Při studiu dynamických systémů a jejich entropie se často setkáváme s termínem "entropie" ve vztahu k různým typům transformací. Jedním z klíčových nástrojů pro analýzu dynamiky je pojem "měřitelné entropie", který se využívá k určení míry chaotického chování systému. Tento pojem je často aplikován na buněčné automaty (CA), přičemž jedna z důležitých tříd buněčných automatů je 1D-LCA (jednoduchý jednorozměrný lineární buněčný automat).

Pro pochopení tohoto tématu si nejprve definujeme, co je to "formální mocninný rozvoj" (FPS) a jak souvisí s výpočtem entropie. Formální mocninný rozvoj je nástroj, který se používá pro vyjádření pravidla buněčného automatu, přičemž v tomto případě je to polynom v oblasti Laurentových polynomů, kde jsou koeficienty v celých číslech modulo m. Tento nástroj nám umožňuje pracovat s periodickými a nelineárními transformacemi v rámci buněčných automatů a jejich iterací.

Pokud máme dané pravidlo automatu ff a jeho odpovídající FPS, pak je možné odhadnout, jak bude automat reagovat na opakované aplikace tohoto pravidla. Výraz AT[l,r](X)A_T^{[l,r]}(X) vyjadřuje specifické chování automatu při aplikaci jeho pravidla na počáteční konfiguraci cc.

V případě iterací, pokud máme n iterací Tfn[l,r]T^n_f[l,r], vychází, že pro každou konfiguraci cc platí:

PTfn[l,r](c)(X)=Pc(X)AT[l,r](X)n.P_{T^n_f[l,r]}(c)(X) = P_c(X) A_T^{[l,r]}(X)^n.

Tento vztah ukazuje, jak se konfigurace mění s každou iterací a jak se dynamika systému zachovává díky lineární povaze pravidla.

Pokud se podíváme na konkrétní příklad, pravidlo f(x1,x2,x3)=2x1+2x2+3x3(mod4)f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 \pmod{4}, můžeme odvodit odpovídající FPS a jeho inverzi. Výpočet inverze FPS je důležitý pro porozumění tomu, jak se daný automat chová v obráceném směru, což nám pomáhá lépe pochopit dynamiku systému a jeho entropii. Tento proces je úzce spojený s Čínskou zbytkovou větou, která nám umožňuje nalézt inverzi modulačně k zadaným prvočíslným dělitelům.

Když se tedy podíváme na entropii buněčných automatů, můžeme se zaměřit na tzv. "měřitelnou entropii", která vychází z kolmogorovské teorie a je definována pro každou partition α\alpha systému. Tato entropie nám ukazuje, jak různé podmnožiny systému reagují na aplikace transformace TT, přičemž měříme "neuspořádanost" a "chaos", který vzniká.

Podle Kolmogorovovy-Sinajovy věty, pokud máme transformační systém TT na prostoru pravděpodobností, pak entropie transformace TT je definována jako supremum entropií všech možných partitions α\alpha. Tato entropie nám říká, jak moc se systém „neřídí“ a jak se dynamika stává složitější s každým opakováním aplikace pravidla. V kontextu 1D-LCA můžeme tuto entropii použít k určení, jak komplexní je chování automatu v dlouhodobém horizontu.

Pro výpočet entropie v souvislosti s pravidly, která definují 1D-LCA, musíme být schopni spočítat entropii pro každý možný partition α\alpha, což je proces, který se ve své podstatě neobejde bez pokročilých metod, jako jsou právě FPS a jejich inverze.

Důležité je také pochopit, že entropie lineárních buněčných automatů není vždy konstantní. V závislosti na parametrech pravidla (např. velikost modulo m nebo volba konkrétního pravidla) se může chování systému radikálně změnit, což ovlivňuje i výpočet entropie. Tato dynamika je jedním z hlavních výzev při analýze komplexních dynamických systémů, jakými jsou 1D-LCA.

