Jak se chovají geodetiky v rovině rovníku v metrice Kerrovy černé díry?

Pokud je $a^2 < m^2$ , pak $\Delta r > 0$ pro $r < r^{ - }$ a pro $r > r^{+}$ , kde $r^{\pm}$ jsou hodnoty dané rovnicí (21.58). Mezi $r^{ - }$ a $r^{+}$ je diskriminant (21.140) záporný, což znamená, že $R(r)$ nemůže mít v tomto intervalu žádné nuly, což zase znamená, že $\frac{dr}{ds} \neq 0$ . Z tohoto důvodu zde neexistují žádné kruhové dráhy a ani žádné bodové obrátky pro jiné dráhy. Těleso, které vstoupí do oblasti $(r^{ - }, r^{+})$ z oblasti $r > r^{+}$ , musí pokračovat směrem k menším hodnotám $r$ , až proletí skrze $r = r^{ - }$ . Na rozdíl od Schwarzschildova případu však nemusí nutně zasáhnout singularitu, protože zde může existovat obrátkový bod pro $r < r^{ - }$ . Naopak těleso, které vstoupí do oblasti $(r^{ - }, r^{+})$ z oblasti $r < r^{ - }$ , musí pokračovat směrem k větším hodnotám $r$ , až proletí skrze $r = r^{+}$ .

Oblast $r^{ - } < r < r^{+}$ je analogická oblasti $r < 2m$ v Schwarzschildově časoprostoru a odpovídající oblasti v Reissner–Nordströmově časoprostoru. Analogii s časoprostorem R–N je možné vnímat jako dalekosáhlou, viz sekce 21.9. Hodnota $E_{\text{min}}(r) = E^{+}(r)$ závisí na znaménku $aL_z$ . Pokud je $aL_z > 0$ , orbitální úhlový moment tělesa na dráze a vnitřní úhlový moment zdroje gravitačního pole mají stejný směr. Takové dráhy se nazývají přímé. Pokud je $aL_z < 0$ , mají oba úhlové momenty opačné směry. Tyto dráhy se nazývají retrográdní. Rozdíl mezi těmito dráhami je relativistický: Newtonovo gravitační pole nereflektuje směr rotace centrálního tělesa. Je citlivé pouze na asymetrie (polární zploštění) v centrálním tělese, které jsou způsobeny odstředivou silou. Retrográdní dráhy v Newtonově teorii jsou stejné jako přímé dráhy. V relativitě je tento rozdíl jasně patrný, jak ukazuje obr. 21.7.

Všimněte si z rovnice (21.144), že při $aL_z < 0$ a $r$ dostatečně blízko $r^{+}$ (tj. při $\Delta r \approx 0$ ) je $E_{\text{min}} < 0$ , takže $E$ může být záporné. Toto je celková energie "v nekonečnu", zahrnující ekvivalentní energii klidové hmotnosti. Takže $E < 0$ znamená, že celková energie částice je nedostatečná k tomu, aby ji skutečně poslala do nekonečna. Jinými slovy, energie, kterou částice musela ztratit při vstupu na tuto dráhu, byla větší než její klidová energie. Tento jev se neobjevuje u přímých dráh nebo v Schwarzschildově limitu, kdy $a = 0$ .

Další informace o dráhách následují z grafu funkce $E_{\text{min}}(r) = E^{+}(r)$ ; viz obr. 21.7. Zvažujeme pouze případ $a^2 < m^2$ a oblast $r > r^{+}$ . Každá dráha má konstantní $E \geq E_{\text{min}}(r)$ , takže oblast dostupná pro pohyb leží nad křivkou $E_{\text{min}}(r)$ a hodnota $E$ určuje povolený rozsah $r$ na dráze. Všimněte si, že $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} \to 1$ nezávisle na hodnotě $L_z$ . Když $L_z = 0$ , $\frac{d(E_{\text{min}}/\mu_0)}{dr} > 0$ pro všechny $r \geq r^{+}$ , takže $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} < 1$ pro všechny $r \geq r^{+}$ . Když však $\lvert L_z \rvert$ je dostatečně velké, existuje interval $(r_1, r_2)$ , kde $r^{+} \leq r_1 < r_2$ , v němž $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} \geq 1$ , zatímco $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} < 1$ pro $r > r_2$ , pro každý znak $L_z$ .

