I den relativistiske kosmologi, når vi arbejder med Szekeres geometrien, er spørgsmålet om, hvad der udgør den sande horisont, et centralt emne. For at besvare dette, må vi forstå hvordan forskellige horisonter – især de, der er betegnet som AAH og AH – interagerer og hvad de repræsenterer i forhold til de lysstråler, der bevæger sig gennem rumtiden. Specifikt handler det om, hvordan disse horisonter ændrer sig, når vi bevæger os mod singulariteten, og hvad deres adfærd fortæller os om fremtiden for lysstråler, der møder dem.

Det første skridt i forståelsen af disse horisonter er at undersøge den såkaldte AAH (anti-anti-horisont), som vises i modellerne for Szekeres geometrier. Denne horisont opstår i det øjeblik, hvor lysstråler, der oprindeligt ikke er i en sort hul-region, snart vil blive fanget og tvunget ind i den. Når AAH først fremkommer, er den et lukket kurveområde, som hurtigt vokser i størrelse. Efterhånden som tiden skrider frem, trænger den ind mod centrum og deler sig til sidst i to konturer, som kan ses som to tangente ringe, én inde i den anden. Dette er et øjeblik, hvor horisonten er på sit mindste, og dens form indikerer den tidlige fase af den sorte huls fremkomst.

I modsætning hertil opstår AH (den traditionelle sort hull-horisont) også i Szekeres geometrierne, men med en lidt anderledes dynamik. Denne horisont vises først, når t = 10, og fra dette punkt fremover deler den sig hurtigt op i to koncentriske cirkler. Den mindre cirkel, som starter med en radius lidt større end M = 2, skrumpes hurtigt ind mod et punkt, mens den større cirkel vokser i størrelse og på et tidspunkt møder den større kontur af AAH. Denne interaktion mellem AH og AAH viser os, hvordan lysstråler på et tidspunkt i fremtiden vil blive fanget af horisonten og ende med at kollidere med Big Crunch.

En vigtig observation, som gør disse horisonter interessante, er deres relation til den ultimative skæbne for lysstråler. Der er en region mellem M = 0 aksen og AAH−, hvor lysstråler stadig kan bevæge sig udad, men kun for en kort periode. Uanset hvad, vil de før eller siden blive tvunget til at krydse både AAH og AH og blive fanget af Big Crunch-singulariteten. Denne region mellem AAH− og M = 0 er afgørende for at forstå, hvorfor disse horisonter ikke kun er teoretiske konstruktioner, men faktisk definerer den fremtidige skæbne for enhver lysstråle, der befinder sig tæt på dem.

En videre udvikling i forståelsen af disse horisonter opstår, når vi ser på det spørgsmål, der stilles i begyndelsen: Hvilken horisont er den sande? Er det AH eller AAH? For at besvare dette skal vi dykke ned i de egenskaber, der definerer hver af dem i lyset af relativistiske modeller som den, der blev beskrevet af Szekeres. Det er vigtigt at forstå, at AH kan være både tidslig og rumlig afhængig af, hvilken del af horisonten vi ser på. For det indgående segment kan AH være både tidslig og rumlig, mens den udgående del af AH altid vil være rumlig og aldrig tidslig. Dette har afgørende konsekvenser, når vi overvejer, hvordan lysstråler interagerer med horisonterne.

Således, selvom AAH kan give os et indtryk af at være den primære grænse for lysstråler, er det AH, der faktisk bestemmer den sande horisont. AH markerer den ultimative grænse for, hvor lysstråler kan eksistere i en region, hvor de ikke længere kan undslippe det enorme gravitationspotentiale og dermed er fanget af singulariteten. Denne forståelse bliver yderligere bekræftet, når vi ser på forholdet mellem Szekeres geometrier og Schwarzschild metrikken, hvor det er den udgående del af AH, der agerer som den virkelige sorte hull-horisont.

Når vi ser på disse interaktioner mellem AH og AAH, bliver det klart, at disse ikke blot er teoretiske abstraktioner, men faktiske grænser, der definerer lysstrålers skæbne i en relativistisk kosmologi. Den sande horisont – AH – fungerer som en slags grænse, der skiller det kaotiske indre af et sort hul fra de regioner, hvor lysstråler stadig kan undslippe, men kun for en kort periode, inden de selv bliver tvunget ind i singulariteten.