Jak funguje hexavalenční mřížka a její aplikace v 2D systémech?

V teoretických modelům, který zkoumá struktury mřížek s šestivaznými uzly, je třeba porozumět několika klíčovým vlastnostem. V této kapitole se podíváme na to, jak je možné rekonstruovat správné barevné rozdělení mřížky G6 a G3, a jaké jsou související matematické vztahy, které umožňují práci s těmito mřížkami.

Prvním důležitým vztahem je rovnost, která se prokazuje na základě souřadnic každého bodu v mřížce VH. Pro každé x ∈ VH platí vztah:

x1−x2≡x2−x3≡x3−x1(mod3)x_1 - x_2 \equiv x_2 - x_3 \equiv x_3 - x_1 \pmod{3}

Tato rovnost, ověřená v počátku na bodě (0, 0, 0), se dá použít pro celou mřížku prostřednictvím indukce. Tento vztah je základem pro rozdělení mřížky na tři barevné podmnožiny a umožňuje tak rekonstruovat trojbarevné dělení v G6.

Pro mřížky G(k) 3 ve tvaru čtvercové nebo hexagonální mřížky (viz obrázek 5 ↑) je sada uzlů definována jako V−VkV - V_k, kde každé x ∈ V_{k-1} (mod 3) je nyní spojeno se třemi sousedy (x+ε1),(x+ε2),(x+ε3)(x + \varepsilon_1), (x + \varepsilon_2), (x + \varepsilon_3), zatímco každý bod x ∈ V_{k+1} (mod 3) je spojen s body (x−ε1),(x−ε2),(x−ε3)(x - \varepsilon_1), (x - \varepsilon_2), (x - \varepsilon_3). Tato struktura vytváří specifické topologické vlastnosti, které lze aplikovat na různé typy mřížek.

Pokud se podíváme na hexavalenční mřížku z geometrického pohledu, může být užitečné popsat tuto mřížku jako mřížku Eisensteinových celých čísel, což umožňuje snadno spočítat vzdálenost mezi uzly v této struktuře. Eisensteinova celá čísla Z[ω]\mathbb{Z}[\omega] jsou definována jako množina čísel ve tvaru z=a+bωz = a + b\omega, kde a i b jsou celá čísla a ω=e2iπ/3\omega = e^{2i\pi / 3} je první primitivní třetí kořen jednotky. Tento algebraický přístup je vhodný pro popis vztahů mezi uzly v mřížce a jejich vzájemnou vzdálenost.

Při výpočtu vzdálenosti mezi dvěma body v této mřížce, kde x=(x1,x2,x3)x = (x_1, x_2, x_3) a y=(y1,y2,y3)y = (y_1, y_2, y_3), definujeme vzdálenost podle Chebyshevovy metody jako:

d∞(x,y)=max⁡(∣y1−x1∣,∣y2−x2∣,∣y3−x3∣)d_{\infty}(x, y) = \max(|y_1 - x_1|, |y_2 - x_2|, |y_3 - x_3|)

Tento způsob výpočtu vzdálenosti je obzvláště užitečný při modelování pohybu na hexagonální mřížce, kde se pohyb realizuje podle pravidla "krále" na šachovnici, kde každý uzel má šest sousedů.

V souvislosti s těmito vlastnostmi se dostáváme k možnosti transformace mřížky do jiných souřadnicových systémů. Například ortonormální souřadnice mohou být převedeny na hexanormální souřadnice pomocí vhodné transformace, která zahrnuje rotaci a změnu orientace mřížky. Takto lze provádět mapování mezi Bravais–Millerovými souřadnicemi a ortonormálními souřadnicemi, což je užitečné při analýze a zpracování dat v systémech s mřížkami s různými topologiemi.