Pro retrográdní dráhy lze hodnoty $r_1$ a $r_2$ explicitně vypočítat. Takže pokud je $\lvert L_z \rvert$ dostatečně velké, má $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0}$ místní maximum v nějakém $r = r_u > r^{+}$ a místní minimum v $r = r_s > r_u$ , jak ukazuje obr. 21.7. Oblast, kde $\frac{E_{\text{min}}}{\mu_0} < 1$ , je místem vázaných dráh, a $r = r_s$ je poloměr stabilní kruhové dráhy (tj. existuje jedna pro každou dostatečně velkou hodnotu $\lvert L_z \rvert$ , pro každý znak $L_z$ ).

Kruhová dráha také existuje v $r = r_u$ , ale je nestabilní. Nejmenší hodnota $r$ na každé křivce je $r = r^{+}$ , a $\Delta r(r^{+}) = 0$ . Rovnice (21.144) ukazuje, že $E_{\text{min}}(r^{+}) > 0$ pro přímé dráhy a < 0 pro retrográdní dráhy. Kde mohou nastat dráhy s negativní energií?

Všimněte si, že hybnostová vektor částice musí být časová, tj. $g_{\alpha\beta} p^{\alpha} p^{\beta} > 0$ . V ortonormovaném tetrádu máme pro tetrádové složky hybnosti:

| p_0^{\hat{}} - p_1^{\hat{}} - p_2^{\hat{}} - p_3^{\hat{}} | = \mu_0 > 0 \quad \Rightarrow \quad | p_3^{\hat{}} | < p_0^{\hat{}}.

Pro metrický tenzor (21.57) zvolíme následující ortonormovaný tetrád:

e_0 = e^{\nu} dt, \quad e_1 = e^{\lambda} dr, \quad e_2 = \Sigma d\theta, \quad e_3 = e^{\psi} (d\phi - \omega dt).

Tetrádové složky hybnosti, definované v (21.105), jsou pak

p_0^{\hat{}} = e^{ -\nu} (E - \omega L_z), \quad p_3^{\hat{}} = -e^{ -\psi} L_z.

Z první rovnice máme $E = e^{\nu} p_0^{\hat{}} - \omega e^{\psi} p_3^{\hat{}}$ . Protože $p_0^{\hat{}} > 0$ , jak je vysvětleno po (21.140), pro $E$ být záporné, musí $(- \omega e^{\psi} p_3^{\hat{}})$ být záporné. Jelikož $|p_3^{\hat{}}| < p_0^{\hat{}}$ , vyplývá, že (\omega^2 e^{2\psi} >

Jak lze popsat rovnováhu a gravitační pole uvnitř sféricky symetrického tělesa ve všeobecné relativitě?

Analýza sféricky symetrického gravitačního pole a rovnováhy uvnitř hmotného tělesa začíná základními rovnicemi obecné relativity aplikovanými na ideální tekutinu v klidu vůči zvoleným souřadnicím. Pole je popsáno metrikou, kde funkce závisí pouze na radiální souřadnici $r$ , což reflektuje symetrii problému. Poloha a pohyb pozorovatele definují energii a trajektorii volného pádu v gravitačním poli. Konkrétně, energie $E$ pohybu určuje, zda pozorovatel může uniknout do nekonečna či nikoliv, a jak se jeho kinetická energie mění při vzdálení od středu.