Denne forståelse af horisonter er afgørende for vores evne til at modellere og forudsige adfærden af lys og tid i nærheden af meget massive objekter som sorte huller. Det er ikke blot et spørgsmål om at bestemme, hvornår lysstråler krydser disse horisonter, men også om at forstå, hvordan disse krydsninger påvirker selve strukturen af rumtiden omkring dem. Med denne viden kan vi begynde at afdække de dybere strukturer i universet og de ekstreme forhold, der findes tæt på sorte huller.

Hvordan to vektorfelter bliver overflade-dannende i 4-dimensional Riemann rum

To familier af tangentialkurver er givet ved ligningerne kα=dxαdλk_\alpha = \frac{dx_\alpha}{d\lambda} og lα=dxαdλl_\alpha = \frac{dx_\alpha}{d\lambda}, hvor λ\lambda er en parameter på hver kurve. Vi vælger en enkelt kurve CC fra familien tangent til feltet ll, og overvejer derefter alle de kurver, der er tangent til feltet kk og skærer kurven CC (se figur 8.2). Disse kurver danner en overflade SS ud fra den enkelte kurve tangent til ll. Det er klart, at de vektorer fra feltet ll, der ikke er tangent til CC, ikke nødvendigvis er tangent til SS. Men hvis de er tangent til hver sådan SS, så kaldes vektorfelterne kk og ll overflade-dannende.

Vi tager en enkelt kurve CC fra kurverne tangent til feltet ll og overvejer alle kurver tangent til feltet kk, der skærer CC. På denne måde danner vi en overflade SS, hvortil andre vektorer fra feltet ll muligvis eller ikke er tangent. Hvis de er tangent, så kaldes vektorfelterne kk og ll overflade-dannende. Feltet F1∗lF_1^*l er ll-transporteret langs en kk-kurve ved den associerede afbildning. Hvad er betingelsen for, at to vektorfelter skal være overflade-dannende?

Overvej familien af kurver xα(λ)x_\alpha(\lambda), der er tangent til vektorerne fra feltet kk, som ligger i overfladen SS. Disse definerer en familie FF af afbildninger af overfladen SS i sig selv (billedet af et punkt S∋p=xα(λ0)S \ni p = x_\alpha(\lambda_0) er punktet p′=xα(λ0+Δλ)p' = x_\alpha(\lambda_0 + \Delta \lambda), hvor Δλ\Delta \lambda er den samme for alle p∈Sp \in S). Den associerede afbildning F1∗F_1^*, som er tilknyttet FF, afbilder så vektorer tangent til SS til andre vektorer tangent til SS. Derfor kan vi, ved at starte med vektorerne ll, der er tangent til vores oprindelige kurve CC, konstruere feltet F1∗lF_1^*l af vektorer tangent til SS. Vektorerne fra feltet kk, der er knyttet til punkterne på SS, er også tangent til SS, da SS blev konstrueret på denne måde. Derfor vil vektorerne fra feltet ll, der er knyttet til punkterne på SS, være overalt tangent til SS, hvis de overalt er spændt på vektorerne kk og F1∗lF_1^*l, således at

lα=a~kα+b~(F1∗l)(8.32)l_\alpha = \tilde{a} k_\alpha + \tilde{b} (F_1^*l) \quad (8.32)

hvor a~(x)\tilde{a}(x) og b~(x)\tilde{b}(x) er vilkårlige skalarfunktioner og b~(x)≠0\tilde{b}(x) \neq 0 (hvis b~(x)=0\tilde{b}(x) = 0, ville felterne kk og ll være lineært afhængige, hvilket strider mod vores antagelse). Denne betingelse kan skrives om som følger:

lα−a~b~(F1∗l)=kα+lα=akα+blα(8.33)l_\alpha - \frac{\tilde{a}}{\tilde{b}} (F_1^*l) = k_\alpha + l_\alpha = a k_\alpha + b l_\alpha \quad (8.33)

Men ændringshastigheden af [lα−(F1∗l)][l_\alpha - (F_1^*l)] langs kurverne tangent til kk er, ifølge definitionen, den Lie-deriverede Llα=[k,l]α\mathcal{L}_l \alpha = [k, l]_\alpha. Endelig er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for, at vektorfelterne kk og ll skal være overflade-dannende:

[k,l]α=akα+blα(8.34)[k, l]_\alpha = a k_\alpha + b l_\alpha \quad (8.34)

