-strain-forholdene. Denne modulus kan derefter bruges i de iterative beregninger for at justere systemets opførsel baseret på de kræfter og deformationer, der påføres.

Vigtigheden af at vælge passende materialmodeller og korrekte parameterindstillinger kan ikke undervurderes, da de direkte påvirker nøjagtigheden af resultatet. For eksempel skal man sikre, at flowreglerne, enten associerede eller ikke-associerede, korrekt afspejler materialets fysiske egenskaber under deformation. Dette er ikke kun nødvendigt for at få præcise simuleringer, men også for at kunne bruge simuleringen som et værktøj til at optimere design og forudse materialernes opførsel under praktiske forhold.

Som en afslutning på diskussionen er det afgørende, at simuleringsmetoderne, der benyttes i elastisk-plastiske simuleringer, er præcise og effektive. Simuleringsværktøjer, der benytter Newtons metode og relevante elasto-plastiske tangentmoduler, giver mulighed for at opnå realistiske resultater, men det kræver også en grundig forståelse af de underliggende fysiske principper og matematiske metoder. Kun ved at anvende den rette kombination af modeller og metoder kan man opnå pålidelige simuleringer, som vil være nyttige i både design og analyse af komplekse materialer og strukturer.

Hvordan håndtere aflastning, reverseret belastning og cyklisk belastning i plasticitetsmodeller?

I de tidligere afsnit blev kun monotone belastninger overvejet, enten i den træk- eller kompressionsmæssige region. Vi vil nu kort undersøge de situationer, hvor belastningsretningen kan ændre sig.

I figur 2.5a vises et eksempel på belastning i det elastiske (0 → 1) og elastoplastiske (1 → 2) område, efterfulgt af elastisk aflæsning (2 → 3) og elastisk genopladning (3 → 2). I tilfælde af figur 2.5b, er den elastiske aflæsning (2 → 3) efterfulgt af reverseret belastning (3 → 4). Den vigtigste egenskab, der bør fremhæves her, er, at aflæsningsfasen (2 → 3) kan beskrives ud fra Hookes lov, jf. ligning (1.9). Dette er essentielt, da det hjælper med at forstå, hvordan materialets adfærd kan forudsiges, når det vender tilbage til sin oprindelige tilstand, før det genopfyldes med belastning.

Når vi betragter cyklisk belastning, udsættes en prøve for svingende kræfter, F(t). I figur 2.6b er nogle karakteristiske spændingskvantiteter markeret: Spændingsområdet, Δσ, er forskellen mellem den maksimale og den minimale spænding: Δσ = σ_max − σ_min. Spændingsamplituden σ_a er halvdelen af spændingsområdet: σ_a = Δσ / 2. Det er afgørende at forstå, hvordan disse parametre er relateret til materialets opførsel under belastning, især i forbindelse med udmattelsestestning, hvor gentagne belastningscyklusser kan føre til træthedsbrud.

Spændingsforholdet, R, er ofte brugt til at karakterisere spændingsniveauet i cykliske test: R = σ_min / σ_max. Hvor R = −1 karakteriserer en fuldstændig reverseret belastningscyklus, R = 1 står for statisk belastning, og R = 0 henviser til tilfælde, hvor den gennemsnitlige spænding er positiv og svarer til spændingsamplituden. Cykliske tests er grundlæggende i materialetestning, især når det drejer sig om at bestemme træthedslivet for komponenter og strukturer. Disse tests giver vigtige indsigter i, hvordan materialet vil opføre sig over tid under gentagne belastninger, og det er essentielt at forstå de forskellige cyklusser for korrekt at kunne vurdere materialets levetid.

I forbindelse med dette bør læseren også overveje den praktiske betydning af materialets opførsel under både monotone og cykliske belastninger. Monotone belastninger er relativt enkle at analysere, da de kun bevæger sig i én retning, men når belastningen er cyklisk, involverer det kompleks dynamik, der kan resultere i træthedsbrud, selv hvis den maksimale spænding ikke overstiger materialets oprindelige styrke. Desuden, i tilfælde af reverseret belastning, kan et materiale, der ikke er korrekt modelleret, ende med at opleve svigt på grund af uventede strukturelle ændringer i det plastiske område.

Når man ser på aflæsning og reloading, bør det forstås, at den elastiske fase altid vil følge Hookes lov, men at den plastiske fase kan være langt mere kompleks. Aflæsningen af et plastisk materiale er ikke nødvendigvis symmetrisk i forhold til den oprindelige belastning, hvilket kan føre til hystereseeffekter, der skal tages i betragtning i simuleringer af materialets adfærd.

Det er også værd at bemærke, at i cyklisk belastning er materialets evne til at modstå spænding i forhold til udmattelse kritisk. Over tid kan små ændringer i mikrostrukturen, som følge af gentagne belastninger, føre til dannelse af mikroskopiske revner. Disse revner vil langsomt vokse og føre til brud, selv i tilfælde af at belastningen ikke når op på niveauet, der normalt ville føre til svigt i et enkelt belastningsforløb.