V této geometrii hraje klíčovou roli metrika, která popisuje časoprostor, a její složky lze vyjádřit pomocí funkcí $\nu(r)$ a $\mu(r)$ , které jsou navzájem propojené Einsteinovými poli. Rovnice hydrostatické rovnováhy vzniká ze zachování energie a hybnosti ideálního tekutého prostředí v gravitačním poli a z Einsteinových rovnic. Výsledkem je nerovnice, která vyjadřuje rovnováhu mezi tlakem a gravitační přitažlivostí v relativistickém rámci.

Tlak a hustota energie se v těchto rovnicích objevují spojené a společně určují lokální gravitační pole. Oproti Newtonově mechanice tlak přispívá k celkové gravitační síle, což vede k intenzivnější potřebě tlakového gradientu pro udržení rovnováhy, zejména v blízkosti centra tělesa. Toto zesílení tlakového gradientu vytváří podmínky pro nestabilitu: pokud se rovnováha naruší, tlak již nemusí být schopen udržet těleso statické, což může vyústit v gravitační kolaps a vznik černé díry.

Pro ilustraci lze použít ideální model tělesa s konstantní energetickou hustotou, kde lze analyticky vyřešit metrické funkce a tlak. Tento model sice nereprezentuje skutečné hvězdy, ale ukazuje klíčové koncepty spojené s řešením rovnic v přítomnosti hmoty a významem tzv. "hmotnostního defektu", kdy celková gravitační hmotnost je menší než součet klidových hmot všech částic v tělese. Tento defekt představuje energii, kterou by bylo třeba dodat, aby bylo možné těleso rozložit na jednotlivé komponenty.

Matematicky je hmotnost v daném objemu definována integrálem hustoty energie přes objem, ale zohledňuje se zde i zakřivení časoprostoru, což vede k rozdílu oproti klasickému součtu hmot. Tento efekt je klíčový pro porozumění dynamice hvězd a extrémních objektů ve vesmíru.

Pro praktickou aplikaci rovnice hydrostatické rovnováhy vyžadují znalost rovnice stavu, tedy vztahu mezi tlakem a hustotou energie. Bez tohoto vztahu nelze řešit celou soustavu rovnic, což vede často k nutnosti numerických řešení při modelování reálných hvězdných struktur.

V souhrnu je důležité pochopit, že tlak ve všeobecné relativitě není jen vnitřní silou proti gravitačnímu zhroucení, ale sám o sobě gravitační efekt zesiluje. Toto vzájemné působení vede k mnohem složitější dynamice než v klasické fyzice. Rovnice také vysvětlují, proč existuje mezní hmotnost a velikost hvězd, nad kterou není možné udržet statickou rovnováhu a vzniká černá díra.

Jak se pohybují kontinua v relativistické hydrodynamice?

V relativistické hydrodynamice, stejně jako v klasické Newtonovské teorii, je pohyb tekutiny popisován tak, že každá část tekutiny má svoji trajektorii v prostoru-čase, přičemž se používají diferenciabilní pole rychlostí, která jsou definována v každém bodě prostoru a v každém okamžiku času. K tomu využíváme parametr s, což je vlastní čas, který je definován podél světelných křivek (geodetik) tekutiny. Tento přístup zachovává vše, co platí pro klasickou hydrodynamiku, ale zároveň umožňuje začlenění efektů, které jsou specifické pro relativistický popis pohybu.

V relativistické hydrodynamice je dynamika tekutiny formulována v rámci teorie relativity. Každý bod v prostoru-čase má svůj vlastní tok, který je popsán vektorovým polem rychlosti $u^\alpha(x)$ , kde $\alpha$ je index, který prochází hodnotami 0 až 3, odpovídajícími čtyřem rozměrům čtyřdimenzionálního prostoročasu. Rychlost tekutiny je diferencovatelná v každém bodě prostoru a čase, což zajišťuje, že pohyb každé částice je plynulý a kontinuální.