Når vi taler om sfærisk symmetriske 4-dimensionelle Riemann rum, defineres et sådant rum som værende sfærisk symmetrisk, når rotationsgruppen omkring et punkt, O(3)O(3), er dens isometri-gruppe. Dens metriske tensor skal derfor opfylde Killing-ligningerne for hver af de tre generatorer af gruppen O(3)O(3). Vi afleder først formlerne for disse generatorer. Orbiterne af O(3)O(3) er 2-dimensionelle kugler. Hver kugle kan indlejres i et 3-dimensionalt euklidisk rum E3E^3. Dens ligning bliver da

x2+y2+z2=R2(8.35)x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \quad (8.35)

hvor RR er radius af kuglen, og xx, yy, zz er de kartesiske koordinater i E3E^3. Rotationen omkring centrum af kuglen med vinklen α\alpha i planet (xi,xj)(x_i, x_j) beskrives så ved transformationen

xi′=xicos⁡α+xjsin⁡α,xj′=−xisin⁡α+xjcos⁡α,xk′=xkfor i≠k≠j.x'_i = x_i \cos\alpha + x_j \sin\alpha, \quad x'_j = -x_i \sin\alpha + x_j \cos\alpha, \quad x'_k = x_k \quad \text{for} \, i \neq k \neq j.

Den vinkel α\alpha er her gruppens parameter. Den tilsvarende Killing-vektor er

kμ=xjδμi−xiδμj(8.37)k_\mu = x_j \delta_\mu^i - x_i \delta_\mu^j \quad (8.37)

Den generelle transformation af kuglen til sig selv kan beskrives som en sammensætning af tre på hinanden følgende rotationer omkring forskellige akser. Derfor vil en basis af Killing-vektorerne udgøres af tre generatorer, der svarer til rotationer omkring tre forskellige akser.

Hvis vi nu vælger vores basis for Killing-felterne som generatorerne for rotationer omkring de tre akser i det rektangulære kartesiske koordinatsystem, bliver de tre generatorer

Jxy=x∂∂y−y∂∂x,Jyz=y∂∂z−z∂∂y,Jxz=x∂∂z−z∂∂x.J_{xy} = x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}, \quad J_{yz} = y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y}, \quad J_{xz} = x \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial x}.

For at fortsætte arbejdet med disse generatorer, transformeres de til de sfæriske koordinater x=rsin⁡θcos⁡ϕx = r \sin\theta \cos\phi, y=rsin⁡θsin⁡ϕy = r \sin\theta \sin\phi, z=rcos⁡θz = r \cos\theta. I disse koordinater bliver generatorerne

Jxy=∂∂ϕ,Jyz=sin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ,Jxz=cos⁡ϕ∂∂θ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ.J_{xy} = \frac{\partial}{\partial \phi}, \quad J_{yz} = \sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \frac{\partial}{\partial \phi}, \quad J_{xz} = \cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \frac{\partial}{\partial \phi}.

For et Riemann rum, der er sfærisk symmetrisk, implicerer Killing-ligningerne for de sfæriske koordinater restriktioner ikke kun på geometrien af rummet, men også på de anvendte koordinater. Dette giver os mulighed for at finde løsninger, der er specifikt tilpasset rummet og dets symmetrier.

Hvad betyder det at et objekt bliver et sort hul? Forståelsen af Schwarzschild-metrikken og singulariteten ved r = 2m

I Schwarzschild-metrikken er det vigtigt at bemærke, at den såkaldte singularitet ved r = 2m ikke er en egentlig fysisk singularitet, som ofte fejltolkes som et punkt med uendelige værdier i gravitationen. Den egentlige singularitet, der er forbundet med et sort hul, opstår ved r = 0, men det er området ved r = 2m, hvor mange af de specielle egenskaber ved spacetime manifesterer sig.

Når r når 2m, begynder den spherisk symmetriske gravitationsfelt at udvise nogle særlige karakteristika, som ikke tillader almindelige objekter at vende tilbage, hvis de først er blevet trukket ind i denne region. For at forstå dette er det nødvendigt at kigge på geometriens adfærd i forhold til den Schwarzschild-radiale koordinat. De geometriske egenskaber ved r < 2m adskiller sig markant fra dem udenfor dette område, og det betyder, at det ikke er muligt at finde en asymptotisk plan, som vi ville forvente i flad geometri. I stedet er overfladen af denne region nærmest som en slags tunnel eller “hals”, hvor objekter, der kommer for tæt på, vil falde ind i singulariteten ved r = 0.

