Hvordan fungerer klassisk plasticitets teori?

Plasticitets teori er fundamentet for at forstå, hvordan materialer reagerer under deformationer, der går ud over det elastiske område. I klassisk plasticitets teori arbejdes der med materialeegenskaber, der ikke afhænger af hastigheden af deformationen, og som beskriver, hvordan materialer plastisk deformerer under belastning. Det er en essentiel teori inden for mekanik, da den giver os de nødvendige værktøjer til at forudsige, hvordan strukturer vil opføre sig under ekstreme forhold, hvor elastiske modeller ikke længere er tilstrækkelige.

Klassisk plasticitets teori begynder typisk med at beskrive et materiale ved hjælp af dets elastiske egenskaber. Dette gøres gennem en spændings- og deformationsdiagram, hvor man skelner mellem elastisk og elastoplastisk opførsel. Et materiale deformeres elastisk, når deformationen er reversibel, og det vender tilbage til sin oprindelige form, når belastningen fjernes. Men når materialet udsættes for belastninger, der overskrider den elastiske grænse, begynder det at deformeres plastisk. Denne plastiske deformation er irreversibel, og materialet vil ikke vende tilbage til sin oprindelige form.

For at kunne modellere dette fænomen i praksis er det nødvendigt at bruge flere konstituerende ligninger. De grundlæggende elementer i plasticitets teori omfatter en flydebetingelse, en flytteregel og en hårdningsregel. Flydebetingelsen bestemmer, hvornår materialet begynder at deformere plastisk, og hvilken retning plastisk deformation vil tage. Flyttereglen beskriver, hvordan deformationen sker, mens hårdningsreglen bestemmer, hvordan materialets styrke ændres, efterhånden som det deformerer sig plastisk.

Når vi ser på plasticitets teori i et todimensionelt eller tredimensionelt stress-system, udvider vi disse begreber. Her bliver stressens invarianter nødvendige for at beskrive stressmatricen. Stressmatricen opdeles i en hydrostatisk og en deviatorisk komponent. Den hydrostatiske stress refererer til den volumetriske belastning på materialet, mens den deviatoriske stress refererer til den formændrende stress.

I den tredimensionelle plasticitetsteori bliver flydebetingelserne generaliseret, og vi ser på, hvordan disse betingelser kan anvendes i forhold til materialer, der er udsat for mere komplekse spændingstilstande. For eksempel anvendes forskellige yield-betingelser som Mises, Tresca og Drucker-Prager, som beskriver materialets adfærd under specifikke betingelser.

For at simulere sådanne materialers adfærd numerisk anvender vi finite element metoder (FEM). FEM gør det muligt at approximere løsninger på komplekse problemer, hvor analoge løsninger ikke er praktiske. I FEM-metoderne bruger man såkaldte "predictor-corrector"-metoder for at integrere de konstituerende ligninger og for at håndtere materialets plastiske adfærd. Denne tilgang gør det muligt at modellere strukturer, der udsættes for både elastiske og plastiske deformationer, og for at bestemme, hvornår og hvordan materialet vil fejle.

I forbindelse med numeriske simuleringer kræves det, at man er i stand til at beregne de nødvendige materialeparametre og forstå, hvordan de kan anvendes i praktiske problemer. Her spiller begreber som isotrop og kinematisk hårdning en væsentlig rolle. Isotrop hårdning beskriver, hvordan et materials styrke ændres ensartet i alle retninger, mens kinematisk hårdning beskriver, hvordan materialets styrke ændres i en bestemt retning baseret på de plastiske deformationer, der allerede har fundet sted.

For at forstå plasticitets teori på et dybere niveau er det vigtigt at erkende, at teorien er baseret på et antal forenklinger, der gør den anvendelig i praksis. Den antager, at materialet opfører sig ensartet og homogene, hvilket betyder, at de samme materialegenskaber gælder overalt i materialet. Desuden arbejder teorien med ideelle materialer, der ikke tager højde for mikroskopiske ufuldkommenheder som porer eller fejl, som ofte findes i virkelige materialer. I virkeligheden kan disse faktorer påvirke materialets opførsel, hvilket betyder, at plasticitets teorien i nogle tilfælde kan give et idealiseret billede af, hvordan et materiale faktisk vil opføre sig.

