Jak elektrické náboje ovlivňují evoluci prachu a zamezují singularitám typu Big Crunch

Podle Bronnikova a Pavlova (1979), při Λ = 0, znamená znaménko ε určité limity pro možné typy evoluce R(t, r). Když R roste, třetí člen a absolutní hodnota čtvrtého členu na pravé straně rovnice (19.48) klesají. Nic nemůže zabránit tomu, aby R rostlo do nekonečna, když ε ≤ 0. Tyto dva případy tedy nemohou obsahovat modely recollapse (L–T) nebo Friedmannovy modely jako podpřípady. Když ε = 0, R,t se sníží na nulu, když R → ∞, pouze pokud Γ = 0. Avšak při Γ = 0 rovnice (19.52) implikuje M,r = 0, tj. vakuum v limitě Q → 0. Takže modely s plane symetrií a nabitými objekty neobsahují L–T modely s E = 0 (nebo k = 0 Friedmannovy modely) v limitě, ačkoli evoluce nabitého modelu může mít kvalitativní rysy k = 0 modelu.

Pokud jsou náboje nulové, Qe = Qm = 0, v kulovém symetrickém případě ε = +1, rovnice (19.38) se redukuje na rovnici geodetiky, zatímco rovnice (19.45), (19.46) a (19.48) se redukují na rovnice definující L–T model, kde 2E = Γ² − 1.

Když přecházíme k metrikám nabitého prachu, abychom je sladili s metrikou Reissner–Nordström, můžeme dále analyzovat význam a charakteristiky těchto metrik. Metrika Reissner–Nordström (R–N), která je vhodná pro kulovou symetrii a nulový magnetický náboj, je známá z předchozích kapitol (14.4). Tato metrika může být transformována do souřadnic typu Lemaître–Novikov, což je formát, který umožňuje snadnější interpretaci a vymezení konstant a proměnných v elektromagnetických modelech s kosmologickou konstantou.

Pro sférickou symetrii a nulový magnetický náboj je metrika R–N představována rovnicemi (19.54) a (19.55), kde ℛ(t, r) je funkcí časové a prostorové proměnné, která vyhovuje rovnicím v závislosti na elektromagnetickém poli a kosmologické konstantě Λ.

Ve chvíli, kdy se metriky nabitého prachu spojují s metrikou Reissner–Nordström, dochází k důležitému bodu: udržování kontinuitu metriky na křivkách konstantního r = rb znamená, že pro určité podmínky je nutné, aby pravá strana rovnice (19.55) byla stejná jako pravá strana rovnice (19.48), což vede k podmínkám vztahujícím se na náboje, hmotnost a další fyzikální parametry v tomto systému.

Při analýze singularit typu Big Crunch (BB/BC) v tomto kontextu je zásadní vliv elektrických nábojů. Vickers (1973) zdůrazňuje vliv nábojů na evoluci prachu a na to, jak mohou náboje zabránit vzniku singularity. Podmínky, za kterých může vzniknout nebo zmizet singularita, závisí na chování funkce W(R) v rovnici (19.63), která charakterizuje evoluci modelu. Jak ukazují rovnice, singularita Big Crunch může být vyhnuta, pokud jsou splněny určité podmínky týkající se hmotnosti M a elektrického náboje Q.

Pokud je hodnota E < 0, neexistují žádné kořeny funkce W(R), což znamená, že řešení rovnice (19.63) je povoleno pouze tehdy, když jsou splněny podmínky uvedené v rovnicích (19.64) a (19.66). V tomto případě, pokud je splněna rovnost v (19.64), pak se model stává statickým a prach se nerozpadá do singularity. Pokud jsou podmínky rovnosti splněny i pro určité hodnoty nábojů a hmotností, pak je model stabilní a prachová hmota může vykazovat oscilace, nikdy však nezmizí do singularity.

Pokud je E = 0, singularita může být zastavena, pokud je hmotnost M > 0 a náboj Q splňuje určité podmínky. Tento mechanismus vede k tomu, že kolaps prachu je zastaven a obrácen v určitý bod, který je definován hodnotou Rmin.

Když E > 0, existují dvě možnosti: buď funkce W(R) nemá žádné kořeny a model může dospět až k singularitě, nebo W(R) má dva kořeny a existují podmínky, které zajišťují, že singularita bude vyhnuta, pokud jsou splněny určité podmínky pro náboje a hmotnost.

Jaké vlastnosti mají kvazi-sférické Szekeresovy modely v kosmologii?

V roce 1975 Szekeres představil modely, které jsou stále užitečné pro popis inhomogenních kosmologických struktur. Tyto modely, stejně jako jiné v relativistické kosmologii, vycházejí z Einsteinových rovnic a poskytují různorodé možnosti pro popis struktury vesmíru v jeho raných fázích, kdy homogenita a izotropie přestávají platit. Diskuse Szekeresových modelů zahrnuje širokou paletu geometrických tvarů a závislostí na prostorovém souřadnicovém parametru $z$, což umožňuje zohlednit různé rozměrnosti a dynamiky vesmíru. Tyto modely přinášejí nejen teoretické, ale i praktické důsledky pro pochopení kosmologických singularit.

Tento proces není ve všech směrech simultánní, což znamená, že v různých směrech může vesmír dosahovat maximální expanze nebo minimálního kolapsu v různých časových obdobích. V této souvislosti je důležité zdůraznit, že Szekeresovy modely, i když umožňují v podstatě nelineární vývoj, neberou v úvahu průchody mezi jednotlivými vrstvami (shell crossings), což se může stát v některých limitních případech, například v Datt-Rubanově limitu.

