I kvantemekaniske simuleringer er den præcise opdatering af bølgefunktioner afgørende for at opnå nøjagtige resultater. En almindelig tilgang er at bruge en lineær funktion af de parametre, der beskriver systemet. Når parametrene ændres med en lille mængde, kan bølgefunktionen udvides omkring de oprindelige parametre ved hjælp af en Taylor-ekspansion. Dette giver mulighed for at approximere den opdaterede tilstand som en lineær kombination af de oprindelige tilstande og de afledte tilstande. Den lineære opdatering af bølgefunktionen kan udtrykkes som:

∣Ψlin⟩=∣Ψ0⟩+∑iΔai∣Ψi⟩,\left| \Psi_{\text{lin}} \right\rangle = \left| \Psi_0 \right\rangle + \sum_i \Delta a_i \left| \Psi_i \right\rangle,

hvor Δai\Delta a_i er ændringerne i parametrene, og ∣Ψi⟩\left| \Psi_i \right\rangle er de afledte tilstande for de relevante parametre. Denne lineære opdatering kan give en første ordens approximation af den nye bølgefunktion, men den er ikke altid tilstrækkelig, især når man arbejder med ikke-lineære parametre.

I sådanne tilfælde bemærker Umrigar et al. at normaliseringen af den lineære opdaterede tilstand ∣Ψlin⟩\left| \Psi_{\text{lin}} \right\rangle har en vis frihed, og en "renormaliseret" opdateret tilstand kan være nødvendig. Dette kan opnås ved at inkludere et ekstra led i de afledte tilstande, der gør det muligt at tage højde for ikke-lineære effekter. Den renormaliserede opdatering kan udtrykkes som:

∣Ψlin⟩=∑iΔai∣Ψi⟩+∣Ψ0⟩,\left| \Psi_{\text{lin}} \right\rangle = \sum_i \Delta a_i \left| \Psi_i \right\rangle + \left| \Psi_0 \right\rangle,

hvor Δa0:=1\Delta a_0 := 1. Denne renormalisering er specielt vigtig, når man arbejder med ikke-lineære parametre, og vi vender tilbage til dette emne senere, når opdateringerne af Δai\Delta a_i er blevet løst.

En vigtig detalje i kvantemekaniske beregninger er, at den optimale løsning for parametrene findes, når energifunktionen E(a)E(a) er af minimum. Dette kan opnås ved at løse et optimeringsproblem, hvor energien og normaliseringen af den opdaterede tilstand er bundet ved hjælp af en Lagrange-multiplikator. Formlen for denne optimering kan skrives som:

∂E(a)∂ak=0∀k,\frac{\partial E(a)}{\partial a_k} = 0 \quad \forall k,

og det resulterende optimeringsproblem kan omformuleres som en generaliseret egenværdiopgave:

HΔa=ElinSΔa,H \Delta a = E_{\text{lin}} S \Delta a,

hvor HH og SS er de respektive Hamilton-matrix og overlap-matrix, som skal estimeres ved hjælp af Monte Carlo-metoder.

Når man estimerer disse matricer i praksis, kræves det en begrænset mængde prøver, hvilket kan føre til store fluktuationer i resultaterne. Dette kan føre til en unøjagtig opdatering af parametrene Δa\Delta a. En løsning på dette problem er at reducere variansen i estimaterne ved at anvende kovariansestimater. Dette gøres ved at erstatte de oprindelige bølgefunktioner Ψi\Psi_i med de justerede versioner Ψi−Ψ0\Psi_i - \Psi_0, hvilket kan forbedre præcisionen af de beregnede matrixelementer.

For at reducere variansen yderligere introducerer vi reduktion af varians i estimaterne af overlap- og Hamilton-matrixelementerne. Dette kan skrives som:

Sˉij=⟨Ψi−Ψ0∣Ψj−Ψ0⟩⟨Ψ0∣Ψ0⟩,\bar{S}_{ij} = \frac{\langle \Psi_i - \Psi_0 | \Psi_j - \Psi_0 \rangle}{\langle \Psi_0 | \Psi_0 \rangle},

hvilket giver en mere præcis estimering af overlap-matricen. Tilsvarende kan matrixelementerne for Hamiltonianen estimeres med lavere varians ved at anvende et lignende kovariansskema. Dette giver en mere pålidelig opdatering af parametrene og dermed en mere præcis bølgefunktion.

I sidste ende kan en yderligere forbedring opnås ved at optimere de ikke-lineære parametre ved hjælp af en parameterafhængig normalisering. Ved at vælge en passende normalisering N(a)N(a) for prøvebølgefunktionen, kan man opnå en mere præcis linearisering af bølgefunktionen, hvilket giver bedre resultater i tilfælde af ikke-lineære opdateringer. Dette kan udtrykkes som:

∣Ψiˉˉ⟩=N(a0)(∣Ψiˉ⟩+Ni∣Ψ0⟩),\left| \Psi_{\bar{\bar{i}}} \right\rangle = N(a_0) \left( \left| \Psi_{\bar{i}} \right\rangle + N_i \left| \Psi_0 \right\rangle \right),