Derfor skal man som ingeniør og forsker være opmærksom på, at de anvendte modeller kan have visse begrænsninger. Det er nødvendigt at kombinere plasticitets teori med eksperimentelle data og avancerede simuleringsteknikker for at få et mere præcist billede af materialets opførsel under belastning. Dette kan involvere test som trækprøver, trykprøver og cykliske belastningstests, som giver indsigt i, hvordan materialet reagerer på gentagne belastninger og deformationer.

Hvordan en elasto-plastisk beregning udføres i FEM-modeller

Elasto-plastisk simulering ved hjælp af Finite Element Metoden (FEM) involverer komplekse beregninger, som tager højde for både elastisk og plastisk deformation i et materiale. Disse simuleringer kræver en forståelse af, hvordan materialets respons ændrer sig, når det overskrider sin elastiske grænse og går over i den plastiske tilstand. Et grundlæggende element i disse simuleringer er brugen af det, der kaldes den konsekvente elasto-plastiske tangentmodulmatrix, som også kan refereres til som den konsekvente tangentstivheds matrix eller den algoritmiske stivhedsmatrix.

Når man gennemfører en elasto-plastisk simulation i FEM, begynder man med at definere det initielle stress- og strain-niveau for systemet. Dette kan repræsenteres ved hjælp af en række ligninger, hvor den første ligning beregner den prøvede stress tilstand i det næste trin $\sigma_{n+1} = \sigma_n + E \epsilon_n$. Det er vigtigt at forstå, at det er nødvendigt at evaluere stress-tilstanden i forhold til den plastiske deformation, som ændrer sig i forhold til materialets hårdningskurve, ofte kaldet den isotropiske hårdningskurve.

En vigtig proces i FEM-simuleringen er test af gyldigheden af den stress-tilstand, som er blevet beregnet i det forudgående trin. Dette kaldes også en validitetstest, hvor man vurderer, om stress-tilstanden overskrider den elastiske grænse for materialet. Hvis denne grænse overskrides, justeres stress-tilstanden ved hjælp af en back projection, der sikrer, at systemet holder sig indenfor de fysiske grænser for materialets respons. Dette sker gennem en iterativ metode, hvor et prædiktor-korrektor system anvendes til at opdatere stress og strain på hver iteration.

Når den nødvendige konsistens er opnået, beregnes det endelige stressniveau ved at justere de relevante variabler, såsom den plastiske strain $\epsilon_{pl}$, den plastiske hærdning $\kappa$, og det elastiske modul $E_{el}$. De slutresultater, som dette genererer, kan bruges til at bestemme, hvordan materialet vil opføre sig under ekstreme belastninger og hvordan det vil reagere på de kræfter, der påføres.

Desuden kan en sådan elasto-plastisk simulation også opfattes som et konveks optimeringsproblem, hvor målet er at minimere den komplementære energi under de givne betingelser. Dette opnås ved at sikre, at yield-konditionen, som bestemmer, hvornår materialet går fra elastisk til plastisk opførsel, opretholdes gennem hele processen. Komplementær energi består af både den elastiske og plastiske energi, som beskrives separat i ligningerne for de respektive områder af materialets adfærd. Ved at forstå denne opdeling kan man bedre håndtere overgangene mellem de elastiske og plastiske faser i simuleringen.

Når det gælder selve løsningsmetoden for elasto-plastiske problemer, er en af de mest anvendte metoder Newton-Raphson-iteration. Denne metode anvender en sekventiel forbedring af løsningen, indtil den opnår en ønsket præcision. I forbindelse med FEM betyder dette, at hver iteration resulterer i en opdatering af de globale og lokale parametre i modellen, som derefter evalueres på nytt ved hjælp af de relevante matematiske relationer, såsom de nye stress- og strain-værdier.