Pohyb tekutiny v relativistickém rámci je charakterizován parametrizací časového a prostorového vývoje tak, že časová složka každé částice je rovna vlastnímu času dané částice $u^\alpha(x)u_\alpha(x) = 1$ , což je podmínka pro normovanou rychlost. Tento popis se rozšiřuje do tenzorového formalismu, což nám umožňuje pracovat s projekcemi vektorů na určitý prostorový hyperrovinný prostor.

Tento přístup se dá použít na popis různých typů pohybů, které se liší ve způsobu, jakým mění strukturu a objem okolního prostoru. V některých případech pohyb, který je popsán tímto tenzorovým formátem, může být interpretován jako rotační, kde jsou částice tekutiny pohybující se kolem sebe. Jindy může tento pohyb znamenat expanzi nebo kontrakci prostoru, což se odráží ve změně délky vektorů.

V relativistické hydrodynamice existují tři základní typy pohybů, které lze popsat takto:

Izotropní expanze (θ ≠ 0, σjk = ωjk = 0): Tento pohyb popisuje situaci, kdy se částice tekutiny vzdalují nebo přibližují od sebe, což je vyjádřeno prostřednictvím skalaru expanze $\theta$ , který je definován jako divergencí rychlostního pole tekutiny. Tento typ pohybu je charakterizován změnou objemu, přičemž velikost vektorů se mění bez změny jejich orientace.
Rotace (σjk ≠ 0, θ = 0): V tomto případě dochází k rotaci okolních částic tekutiny kolem bodu, což je popsáno pomocí antisymetrického tenzoru $\omega_{jk}$ , který je známý jako rotační tenzor. Tento pohyb nevede ke změně objemu, ale k tomu, že částice tekutiny vykonávají rotaci kolem sebe, což je vyjádřeno pomocí vektorového pole.
Skrutace nebo smyková deformační pohyby (ωjk = 0, σjk ≠ 0): Tento pohyb zahrnuje změny tvaru objemů a deformace, které jsou popsány pomocí tenzoru smyku $\sigma_{jk}$ . Tento typ pohybu je charakteristický pro situace, kdy tekutina prochází plastickou deformací, při které dochází ke změně tvaru, ale objem zůstává zachován.

Tyto tři základní typy pohybu jsou velmi důležité pro pochopení dynamiky relativistických tekutin. Zvláště v extrémních podmínkách, kdy se působí na částice tekutiny silné gravitační pole, se tyto efekty stávají zásadními pro správné pochopení chování vesmírných objektů a procesů, jako je například tok hmoty v černých dírách nebo kolem neutronových hvězd.

Pohyb tekutiny v relativistické hydrodynamice je důležitý i z hlediska termodynamiky, protože spojením těchto dvou oblastí teorie můžeme formulovat podmínky pro výměnu tepla, energii a hmotu mezi různými částmi vesmíru. Rozpoznání různých typů pohybů nám dává nástroj pro analýzu nejen dynamiky samotných částic, ale i energetických a materiálních toků, které mohou být součástí širšího fyzikálního rámce. Z toho důvodu je tato problematika základní pro pochopení relativistických efektů v astrofyzice.

Jaký je vztah mezi vzdalujícími se objekty, redshiftem a luminositní vzdáleností v relativistické kosmologii?

Vztah mezi pozorovanými kvantitami, jako jsou červený posuv (redshift), luminiscenční vzdálenost (luminosity distance) a hustota záření, je klíčovým tématem v relativistické kosmologii. Tento vztah je často formulován pomocí recipročního teoremu, který vychází z faktu, že když se pozorovatel pohybuje tak, aby zrušil červený posuv, pak budou rovny projektované plochy na pozorovatelově a zdrojové ploše, přičemž tyto plochy naplní stejné solidní úhly na pozorovatelském bodě. To platí pro přítomnost pohybu, přičemž při specifických podmínkách, jako jsou nulové hodnoty vzdáleností mezi koncovými body v kosmologickém modelu, může tento vztah stále platit. V tomto kontextu je však důležité mít na paměti, že pozorovatel umístěný na symetrické ose by viděl zdroj nejen neobvykle jasný, ale také s neobvykle velkou úhlovou velikostí.

