Jak paralelní transport v hyperbolickém prostoru ovlivňuje geodetické rovnice a geometrii?

Vektor $V$ je transportován paralelním způsobem, přičemž v tomto procesu existuje pouze normální složka změny vektoru, kterou lze zapsat jako $dV = v_{\alpha} \Omega_{\alpha}^3 e'_{\alpha 3}$, což odpovídá vztahu $dV = v_{\alpha} \Omega_{\alpha}$ (2.24). Tento přístup, založený na paralelním transportu, je aplikován na vektor posunutí z rovnice (2.22). Pokud je splněna podmínka $d\sigma_{\alpha} + \sigma_{\nu} \Omega_{\alpha \nu} = 0$, znamená to, že vektor $dP$ je paralelně transportován v hyperbolickém prostoru. Cesty, podél kterých je tento transport realizován, jsou tedy geodetikami dané roviny. Geodetické rovnice mohou být vyjádřeny v čistě diferenciální formě, nezávislé na jakémkoli parametru kontinuity:

Tato podoba rovnice zahrnuje pouze symetrické diferenciály, což znamená, že se jedná o diferenciály v Leibnizově smyslu, nikoli vnější diferenciály. Tento přístup vyvolává otázku, zda mohou být rovnice fraktální: není potřeba je vázat na parametr kontinuity. Jakmile je tento parametr zaveden, diferenciály se stávají „fluxiony“ v čistém smyslu Newtonovy počáteční teorie, která definuje „konečné“ a s tím spojené „infinitní“ a „transfinitní“ podle přijetí Nicholase Georgescu-Roegena.

Rovnice geodetik mohou být odvozeny pomocí metriky (2.20) jako Lagrangián a následným řešením příslušného variačního problému. Poté lze spočítat složky $d^2P$ podél geodetik a pomocí těchto komponent se druhý fundamentální tvar plochy lokálně reprezentuje hyperbolickou rovinou. Podle rovnice (2.24) je druhý fundamentální tvar této plochy totožný s jejím prvním fundamentálním tvarem, tedy s metrikou Beltramiho–Poincaré:

Jednotkový vektor metriky Beltramiho–Poincaré je tedy dán konformitou, která vychází z jednotkového vektoru Eukleidovské roviny:

Přesto něco zůstává neměnné, a to je forma spojení. Po diferenciaci dostáváme:

Podél geodetik definovaných rovnicí (2.28) je tedy nový rotovaný co-rámec stále paralelně transportován, pouze s novou formou spojení, která představuje „aktualizaci“ původního spojení podle diferenciálu úhlu rotace. Tento jev je základem Bäcklundovy transformace.

Killingova–Cartanova kvadratická forma, která popisuje tuto algebru jako Riemannovský prostor, má následující podobu:

Tento tvar představuje trojrozměrnou kvadratickou Lorentz-Minkowského formu, která popisuje Riemannovský prostor, jenž se redukuje na hyperbolickou rovinu v případech, kdy $\phi$ je „úhlem paralelismu“, tedy spojení.

Geometrie tohoto prostoru, jak je ukázáno výše, není pouze abstraktní matematická konstrukce, ale přímo souvisí s fyzikálními silami, které jsou vyjádřeny Riemannovskou geometrií. K tomu se vztahuje důležitý pojem gaugingu: geometrické objekty v tomto kontextu nejsou běžné délky v Eukleidovské rovině, ale spíše parametry, které jsou součástí složitějších geometrických struktur. Pro lepší pochopení této souvislosti je vhodné se zaměřit na teorií potenciálů a jejich vztah k rozměrům, které lze popsat pomocí Einsteinových rovnic a teorie relativistického prostoru-času.

Jak hyperbolická geometrie a skyrmiony ovlivňují porozumění jaderné a sluneční energii?

Problémy dynamiky a geometrie se často stávají mostem mezi mikro- a makrosvětem. V tomto ohledu má velmi specifickou geometrickou podobu, která odráží strukturu vnitřního prostoru jednotkového kruhu, tedy hyperbolickou geometrii Lobachevského. Stejně jako v případě pohybu planet, kde jsou výstřednosti malé, v reálných prostorových termínech platí, že hyperbolická geometrie se vztahuje pouze na malý region prostoru, prakticky soustředěný do objemu samotného Slunce. Podobně lze mluvit o jádru, pokud se zaměříme na atom. Tato hyperbolická geometrie by tedy mohla popisovat obsah a způsob generování sluneční a jaderné energie, procesy deformace kontinuální struktury jejich hmoty.