Det er vigtigt at bemærke, at den elastiske og plastiske energi ikke er uafhængige af hinanden. Det betyder, at de ikke kun skal behandles hver for sig, men også i relation til hinanden, hvilket gør simuleringen yderst kompleks. Specielt i tilfælde af isotropisk hårdning kan det være nødvendigt at anvende yderligere teknikker til at vurdere, hvordan de plastiske energier opbygges i løbet af simulationen.

Derudover er det væsentligt at forstå de grundlæggende betingelser, der styrer plastisk deformation. For eksempel, hvordan yield-kurven og materialets hårdningsmodel påvirker den plastiske strain. Når systemet er ved at nå sin plastiske grænse, ændrer materialets respons sig markant. Derfor kræves det, at disse elementer behandles med omhu for at sikre, at simuleringen afspejler virkeligheden korrekt.

Sammenfattende er det nødvendigt at have en dyb forståelse af både de elastiske og plastiske faser i FEM-simuleringer, især når man arbejder med materialer, der udviser både elastisk og plastisk opførsel under belastning. Det er også vigtigt at mestre de numeriske metoder, som muliggør nøjagtige beregninger af disse faser, og at forstå, hvordan de forskellige energikomponenter interagerer under stress. Denne viden er fundamental for at kunne håndtere komplekse strukturanalyser og sikre, at simuleringen korrekt afspejler de fysiske forhold.

Hvordan materialer reagerer på plastisk deformation: En analyse af flydebetingelser og hårdning

Flydebetingelsen gør det muligt at afgøre, om et materiale kun undergår elastiske deformationer eller også plastiske deformationer under et givet belastningstilstand. I en enaksial trækprøve, hvor materialet udsættes for en ensrettet belastning, opstår plastisk deformation, når den indledende flydespænding, $k_{\text{init}}$, nås. Dette fænomen kan visualiseres i figuren 2.1, hvor det første tegn på plastisk deformation indtræffer ved den kritiske spænding. I sin generelle form kan flydebetingelsen skrives som:

hvor $\kappa$ repræsenterer den indre variabel for isotrop hårdning. Ved ideel plastisk deformation, som vist i figur 2.1b, bliver flydebetingelsen forenklet til:

De mekaniske betydninger af værdierne af $F$ er illustreret i figur 2.2, hvor grafen viser de elastiske og plastiske tilstande. Når $F(\sigma, \kappa) < 0$, betyder det, at materialet opfører sig elastisk, mens $F(\sigma, \kappa) = 0$ angiver begyndelsen på plastisk deformation, og $F(\sigma, \kappa) > 0$ er en ikke-fysisk tilstand.

En videre simplifikation kan opnås, hvis flydebetingelsen opdeles i et rent spændingsbidrag $f(\sigma)$, også kaldet flydekriteriet, og et eksperimentelt materialeparameter $k(\kappa)$, som betegnes som flydespændingen. Denne opdeling gør det muligt at formulere flydebetingelsen som:

I en enaksial trækprøve kan flydebetingelsen skrives som:

I tilfælde af lineær hårdning, som vist i figur 2.1b, kan den skrives som:

hvor $E_{\text{pl}}$ er den plastiske modulus. Ved ideel plastisk deformation bliver $F(\sigma, \kappa) = |\sigma| - k_{\text{init}} \leq 0$, og her er $E_{\text{pl}} = 0$.