Přechod mezi těmito systémy je důležitý pro porozumění vztahům mezi jednotlivými uzly mřížky a jejich vzájemným uspořádáním. Výsledkem těchto transformací je, že při práci s hexavalenčními mřížkami můžeme používat nejen geometrické metody, ale i algebraické nástroje, které umožňují efektivní popis struktury mřížky a výpočty vzdáleností mezi uzly.

V souvislosti s tímto je zajímavé, jak mřížky s různým počtem sousedů (například čtyřvazné nebo šestivazné mřížky) vykazují odlišné topologické vlastnosti. Pro čtyřvazné mřížky je běžná čtvercová mřížka, zatímco pro šestivazné mřížky je preferovanou volbou hexagonální konstrukce. Každá z těchto struktur má své výhody a nevýhody, a její volba závisí na specifických potřebách dané aplikace.

Jedním z klíčových aspektů těchto mřížek je jejich schopnost tvořit pravidelná a škálovatelná uspořádání. Hexagonální mřížky, díky své symetrii a pravidelnosti, jsou ideální pro vytváření vzorců, které lze snadno tilovat v rovinném prostoru, což je výhodné pro různé aplikace, jako jsou modely buněčných automatů nebo simulace přírodních struktur.

Pokud se rozhodnete aplikovat tento model na reálné problémy, měli byste mít na paměti, že geometrické transformace a algebraické přístupy nejsou pouze teoretickými cvičeními, ale mají reálné aplikace v oblastech, jako je zpracování obrazů, analýza sítí, nebo studium dynamiky systémů s pravidelnými prostorovými strukturami.

Jaké jsou třídy parciálních řešení FSSP pro buňkové automaty s omezenou komunikací mezi buňkami?

V oblasti synchronizace buňkových automatů existuje mnoho otevřených problémů a neznámých, které jsou v současnosti předmětem intenzivního výzkumu. Mezi těmito problémy se nachází i otázka o třídách parciálních řešení problému synchronizace střelby (FSSP) pro různé konfigurace automatů. V tomto kontextu je zajímavé zaměřit se na problémy týkající se synchronizátorů pro jednorozměrné a dvourozměrné buňkové automaty a také na otázku omezené komunikace mezi buňkami.

Různé konfigurace synchronizátorů pro jednorozměrné a dvourozměrné pole

Pro jednorozměrné pole existuje několik známých řešení problému synchronizace střelby (FSSP) pro různé délky pole. Umeo a jeho kolegové navrhli novou třídu nejmenších 4-stavových synchronizačních protokolů, které mohou synchronizovat jednorozměrná pole o délce n=2k−1n = 2k - 1, n=2kn = 2k a n=2k+1n = 2k + 1, kde k≥2k \geq 2. Tato řešení zahrnují celkem 4 řešení pro délku n=2k−1n = 2k - 1, 415 řešení pro délku n=2kn = 2k a 41 řešení pro délku n=2k+1n = 2k + 1. Množství těchto řešení naznačuje, že existuje široká třída možných parciálních řešení pro pole a že struktura těchto synchronizátorů je podstatně složitější než u synchronizátorů pro kruhy. Důležitou roli při synchronizaci hrají levé a pravé okraje pole, které poskytují klíčové informace pro celý proces.

Přesto zůstává otevřená otázka, kolik 4-stavových asymetrických parciálních řešení existuje pro pole. Předpokládáme, že jejich počet bude mnohem vyšší než tisíc, což ukazuje na potenciál této oblasti pro další výzkum.

1-bitová komunikace mezi buňkami a její dopad na synchronizaci

Dalším významným směrem výzkumu je studium 1-bitové komunikace mezi buňkami, která byla popsána Kutribem a Malcherem a dále rozvinuta Umeo a Kamikawou. Tento typ buňkového automatu omezuje komunikaci mezi sousedními buňkami na jediný bit, což přináší nové výzvy při návrhu synchronizátorů. Otázkou, která zde vzniká, je, jaká je třída parciálních řešení pro 1-bitovou komunikaci mezi buňkami. Tato otázka se ukazuje jako velmi zajímavá, protože omezená komunikace mezi buňkami výrazně mění dynamiku celého automatu. Například, může existovat minimální časové řešení pro 3-stavové 1-bitové komunikační automaty, ale zatím není známo, zda je možné dosáhnout minimálního času pro všechny možné konfigurace.