En vigtig del af denne teori er, at for r ≤ 2m ændrer bevægelsen sig fundamentalt. Hvis et objekt træder ind i området med en positiv hastighed i den radiale retning, vil det fortsætte sin bevægelse mod singulariteten og aldrig kunne vende tilbage. Dette gælder både for massive objekter og for lyspartikler. Uanset hvad, vil ethvert objekt, der træder ind i dette område, ikke kunne vende tilbage til r > 2m, og det vil ende i singulariteten ved r = 0.

Der er dog en afgørende forskel, der skal forstås. Den radius, hvor disse effekter træder i kraft, kaldet den gravitationelle radius (2m), er meget lille for objekter som Solen eller Jorden. For Solen er for eksempel 2m cirka 2.95 km, mens Jordens gravitationelle radius er kun 0.89 cm. Dette betyder, at for normale astronomiske objekter, der har meget større fysiske størrelser end deres gravitationelle radius, dette fænomen ikke har nogen praktisk betydning. Det er derfor, at man tidligere betragtede de mærkelige egenskaber ved r = 2m som en matematisk kuriositet.

Men hvad sker der, hvis et objekt har en fysisk størrelse, der er mindre end 2m? Det er her, begrebet sorte huller bliver relevant. Hvis et objekt kollapser til en størrelse, hvor r ≤ 2m, har det ingen udvej – det bliver et sort hul. Dette objekt vil være et sort hul, fordi intet, heller ikke lys, kan undslippe dens gravitationelle indflydelse. Dette gør sorte huller til noget meget specielt i kosmologien, fordi de repræsenterer et punkt, hvor normal fysik ikke længere gælder på de kendte måder.

Der er dog også et modstridende synspunkt, som beskriver hypotetiske objekter, der kunne have en fysisk radius mindre end 2m men stadig afgive materie. Dette skaber en yderligere kompleksitet i forståelsen af sorte huller, da de måske kan være “aktive” i en vis forstand, ved at udveksle materiale med omverdenen, så længe der er noget indre forsyning.

Når vi undersøger den teoretiske model for sorte huller, er det vigtigt at forstå, at den massen af et objekt er proportional med dets gravitationelle radius. For eksempel, hvis et objekt har en masse større end 1,36 × 10^8 solmasser, vil dets radius være så lille, at det vil blive et sort hul. Denne type objekt vil kunne placere sig i et område, hvor r = 2m faktisk betyder noget – og objektet vil blive et sort hul, hvor intet kan undslippe, og det ikke vil kunne "vendes tilbage".

Det er væsentligt at forstå, at begrebet sorte huller ikke blot handler om en geografisk grænse, men om en ændring i den måde, fysikken fungerer på, når vi nærmer os dette ekstremt komprimerede område. Selvom sort hul-teorien kan virke som en mystisk og næsten science fiction-lignende idé, er den dybt forankret i relativitetsteorien og de matematiske modeller, der understøtter vores forståelse af universet.

Dette understreger vigtigheden af at forstå Schwarzschild-metrikkens geometri, og hvordan den informerer os om de ekstreme forhold, der findes i og omkring sorte huller. Vi skal ikke kun fokusere på det matematiske aspekt af disse teorier, men også på hvordan de kan anvendes til at forklare de fysiske processer, der finder sted i vores univers, især i de ekstremt komprimerede regioner, der udgør sorte huller.

Hvordan lys bevæger sig: Opdagelsen af lysets hastighed og dens betydning
Hvordan det at bringe mennesker og steder sammen kan føre til succes i ejendomshandler og rekruttering
Hvordan fungerer Androids sensor- og brugergrænsefladeintegration?
Hvordan kroppen kommunikerer med bevægelse og afslapning
Hvordan løser man komplekse integraler med substitution og partiel integration?
Hvordan interfacer man SSD1306 og ILI9341 displays med ESP32 ved hjælp af I2C og SPI?
Hvordan forstår man arabisk menu og madkultur?
Hvordan kan moderne slow cooking forvandle hverdagsmåltider til gastronomiske oplevelser?
Hvordan bagning af barer kan ændre din tilgang til bagning: Fra meringue til chokoladefudge
Hvordan man anvender avancerede søgeteknikker til at finde pålidelige oplysninger effektivt