Lord Kelvin se o podobnou myšlenku pokusil v polovině 19. století, když se zabýval zdrojem sluneční energie. Nejvýznamnějším závěrem však je, že tento přístup by mohl skutečně přiřadit „prostorovou expanzi“ jaderné hmoty, ve formě harmonických ploch v prostoru, do oblastí, jejichž měřítkem je výstřednost Keplerova pohybu. Jinými slovy, harmonické mapy mezi fyzikálním prostorem a Lobachevského rovinou jsou úzce spojeny s fyzikou Slunce, pokud jde o planetární systém, nebo s fyzikou jádra v případě klasického atomového modelu.

V současnosti však není zřejmé, zda existují konkrétní náznaky takového teoretického popisu v případě Slunce. Pokud bychom však nezohlednili současný zájem o seismiku Slunce a planet, mohlo by se v některých případech jednat o aplikaci harmonických map. Tato teorie se ale ukazuje jako velmi relevantní pro jadernou fyziku, kde jaderná hmota může být popsána harmonickými mapami, přičemž v poslední době se stále častěji používá model Skyrme.

Tento fakt nás nutí se zamyslet nad zajímavým a dosud nejednoznačným propojením mezi minulostí a přítomností elektronů. Když elektron vstupuje do jádra, je to jako by vstupoval do minulosti, zatímco při jeho ejektování z jádra se okamžitě dostává do přítomnosti. Minulost a přítomnost se tedy setkávají uvnitř jaderné hmoty. Tento přechod mezi minulostí a přítomností elektronů měl podobu v populárním modelu atomu, který vychází z analogie s planetárním systémem.

V tomto ohledu se ukazuje, že současný kosmogonický model planetárního systému opomíjí důležitý aspekt, který odpovídá „požívání“ elektronu jádrem. Tato mezera v současné astrofyzice ukazuje na nutnost hledat procesy v atomovém světě, které by měly paralelu v rámci vzniku planet. Tento přechod mezi přítomností a minulostí je klíčovým momentem pro fyzikální pojetí času.

Ve světle těchto úvah se dostáváme k modelu, který zavádí Richard Feynman v podobě svých slavných grafů, jež ukazují přechod od běžného kontinuálního popisu v prostoru a čase k náhodnosti událostí na atomární úrovni. Feynmanova metoda ukazuje nezbytnost diskutovat čas nejen jako kontinuum, ale jako fyzikální veličinu, která má svůj obsah. Pozitron, například, je elektron jdoucí zpět v čase: zatímco pro elektron čas plyne běžně směrem do budoucnosti, pro pozitron to znamená pohyb zpět do minulosti.

Tato souvislost se také týká metriky Fockova prostoru rychlostí v rámci speciální relativity. Fockova metrika je dobře známá v teoretické fyzice a může být použita k vytváření absolutní metriky pro všechny možné rychlosti hmoty v tomto prostoru. Tento přístup má své opodstatnění, protože všechny rychlosti materiálních těles jsou nižší než rychlost světla, což umožňuje, aby metrika Fockova prostoru byla dobře přizpůsobena pro měření minimálních informací ve rychlostním prostoru. Tato metrika, včetně její geometrizace, nese známky univerzality pro harmonické mapy, které reprezentují jadernou strukturu.

Všechny tyto teoretické úvahy nás nakonec přivádí k modernímu pojetí skyrmionů. Skyrmion je topologický soliton, který může reprezentovat nukleony jako formy jaderné hmoty. Tento přístup začal s fyzikem Tony Skyrmem a dnes je jedním z klíčových modelů ve struktuře jaderné hmoty. Skyrmion je, jak ukážeme, přímo napojen na teorii harmonických aplikací a poskytuje zajímavou alternativu k tradičním modelům popisujícím jádro a jeho dynamiku.