Parciální řešení pro pole a kruhy

Při srovnání parciálních řešení pro jednorozměrná pole a kruhy je patrné, že synchronizátory pro kruhy jsou strukturovaně jednodušší než pro pole. Například synchronizační protokoly pro kruhy mohou být symetrické i asymetrické, zatímco synchronizátory pro pole jsou mnohem složitější. Podle Umeo a jeho kolegů jsou pro jednorozměrná pole různé třídy řešení synchronizace, včetně semi-symetrických a asymetrických řešení, přičemž pro délku pole n=2k−1n = 2k - 1 existuje 132 asymetrických řešení a 39 symetrických. Pro délku n=2kn = 2k je toto číslo ještě vyšší – 415 asymetrických a 17 symetrických řešení.

Toto porovnání ukazuje, že struktura a složitost synchronizátorů pro pole je výrazně komplikovanější než pro kruhy. Navíc je třeba vzít v úvahu, že synchronizátory pro 2D pole, jako jsou čtverce a obdélníky, zůstávají stále neprozkoumané.

Dopad hranic na synchronizaci

Kritickým faktorem pro účinnost synchronizace je role hranic polí. V případě jednorozměrného pole hraje levá a pravá hranice důležitou roli při synchronizaci, protože slouží jako výchozí bod pro proces synchronizace celého pole. Tento faktor se stává ještě důležitější, pokud jde o 2D pole nebo tori, kde hranice mohou mít významný vliv na dynamiku synchronizace.

V souhrnu lze říci, že problém synchronizace střelby v buňkových automatech zůstává otevřeným výzkumným problémem, který nabízí široké možnosti pro další zkoumání. Množství dostupných parciálních řešení, rozdíly mezi synchronizátory pro pole a kruhy a role hranic jsou jen některé z mnoha aspektů, které je třeba dále studovat, aby se rozšířil náš pohled na tento fascinující problém.

Jak dosáhnout požadovaného stavu v systémech s celulárními automaty: Řízení a dosažitelnost

V teoretickém rámci řízení systémů, jako jsou celulární automaty (CA), se klade důraz na možnost aplikovat vhodné řízení, které umožňuje systému dosáhnout požadovaného stavu, tedy dané konfigurace. Příkladem může být problém, kdy se studovaný systém reprezentuje jako populace škůdců, a cílem řízení je tuto populaci přivést k vyhynutí v určitém čase. Slabší verzí tohoto problému je udržet populaci pod určitou prahovou hodnotou. Tématem dosažitelnosti se zabývá sekce 4.1.

Problém říditelnosti je zcela komplementární k problému dosažitelnosti: jakmile je systém přiveden do požadované konfigurace, jaký druh řízení umožňuje, aby tento systém následoval konkrétní trajektorii? Příkladem může být stabilizace pevných bodů nebo snaha přimět systém, aby následoval cyklický vzorec. Tento problém říditelnosti je podrobně rozpracován v sekci 4.2.

Cílem v oblasti řízení je vždy dosáhnout požadovaného cíle s optimálními náklady, tedy s minimálním úsilím. Takové problémy se označují jako problémy optimálního řízení. V rozšířených systémech se může ukázat, že není nutné řídit celý prostor, ale pouze stav konkrétní oblasti. Například jak zabránit tomu, aby znečišťující látka dosáhla určité části prostoru. Techniky pro řízení diskrétních systémů jsou výrazně odlišné od těch používaných pro kontinuální systémy, protože diskrétní systémy bývají silně nelineární a obvyklé lineární aproximace zde nelze přímo aplikovat.