Flydereglen beskriver udviklingen af de infinitesimale ændringer i den plastiske deformation $d\varepsilon_{\text{pl}}$ under belastningens forløb. I sin mest generelle form kan flydereglen skrives som:

hvor $d\lambda$ er en parameter, der beskriver konsistens, og $r(\sigma, \kappa)$ er funktionen for flyderetningen. Ifølge Drückers stabilitetsforudsætning kan flydereglen afledes som:

Denne flyderegel kaldes den normale regel eller den tilknyttede flyderegel, og i tilfælde af kompleks plastisk deformation kan den substitueres med en ikke-associeret flyderegel, der bruger en plastisk potentiel funktion $Q$:

For at beskrive mere komplekse materialegenskaber anvendes ofte en enklere flydebetingelse for $Q$, som gør det muligt at bestemme dens gradient lettere. Den associerede flyderegel kan anvendes på de tidligere nævnte flydebetingelser og giver for alle tre typer af plastisk hårdning (vilkårlig, lineær og ideel plastisk):

hvor $\text{sgn}(\sigma)$ er signumfunktionen, der angiver retningen af ændringen af den plastiske deformation.

Hårdningsreglen beskriver, hvordan materialets flydespænding ændres som funktion af de plastiske deformationer. I tilfælde af isotrop hårdning afhænger flydespændingen af en intern variabel $\kappa$:

Hvis den ækvivalente plastiske deformation anvendes som den hårdningsvariable ( $\kappa = |\varepsilon_{\text{pl}}|$ ), omtales det som strain-hårdning. Alternativt kan hårdningen beskrives som afhængig af det specifikke plastiske arbejde $\kappa = w_{\text{pl}} = \int \sigma d\varepsilon_{\text{pl}}$, hvilket kaldes work-hårdning. Når flydebetingelsen generaliseres til:

hvor $q$ repræsenterer den interne variabel for materialets hårdning, kan den evolutionære ligning for $q$ skrives som:

hvor $h$ beskriver udviklingen af hårdningsparameteren. For specifikke tilfælde som isotrop hårdning med strain space-formulering gives en mere præcis regel for udviklingen af den interne variabel som:

Denne formel hjælper med at forstå materialets respons under forskellige belastningsforløb og de faktorer, der driver ændringer i materialets hårdhed.

Det er vigtigt at bemærke, at det ikke kun er materialets hårdning, der bestemmer dets plastiske respons. Andre faktorer, såsom temperaturpåvirkninger, tid (som i viscoelasticitet), og mikrostrukturelle ændringer, kan også have en betydelig indvirkning på de plastiske egenskaber. Derfor skal forståelsen af plastisk deformation og hårdning i et materiale ses som en del af et større billede, der tager højde for både mekaniske og termiske belastninger samt eventuelle langtidseffekter.

Hvordan kinematisk og isotropisk herding påvirker materialers adfærd under plastisk deformation

I de fleste tilfælde kan den funktionelle opførsel af materialer under plastisk deformation beskrives med relativt enkle modeller, men når komplekse skader eller materialmodeller som Lemaitre eller Gurson introduceres, kan disse funktioner blive mere komplicerede. En sådan kompleksitet fremkommer særligt, når man betragter den kinematiske og isotropiske herding af materialer under belastning.

Under monotone belastninger, det vil sige ren træk eller ren kompression, er det svært at adskille kinematisk herding fra isotropisk herding alene ud fra spændings-strækningsdiagrammet. I et uklassisk enaksialt trækforsøg, hvor plastisk deformation og belastningsreversering finder sted, vil vi dog kunne observere tydelige forskelle i opførelsen af materialet.

Et grundlæggende eksperiment begynder uden nogen initial spænding eller deformation, og belastningen øges kontinuerligt. Når spændingen når den elastiske grænse, begynder materialet at deformere plastisk, og den første del af kurven forløber i det lineære elastiske område, hvor Hookes lov er gældende. Når spændingen overskrider flydespændingen, ændrer kurven sig markant, og plastisk deformation opstår. Efterhånden som belastningen fortsætter, stiger den plastiske deformation. Dette sker, indtil belastningen bliver omvendt ved et senere punkt. Når belastningen vendes, vil materialet undergå elastisk aflæsning, og kompression vil opstå, så snart belastningsvejen passerer strækningsaksen.