Když pozorovatel postupně vzdaluje od zdroje záření, bude úhlová velikost zdroje nejprve klesat. Jakmile se však dostane za první refokační bod, začne se úhlová velikost zdroje opět zvětšovat. Tento jev, označovaný jako refokuse, bude podrobněji probrán v následujících kapitolách, kde se budou rozebírat konkrétní modely, jako jsou modely Friedmanna a Lemaître-Tolman. Vzorec pro výpočet opravené luminositní vzdálenosti rO lze získat substitucí vztahů definujících červený posuv a projektované úhly, přičemž výsledná hodnota rO je korektní hodnotou vzdálenosti, která se odvozuje z teoretických výpočtů, zatímco obyčejná (neopravená) luminiscenční vzdálenost je dána obyčejným výpočtem energie. V tomto případě je důležité si uvědomit rozdíl mezi těmito dvěma typy vzdáleností, protože pouze opravená vzdálenost bere v úvahu relativistické efekty spojené s pohybem pozorovatele a červeným posuvem.

Dalšími důležitými kvantitami v relativistické kosmologii jsou různé způsoby, jakými lze pozorovat distribuci záření v prostoru. Zde je možno zavést pojem „počet zářivých zdrojů v daném objemu“, který se týká přítomnosti záření v určitém regionu prostoru a závisí na parametrech jako je hustota záření a vlnová délka, jež je spojena s konkrétními měřeními. Pro měření tohoto kvantitativního chování je nutné definovat integrační vztah pro objem, mezi různými vrstvami záření a pozorovatelskými pozicemi. Tato metoda je běžně využívána ve studiu počtů zářivých zdrojů v kosmologických měřeních.

Dalším pozoruhodným jevem je Fermi-Walkerův transport vektorů, který je důležitý pro studium pohybujících se pozorovatelů a tím i jejich vliv na dynamiku a geometrii prostoru. Tento způsob transportu vektorů zajišťuje, že při pohybu pozorovatele po časové křivce nedochází k rotaci vektorů kolem této křivky. Fermi-Walkerův transport se liší od běžného paralelního transportu, protože zaručuje, že vektory zůstanou ve specifických geometrických rovinách, což je klíčové při modelování pohybujících se pozorovatelů a jejich vlivu na geometrii prostoru. Tento typ transportu je založen na zvláštních vlastnostech křivek a normalizovaných vektorů, které definují pohyb na geodetických i ne-geodetických křivkách. Zároveň je kladeno důraz na zachování vnitřní geometrie a kvantitativní popis přenosu sil a pohybu v rámci relativistických rámců.

Pro čtenáře je důležité si uvědomit, že všechny tyto relativistické efekty, včetně červeného posuvu, opravené a neopravené luminositní vzdálenosti, počtů zářivých zdrojů a Fermi-Walkerova transportu, jsou klíčovými nástroji pro rozpoznání dynamiky vesmíru na velkých měřítkách. Jakýkoliv detailní výpočet nebo modelování musí brát v úvahu tyto efekty, protože bez jejich zahrnutí by naše porozumění vesmíru bylo značně neúplné. Není to pouze otázka teoretické elegance, ale praktické nutnosti při aplikaci kosmologických modelů, které se používají pro analýzu reálných pozorování, jako jsou měření červeného posuvu, studium galaxií a dalších kosmologických objektů.

Jak poznání krásy может стать началом глубинного взаимопонимания?
Jak správně chápat terminologii domácích systémů a jejich funkce v různých jazycích?
Jak správně komunikují Fragments v Android aplikaci mezi režimy portrét a krajina?