Jednou z možností je měnit konfiguraci na konkrétním místě, což u Booleanových celulárních automatů znamená změnit hodnotu na daném místě. Intenzita řízení je pak spojena pouze s průměrným počtem změn a nelze ji zvolit zcela neomezeně malou. Tento problém souvisí s takzvanou regionální říditelností, což je speciální případ řízení výstupu. Regionální problém řízení spočívá v dosažení cíle pouze v podregionu prostoru, přičemž specifické akce se vykonávají na systému, a to buď v jeho vnitřní oblasti, nebo na jeho hranicích.

Regionální říditelnost byla zkoumána i za použití modelů CA. V jednom z výzkumů byla vyvinuta numerická metoda založená na genetických algoritmech pro třídu aditivních CA v 1D a 2D případech. Jiný výzkum se zaměřil na teoretické studie pro 1D aditivní reálné hodnoty CA, kde byl efekt řízení dán vyvíjejícím se sousedstvím a velmi sofistikovanou funkcí přechodů stavu. Nicméně tato studie neposkytla hlubší vhled do problému regionální říditelnosti a teoretické výsledky nemohly být využity pro další práci.

V tomto textu se snažíme představit obecný rámec pro řešení problému regionálního řízení pomocí CA, který využívá koncept Booleanových derivátů. Zde se soustředíme na řízení hranic, přičemž se zvažují pouze deterministické jednorozměrné CA. Tento přístup je možné rozvinout na jiné typy CA, což ukazuje, že lineární DCA jsou říditelné (v dosažitelnostním smyslu), a tuto vlastnost lze rozšířit na další CA.

Problém řízení pro PCA (pravděpodobnostní celulární automaty) je o něco subtilnější. Obecně není možné přesně přivést tyto systémy do určité konfigurace, ale je možné zvýšit pravděpodobnost, že systém dosáhne cílového stavu. K tomu je potřeba využít náhodné číslo při výpočtu budoucího stavu každého místa. Vytvořením jakéhosi „uvedeného pole“ na začátku výpočtu se umožní přechod od stochastické k deterministické dynamice. To umožňuje PCA s jemně vyladěnými vlastnostmi aplikovat běžné techniky používané pro deterministické CA.

Dalším přístupem je zohlednění skutečné stochastické dynamiky PCA. V tomto případě není možné garantovat, že systém bude přiveden k určitému stavu v určitém čase, ale je možné zvýšit pravděpodobnost dosažení tohoto stavu. Vývoj PCA může být chápán jako Markovův řetězec, kde prvky přechodové matice jsou dány součinem místních pravděpodobností přechodů. Markovův řetězec je ergodický, pokud je možné přejít z jakéhokoli stavu do jakéhokoli jiného stavu v konečném počtu kroků.

Dosažitelnost problému lze definovat z hlediska pravděpodobnosti, jak se připojit mezi libovolnými dvěma místy. A protože DCA lze považovat za extrémní limit PCA, tato technika je použitelná i pro ně.

Pokud jde o problém řízení trajektorie, obecně není možné donutit systém, aby přesně následoval určitou trajektorii, protože by to vyžadovalo téměř úplnou kontrolu. Nicméně je možné přivést systém k jedné z jeho přirozených trajektorií. Pokud má systém dva pevné bodové atraktory, je možné řídit systém směrem k jednomu z nich. U pevných bodů je relativně snadné identifikovat konečný atraktor systému, ale u chaotických atraktorů je to podstatně složitější. Problém říditelnosti tak připomíná problém synchronizace: jaká je minimální námaha k tomu, aby „otrocký“ systém synchronizoval svůj pohyb s „pánovským“ systémem.

Jak fungují rekurentní neuronové sítě (RNN) a jejich trénování?
Jaké materiály jsou vhodné pro konstrukci podpůrných struktur větrných turbín na moři?
Co znamená být na správné straně zákona?
Co je závislost a jak ji rozpoznat?
Jak efektivně prosazovat podporu duševního zdraví ve školách