V rámci Szekeresových modelů se objevuje také důležitá diferenciace mezi případy, kdy $\beta,z = 0$ a $\beta,z \neq 0$. Tato distinkce se ukazuje jako klíčová pro analýzu různých typů kosmologických řešení a pro porozumění tomu, jakým způsobem se mění struktura vesmíru v závislosti na konkrétní formě metriky a parametrů modelu. V případě, kdy $\beta,z = 0$, se chování modelu v podstatě přiblíží k známým Friedmannovým řešením, ale stále zůstávají přítomny některé charakteristické aspekty inhomogenity.

Dalším zásadním aspektem Szekeresových modelů je kvazi-sférická povaha některých jejich řešení. Když jsou souřadnice prostorového parametru $z$ uspořádány tak, že vznikají sféry, modely získávají schopnost popisovat izotropní chování v určitých oblastech vesmíru, což může být užitečné pro aproximace velkých struktur ve vesmíru, jako jsou galaktické kupy. S těmito modely je možné pracovat nejen analyticky, ale i numericky, což umožňuje realistické simulace vesmírné dynamiky.

Tato rozmanitost v řešeních a dynamice ukazuje, jak komplexní mohou být kosmologické modely, které umožňují studium inhomogenního vesmíru. Szekeresovy modely a jejich poddruhy s různými hodnotami parametrů $\beta$, $M$ a $k$ ukazují na potřebu velmi pečlivé analýzy každého konkrétního případu, protože i malé změny v těchto parametrech mohou vést k radikálně odlišným evolucím vesmíru.

Čtenář by měl mít na paměti, že i když se tyto modely vyhýbají některým problémům, které se objevují v tradičnějších kosmologických modelech, stále je nutné zohlednit mnoho komplexních faktorů. Pro pochopení konečného chování vesmíru je klíčové pochopit vztah mezi různými formami zakřivení prostoru, dynamiky energie a materiálových polí, a také vliv kozmologické konstanty, která může hrát zásadní roli v rozvoji struktury vesmíru.

Co je to teorie Goldberg-Sachs?

Představme si prostoročas, ve kterém existuje nulový geodetický vektorový pole $k^{\alpha}$, které je beze šíření (shearfree). V tomto případě bychom se měli zaměřit na geodetické křivky, které splňují podmínky definice nulového geodetického vektorového pole. Za předpokladu, že v tomto prostoročasu platí vakuové Einsteinovy rovnice $R_{\alpha\beta} = 0$ a Weylův tenzor není nulový, můžeme získat důležitý výsledek.

Goldberg-Sachsova věta ukazuje, že v takovém případě existuje přímá souvislost mezi nulovými geodetikami a takzvanými Debeverovými vektorovými poli, která jsou ve skutečnosti určena specifickými vlastnostmi Weylových tenzorů. Tento výsledek nám dává návod k pochopení geometrických struktur ve vysoce relativistických modelech, kde se používá dvojité nulové tetrady. Tato tetrada umožňuje vyjádřit různé složité vztahy mezi geodetikami a geometrickými vlastnostmi spojenými s křivkami a jejich rozšířeními v daném prostoročasu.

V uvedených rovnicích (16.83), (16.84) a dalších podobných výrazech je patrné, jak jsou tyto vztahy vyjádřeny v konkrétních koordinačních soustavách, například v dvojité tetradě, která usnadňuje manipulaci s geometrickými objekty. Výsledky ukazují, že pro každou konkrétní složku Weylových tenzorů, jako jsou $C_{0123}$, $C_{0213}$, a další, je možné provádět úpravy tak, aby se dosáhlo požadovaných nulových hodnot, což následně vede k triviálnímu Weylovu tenzoru a k výsledkům, které charakterizují prostoročasy jako Minkowského prostor.

V praktickém smyslu je však důležité porozumět tomu, že tyto teoretické výsledky nejsou jen matematickými konstrukcemi. Ve skutečnosti poskytují nástroje pro zkoumání struktury prostoru-času v kontextu moderní kosmologie a gravitační fyziky. Možnost, že geodetiky mohou být nejen nulové, ale i beze šíření, má zásadní důsledky pro modelování pohybu a interakce částic v těchto prostorech, zejména pokud se používají pro výpočty v oborech jako jsou černé díry nebo kosmologické singularity.

Rovnice, které jsme zde uvedli, ukazují, jak struktura Weylových tenzorů ve speciálních geodetických souřadnicích ovlivňuje celkovou geometrii a dynamiku systému. Pro každý konkrétní parametr, jako jsou koeficienty Ricciho rotace a Weylovy komponenty, existují vztahy, které umožňují ověřit, zda konkrétní geodetické pole vyhovuje předpokladům teorie. Z těchto důvodů je důležité pochopit, jakým způsobem interagují různé komponenty tensorů, a jak jejich chování může naznačovat přítomnost nebo absenci určitých geometrických vlastností.

Bez ohledu na konkrétní aplikaci ve výpočtech nebo analýzách, samotná teorie Goldberg-Sachs nás nutí přehodnotit naše chápání zakřivení prostoru a časoprostorových struktur, zejména v kontextu relativistických efektů a jejich praktických důsledků. Je kladeno důraz na to, jaké geometrické a topologické podmínky jsou nezbytné k tomu, aby prostor-čas vykazoval určité symetrie nebo složité geometrické vlastnosti, jako jsou ty, které vedou k Minkowského prostoru nebo k typům geodetik, které splňují určité geometrické podmínky.