Jak najít bázi Killingových vektorových polí v Riemannově prostoru?

V daném Riemannově prostoročase, kde jsou metrický tenzor $g_{\alpha\beta}$ a Riemannův tenzor $R_{\rho\alpha\beta\gamma}$ funkcemi souřadnic $\{x\}$ v otevřených okolích libovolného nesingularního bodu, lze z rovnice (8.18) odvodit vztah, který nám umožňuje spočítat Killingovy vektorové pole $K_{\gamma; \alpha \beta}$ algebraicky, pokud je nám dáno $K_{\gamma}(p_0)$. Pokud máme k dispozici i hodnotu $K_{\gamma; \delta}(p_0)$, můžeme zderivovat rovnice (8.22) a algebraicky spočítat $K_{\gamma; \alpha \beta}(p_0)$. Tímto způsobem, po několika derivacích, získáme všechny kovariantní derivace $K_{\gamma}$ v bodě $p_0$. Poté, pomocí Taylorovy řady, můžeme určit hodnoty $K_{\gamma}(p)$ v okolí bodu $p_0$, pokud je řada konvergentní.

Pro nalezení báze Killingových vektorových polí pro metrický tenzor existuje následující postup:

1. Řešit Killingovy rovnice. Obecné řešení bude závislé na $N \leq \frac{1}{2}n(n + 1)$ libovolných konstantách, $k_{\mu} = K_{\mu}(A_1, \dots, A_N, \{x\})$.

2. Spočítat bázi definovanou jako $\frac{\partial K_{\mu}}{\partial A_i}$, kde $i = 1, \dots, N$. Každé $k_{\mu}$ generuje jedno-parametrovou subgroupu symetrií, jak je diskutováno v předchozí části.

Tento postup ukazuje, že i když hovoříme o Killingových vektorech, ve skutečnosti jde o vektorová pole, jejichž složky jsou funkce, což znamená, že počet lineárně nezávislých Killingových vektorových polí může být větší než dimenze manifoldu. Například v plochém Riemannově prostoru je počet lineárně nezávislých Killingových vektorů maximální a rovná se $\frac{1}{2}n(n + 1)$. Pro jiné tenzorové pole než metrický tenzor nemusí báze existovat, což znamená, že obecné řešení invariančních rovnic bude obsahovat libovolné funkce namísto konstant.

Důležitým poznatkem je, že při aplikaci invariantních transformací na jiné tenzorové pole, než je metrický tenzor, jsou podmínky invariance odlišné. Pro kontravariantní vektorové pole, pokud je $V'_{\alpha}(x) = V_{\alpha}(x)$, dostaneme vztah pro generátor transformační skupiny, což je klíčové pro výpočty invariancí a symetrií v různých geometriích.

Jak horizonty a červený posuv ovlivňují naše pochopení vesmíru?

V současném kosmologickém výzkumu se používá Robertson-Walker (R–W) metrika, která popisuje homogenní a izotropní prostor-čas. Tato metrika je klíčová pro modely, které zohledňují různé vlastnosti expanze vesmíru, jako je například zrychlený růst nebo vliv temné hmoty a temné energie. V rámci těchto modelů se setkáváme s několika důležitými koncepty, mezi které patří červený posuv a horizonty. Oba tyto jevy mají zásadní vliv na naše porozumění dynamice vesmíru.

Představme si, že pozorovatel je umístěn v centru symetrie prostor-času, což znamená, že každý paprsek světla, který přijme nebo vyšle, je radiální. V takovémto modelu (například v R–W metrice) to není žádné omezení, protože díky homogenitě platí, že každý bod ve vesmíru má stejnou roli centrálního bodu symetrie. Tento přístup se uplatňuje při výpočtech vzdáleností mezi pozorovatelem a zdrojem světla, kde na základě metriky získáme výsledek, že vzdálenost pozorovatele k zdroji světla, označovaná jako $r_O$, je dána vztahem:

kde $r_R |_{\text{ray}}$ je vzdálenost podél světelného paprsku, který spojuje zdroj se pozorovatelem.

Když připočteme k výpočtu červený posuv $z$, zjistíme, že závislost mezi vzdáleností a červeným posuvem je neustále ovlivněna složkami, jako jsou hustota hmoty, zakřivení prostoru a temná energie. Vzorec pro luminositní vzdálenost se pak může vyjádřit jako: