Jak obnovit данные pomocí Hilbertových vektorů a vážené `1-minimalizace

V tomto textu se zabýváme metodami pro obnovení koeficientů funkcí za použití Hilbertových vektorů a vážené `1-minimalizace. Cílem je přiblížit čtenáři způsob, jakým se v oblasti aproximace funkcí využívají techniky s využitím sparsity a vážených penalizací pro efektivní rekonstrukci. K tomu se připojují přístupy, které pracují s Hilbertovými vektory a noise-blind dekodéry, což nám umožňuje lépe zvládat šum v datech a aproximaci funkcí.

Dalším krokem je rekonstrukce těchto koeficientů na základě měření, která jsou ovlivněna šumem. Pokud máme měření $y_1, y_2, ..., y_m \in \mathcal{U}$, definujeme normalizovanou měřicí matici $A$ a vektor chyby $e$, kde $A$ je maticí měření a $e$ je vektor chyby způsobený jak šumem v datech, tak zjednodušením expanze. Tímto způsobem lze rekonstrukci koeficientů vyjádřit jako řešení lineárního systému s šumem:

kde $b$ je měřený vektor a $e$ zahrnuje jak šum v měření, tak chybu vzniklou truncováním. Tento systém je následně vyřešen pomocí optimalizačního problému.

Pro řešení tohoto problému používáme metodu známou jako vážená Square-Root LASSO (SR-LASSO) optimalizace, která se formulovaná jako:

kde $\lambda$ je ladicí hyperparametr a $w$ je váhový vektor, který podporuje strukturu sparsity v koeficientech $c_{\mathcal{F}}$. Tato metoda je výhodná, protože optimální hodnota hyperparametru $\lambda$ nezávisí na velikosti šumu, což usnadňuje její použití v praktických aplikacích.

Další možností by byla aplikace metody na základě basis pursuit nebo neomezené LASSO formulace. Nicméně SR-LASSO je upřednostňováno, protože jeho hyperparametr nezávisí na konkrétních vlastnostech šumu, což je v praxi velmi výhodné.

Pokud jde o samotnou rekonstrukci, problémy spojené s diskrétním výběrem koeficientů vedou k fyzické chybě diskrétnosti. Tato chyba je důsledkem toho, že koeficienty, které jsou skutečně elementy v prostoru $V$, jsou v praxi aproximovány prvky v aproximovaném prostoru $V_h$, což přináší dodatečné chyby.

Tato metoda, i když je technicky náročná, poskytuje silný nástroj pro obnovu koeficientů v přítomnosti šumu a jiných praktických problémů, které jsou běžně přítomny ve výpočetní matematice a teorii aproximace funkcí. Díky využití vážených `1-minimalizací, Hilbertových vektorů a noise-blind dekodérů se tento přístup ukazuje jako robustní a efektivní při rekonstrukci a aproximaci složitých funkcí.

Jak optimalizace vlivu restartovaných primal-dual iterací ovlivňuje numerické výsledky?

V každém experimentu jsme nastavili úroveň kvadraturní metody na co nejvyšší hodnotu, jak to umožňovaly dostupné výpočetní prostředky, tedy čas a paměť. Zvolili jsme metodu konečných prvků (FEM), jak je implementována v Dolfinu v rámci Python knihovny FEniCS, což nám umožnilo pracovat s funkcemi hodnotami v Hilbertově prostoru, konkrétně pro funkce f3 a f4. Vytvořili jsme pravidelnou triangulaci Th oblasti D, která je složená z trojúhelníků o rovnoměrném průměru. Předpokládáme, že použijeme konformní diskrétnizaci, což znamená, že získáme konečně dimenzionální podprostor Vh v rámci Hilbertova prostoru.

Discretizace byla provedena na základě třídy elementů Lagrange, kde jsme použili základní prvek ¹' K iºi řádu D1 (k = 1). Při vytváření sítě jsme použili metodu UnitSquareMesh s 33 uzly na každé straně, což vedlo k vytvoření sítě s 1089 uzly, 2048 elementy a velikostí sítě h = 2/32.

Ve všech experimentech jsme porovnávali dvě varianty primal-dual iterace: standardní a restartovanou verzi, přičemž experimenty ukázaly, že restartovaná iterace poskytuje výhodu v podobě rychlého zlepšení přesnosti. To bylo obzvlášť patrné u funkcí f1 a f3, které jsou dobře aproximovatelné polynomy. V těchto případech se chyba s restartovanou metodou velmi rychle zmenšovala, což vedlo k dosažení relativní chyby nižší než 10⁻⁶ za přibližně 500 iterací. Naproti tomu v případě standardní iterace bylo dosažení takto nízké chyby mnohem pomalejší a vyžadovalo více než 1000 iterací.

Významným zjištěním z těchto experimentů je, že výkon restartované primal-dual iterace je poměrně necitlivý na hodnotu tolerančního parametru 0. I když naše teoretické výsledky ukazují, že konvergence bude exponenciální pouze při nastavování 0 na hodnotu menší než nějaký horní limit chyby, v praxi nebyl tento parametr až tak důležitý. Testovali jsme různé hodnoty 0 (10⁻⁴; 10⁻⁶; 10⁻⁸; 10⁻¹⁰), přičemž výsledky byly téměř totožné a křivky experimentů se překrývaly, zejména při restartovaných iteracích. To naznačuje, že praktická implementace algoritmu je relativně robustní vůči nastavení tohoto parametru.

Dalším pozoruhodným aspektem experimentů je pozorovaná shoda mezi teoretickým rychlým poklesem chyby při restartovaných iteracích a reálným chováním algoritmu. Tento pokles odpovídal teoretickým předpovědím o exponenciálním zlepšení, což bylo ve všech experimentech jasně patrné.

Zajímavým faktem, který si čtenář musí uvědomit, je že experimenty byly navrženy tak, aby se odstranil vliv fyzikálních chyb diskrétnizace, což je v některých případech běžné, ale v tomto kontextu nebylo nutné provádět takovou další náročnou výpočtovou práci. Naopak, kladný výsledek dosažený použitím restartovaných iterací ukazuje na silné stránky tohoto přístupu. I přesto, že přesné řešení nebylo k dispozici, experimenty naznačují, že metoda je robustní vůči různým nastavením parametrů a poskytuje spolehlivé výsledky i při vysoce dimenzionálních problémech.