En interessant observation opstår, når plastisk deformation begynder i det kompressive område, da dette ikke nødvendigvis sker ved samme spændingsniveau som den oprindelige flydespænding. Her træder Bauschinger-effekten ind, et fænomen hvor materialet, efter at have gennemgået plastisk deformation under træk, har en lavere flydespænding, når belastningen vender mod kompression. Dette fænomen kræver plastisk præ-strækning efterfulgt af belastningsreversering. Kinematisk herding kan beskrives med en simpel betingelse, hvor den oprindelige flydespænding er konstant, men den kinematiske herdingparameter afhænger af en intern variabel.

I tilfælde af lineær herding er der en lineær sammenhæng mellem den kinematiske herdingparameter og den interne variabel, og dette kan beskrives ved en formel, hvor den kinematiske herdingmodul konstant kan udtrykkes som et forhold mellem ændringen i den plastiske deformation og ændringen i den kinematiske parameter. En mere generel tilgang til dette udtryk, Prager's hardening rule, tager højde for, at den kinematiske hardeningmodul kan være en funktion af tilstandvariablerne, som spænder over både spænding og interne variabler.

En yderligere generalisering ses i Ziegler's hardening rule, som benytter sig af en proportionalitetsfaktor, der er afhængig af den plastiske deformation, og som kan udtrykkes gennem en simpel forholdsregel. Denne model muliggør en mere detaljeret beskrivelse af, hvordan materialet reagerer på reversering af belastningen, og hvordan det tilpasser sig under gentagne belastningscyklusser.

Når isotropisk og kinematisk herding kombineres, kan de sammensættes til en fælles hardening-regel, som beskriver den en-dimensionelle yield-betingelse. Denne kombination muliggør en mere præcis modellering af materialets opførsel under både isotropiske og kinematiske ændringer, og hvordan de forskellige stress-strain forhold afhænger af flere parametre. For eksempel kan den kinematiske herdingparameter afhænge af flere interne variabler, som kan ændre sig med materialets tilstand.

Det er vigtigt at bemærke, at elasto-plastisk moduler ændrer sig under plastisk deformation, og materialets stivhed ændres afhængigt af belastningshistorikken. Dette kræver, at Hookes lov erstattes med en mere kompleks relation, der tager højde for både elastisk og plastisk deformation. Den elasto-plastiske modulus er en vigtig parameter for at beskrive materialets stivhed i de forskellige faser af deformationen. En algebraisk udledning af den elasto-plastiske modulus tager højde for både elasticitet og plastisk strømning, og det er nødvendigt at forstå den forbindelse for at beskrive materialernes adfærd korrekt under belastning.

For at forstå disse materialegenskaber er det også nødvendigt at dykke dybere ned i, hvordan de enkelte variabler, såsom intern plastisk deformation og herdingmoduler, interagerer under cyklisk belastning. Mens mange modeller for plastisk deformation er baseret på lineær eller simpel afhængighed af interne variabler, vil mere avancerede modeller tage højde for ikke-lineære forhold og mulige anisotropier, der kan opstå i materialet under længere tids belastning.

Hvad er de grundlæggende spændingsinvarianter og deres grafiske repræsentation i plastisk strømning?

De grundlæggende spændingsinvarianter spiller en central rolle i beskrivelsen af plastisk deformation under komplekse spændingstilstande. Disse invarianter giver en måde at udtrykke de interne spændinger i et materiale uden at afhænge af det specifikke koordinatsystem. I denne kontekst er det vigtigt at forstå, hvordan disse invarianter defineres, hvordan de relaterer sig til forskellige spændingstilstande, og hvordan de anvendes i praksis.

Først og fremmest er spændingsinvarianterne opdelt i to hovedkategorier: de hydrostatiske invarianter og de deviatoriske invarianter. For den hydrostatiske spændingstilstand, hvor alle de tre hovedspændinger er ens, defineres de første, anden og tredje invarianter som:

• Første spændingsinvariant: $I_1 = 3 \sigma_m$

• Anden spændingsinvariant: $I_2 = 3 \sigma_m^2$

• Tredje spændingsinvariant: $I_3 = \sigma_m^3$

Her repræsenterer $\sigma_m$ den hydrostatiske stresskomponent, som er den gennemsnitlige spænding i systemet.

De deviatoriske invarianter, som beskriver forskydningsspændinger, er defineret på en lidt mere kompleks måde og involverer de ikke-hydrostatiske komponenter af stressmatricen. For eksempel, den første deviatoriske invariant $I'_1$ er altid nul, og den anden og tredje invarianter $I'_2$ og $I'_3$ er funktioner af de specifikke komponenter af stressmatricen.

De specifikke relationer for de deviatoriske invarianter kan udtrykkes som følger:

• Anden deviatorisk invariant: $I'_2 = s_{xx} s_{yy} + s_{xx} s_{zz} + s_{yy} s_{zz} - s_{xy}^2 - s_{xz}^2 - s_{yz}^2$

• Tredje deviatorisk invariant: $I'_3 = s_{xx} s_{yy} s_{zz} - s_{xx} s_{yz}^2 - s_{yy} s_{xz}^2 - s_{zz} s_{xy}^2 + 2 s_{xy} s_{xz} s_{yz}$

Disse invarianter er afgørende for at kunne beskrive plastisk flow i materialer, der udsættes for multiaxiale stressforhold.

For at forstå, hvordan disse invarianter bruges i praksis, skal man overveje, hvordan de relaterer sig til de såkaldte yield-betingelser. Disse betingelser, der definerer overgangen fra elastisk til plastisk adfærd, kan udtrykkes som en funktion af disse invarianter. Den generelle form af yield-betingelsen er givet ved:

hvor $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ er de hovedspændinger, der er reduceret fra stressmatricen gennem en principiel aksistransformation.

I grafisk form er det muligt at visualisere yield-overfladen i et såkaldt Haigh-Westergaard stressrum, hvor spændingstilstande repræsenteres som punkter i et tredimensionelt rum. I dette rum er det muligt at vise yield-betingelsen som en overflade, hvor de plastiske og elastiske regioner er adskilt. For en rent deviatorisk stressforhold vil yield-betingelsen i dette rum have en særlig form, der relaterer sig til de deviatoriske invarianter $J'_2$ og $J'_3$.

Den geometriske tolkning af disse invarianter kan hjælpe med at forstå, hvordan materialet reagerer under forskellige stressforhold. For eksempel, hvis yield-betingelsen kun afhænger af $J'_2$, vil stress-tilstande med konstant $J'_2$ forme en cirkel i det oktahedriske plan. Hvis $J'_3$ er involveret, vil yield-overfladen få en mere kompleks form, som kan beskrives som et prisme med langs aksen langs den hydrostatiske akse.

Desuden kan yield-betingelserne opdeles i afhængigheder af den hydrostatiske spænding $J_o1$. Hvis yield-betingelsen er uafhængig af $J_o1$, vil yield-overfladen kun afhænge af de deviatoriske invarianter, og overfladen vil derfor blive en prismeform. Hvis der er afhængighed af $J_o1$, vil det medføre en ændring i tværsnittet af yield-overfladen langs den hydrostatiske akse.

En sådan tilgang til spændingsinvarianterne er ikke kun nyttig i teoretisk analyse, men også i praktisk implementering i numeriske simuleringer, især når man arbejder med endelige elementer. Ved at bruge disse invarianter kan man effektivt beregne afledte værdier og implementere yield-betingelser i kommercielle softwarepakker, hvilket gør det lettere at simulere plastisk adfærd under komplekse belastningsforhold.

For at få en bedre forståelse af disse invarianter er det vigtigt at dykke ned i de specifikke tilfælde af uni- og biaxiale stress-tilstande samt pure shear-stress-tilstande, som kan give indsigt i, hvordan de virker i praktiske scenarier. Grafiske repræsentationer og analyser af yield-betingelserne giver også mulighed for at visualisere de dynamiske ændringer i materialets respons på spændinger og kan hjælpe med at forstå, hvordan disse ændringer manifesterer sig under forskellige belastninger.