Endelig er det værd at understrege, at forskningen i plastisk deformation under cyklisk belastning ikke kun er afgørende for at forstå materialers adfærd, men også for at kunne forudsige levetiden af komponenter og systemer, der udsættes for gentagne belastninger. Dette kan have stor betydning i industrier som bilproduktion, luftfart og byggeri, hvor pålideligheden og sikkerheden af strukturelle komponenter er af største betydning.

Hvordan Hovedspændinger og Invariantenes Rolle Bestemmer Materialets Adfærd

Stresstensorens egenskaber og dens hovedinvarianter spiller en essentiel rolle i forståelsen af de mekaniske responser i materialer under belastning. Fra et teoretisk synspunkt, kan de relevante spørgsmål besvares ved at bestemme egenværdierne af stresstensoren (hovedspændingerne) samt de tilhørende egenvektorer (hovedretningerne). Løsningen af den såkaldte karakteristiske ligning, dvs. $\text{det}(\sigma_{ij} - \sigma_i I) = 0$, giver de tre hovedspændinger $\sigma_i$ (hvor $i = 1, 2, 3$).

Ved at udvide ligningen i komponenter opnår vi en kubisk ligning for de tre hovedspændinger. Dette giver et matematisk grundlag for at analysere, hvordan materialet reagerer på belastning ved forskellige orienteringer. Hovedspændingerne er essentielle, da de beskriver de maksimale og minimale belastninger, et materiale kan blive udsat for i en given retning.

Hovedinvariantenes rolle kan ikke undervurderes. De tre skalærinvarianter $I_1$, $I_2$ og $I_3$ repræsenterer fysiske egenskaber ved stresstensoren, og de er uafhængige af koordinatsystemets orientering. Invarianten $I_1$ er summen af de diagonale elementer i stressmatrixen, $\sigma_{xx} + \sigma_{yy} + \sigma_{zz}$, og giver dermed et mål for den totale normale stress. $I_2$ omfatter tværdeterminanterne af stressmatrixen, og $I_3$ er determinanten af matrixen, som repræsenterer den totale volumetriske ændring.

Disse invarianter er fundamentale, da de giver et robust grundlag for at beskrive materialets respons på stress. De er uafhængige af koordinatsystemets orientering og forbliver konstante under rotationer af det anvendte koordinatsystem.

Når vi ser på stressmatrixens dekomponering, opdeler vi den ofte i to komponenter: den hydrostatiske stress (volumenændring) og den deviatoriske stress (formændring). Den hydrostatiske komponent er ofte repræsenteret som $\sigma_o$, og det er den del, der påvirker materialets volumen, mens den deviatoriske komponent $s_{ij}$ er relateret til ændringer i materialets form uden ændringer i volumen. Denne dekomponering er vigtig for at forstå, hvordan materialet deformeres og reagerer på forskellige typer belastning.

En væsentlig bemærkning vedrørende den hydrostatiske stress er, at dens indflydelse på materialers plastiske adfærd afhænger af temperaturen. For metaller under normale betingelser (temperaturer under 0.3 T_m, hvor T_m er smeltetemperaturen) har den hydrostatiske stress en minimal indflydelse på plastiske deformationer. Derimod er effekten af hydrostatisk stress meget mere udtalt i materialer som jord eller cellulære materialer, hvor højtryk kan fremkalde dannelse af porer og skade.

En grundlæggende del af plasticitetslære og materialers styrkeberegning er at forstå, hvordan disse stresskomponenter og deres invarianter er forbundet med materialets versatilitet til at modstå deformation eller svigt under belastning. Den matematiske beskrivelse af stressmatrixen gennem dens invarianter giver en præcis og praktisk tilgang til at forudsige, hvordan materialer reagerer på belastning i forskellige scenarier.

Når vi videre analyserer, ser vi, at de deviatoriske komponenter af stressmatrixen kan udtrykkes ved hjælp af tre grundlæggende invarianter. $J_1$, $J_2$, og $J_3$ er de såkaldte basisinvarianter, der opretholder den fysiske betydning af stressmatrixens komponenter. Disse invarianter er af central betydning for at forstå, hvordan materialet vil reagere på både isotropisk og anisotropisk stress, især i forbindelse med yieldkriterier og brudbetingelser.

Derfor er det essentielt at anvende disse matematiske værktøjer til at forstå og beskrive, hvordan et materiale vil svigte under forskellige belastningsforhold. Disse invarianter hjælper med at afgrænse de forhold, der fører til plastiske deformationer og svigt i materialet, og giver grundlag for at udvikle præcise modeller af materialets opførsel under belastning. Desuden understøtter de analyse af både makroskopiske og mikroskopiske mekanismer i materialets struktur og forhindrer fejlintegrering i design af komponenter.

For at tilføje yderligere dybde til læserens forståelse af emnet, er det væsentligt at overveje, hvordan variationer i materialets mikroskopiske struktur kan påvirke de makroskopiske stressinvarianter. Specielt kan faser, porøsitet eller kornstruktur ændre den måde, hvorpå disse invarianter relaterer sig til materialets faktiske opførsel. At forstå disse forhold er vigtigt for anvendelse af plasticitetsmodeller på forskellige typer materialer og for at forudse deres performance under ekstreme forhold.