Jak fungují rostoucí bodové automaty v prostorových sítích?

V oblasti výpočetní techniky a molekulárního programování je množství studií věnováno DNA trubicím a jejich vlastnostem. V tomto textu představujeme výpočetní rámec, v němž vznikají sítě propojené uzly zvanými porty, z nichž vyrůstají vlákna pomocí prodlužování a větvení svých růstových bodů. Výpočty v těchto sítích jsou realizovány šířením stavů podél vláken. Tento model je nazýván rostoucí bodový automat (Growing Point Automaton – GPA), což odráží původní jazyk, na kterém je založen.

Existuje mnoho studií na téma buněčných automatů na grafech, jako jsou Náhodné Booleovské Sítě nebo Grafové Buněčné Automaty. Některé z těchto prací, včetně nedávné studie Waldegravea, Stepneyho a Trefzera, umožňují i strukturální změny grafů. Tyto dynamiky v lineárním případě lze sledovat až k L-systémům, které jsou předchůdci této oblasti. GPA však využívá asynchronní přechody stavů, což je spíše příbuzné přepisování grafů než klasickým buněčným automatům. Přepisování grafů má své kořeny ve starších modelech Kolmogorov-Uspenskij stroje a v rozsáhlé literatuře věnované grafovým a hypergrafovým přepisům.

V jednoduché verzi GPA, jež pracuje obvykle ve třírozměrném prostoru, jsou porty znázorněny jako koule, z nichž vyrůstají vlákna. Konec vlákna, který může růst, se nazývá růstový bod a je označen šipkou, zatímco druhý konec je jeho původ. Růstový bod může být přitahován portem, pokud je dostatečně blízko, čímž se na port připojí. Vlákna mohou také větvit, přičemž větvení je reprezentováno černými trojúhelníky, které vytvářejí dva nové výběžky – potomky původního vlákna. Vlákna i porty mají své stavy, často reprezentované barvami, které se mění podle stavů sousedních vláken a portů.

Pravidla růstu a větvení vláken jsou aplikována asynchronně, neboť molekulární implementace neumožňují globální časovač. Každé vlákno či port má svůj vlastní nezávislý "hodiny". Růstový bod může pokračovat v prodlužování, může také ustupovat nebo se větvit, pokud je otevřený, tedy nepřipojený k portu nebo větvi. Větvení vytvoří dva potomky, které se chovají jako sourozenci, a původní vlákno je jejich rodičem. U větvení může také dojít k rozvětvení, tedy odstranění větve, pokud oba potomci mají otevřené růstové body.

Stavové přechody vláken jsou omezeny na lokální interakce na koncích vláken. Pokud k přechodu dochází na původu vlákna, závisí pouze na stavu portu nebo na stavech rodiče a sourozence ve větvení. Naopak přechody na růstovém bodě závisí na připojeném portu nebo potomcích ve větvi. Změny stavu se okamžitě přenášejí po vlákně, což je zjednodušení oproti propracovanější signálové verzi, kde přenos trvá určitý čas.

Příklad simulace ukazuje, jak zelené vlákno vyrůstá z modrého portu a hledá žlutý port rozvětvováním a šířením se ve třírozměrném prostoru. Tento model naznačuje, jak lze pomocí GPA popsat prostorovou formaci cest a sítí.

Je třeba zdůraznit, že asynchronní režim a lokální pravidla představují klíčové aspekty molekulárních implementací, kde globální řízení není dostupné. Dále je důležité pochopit, že růst a větvení vláken nejsou deterministické pouze podle stavů, ale i podle prostorového kontextu, což umožňuje modelovat komplexní dynamiku prostorových sítí. Propagace stavů podél vláken představuje mechanismus přenosu informace, který je esenciální pro realizaci výpočtů v těchto systémech. Tato kombinace růstu topologie s výpočetní dynamikou představuje novou úroveň integrace struktury a funkce v molekulárním programování.

Jak se vytváří kruhové vzory v automatu s životními pravidly

Evoluce vzoru začíná počáteční konfigurací, která obsahuje horizontální řadu 7 buněk v stavu 1. Tento základní stav se vyvíjí po 73 206 generací, přičemž vzor roste a vyústí ve formaci populace o velikosti 1,0928157e+9 buněk ve stavu 1. Tento proces byl simulován pomocí softwaru Golly, který umožňuje vizualizaci evolučních kroků a změn v čase. Na obrázku 2a je zobrazen symetrický vzor uprostřed evoluce, přičemž v obrázku 2b můžeme pozorovat vznik kruhového vzoru. Po 73 206 generacích dosáhl tento vzor stabilního stavu, a to i přesto, že byly aplikovány malé perturbace v počátečních podmínkách.

Pokud jde o pravidlo .B3/S01234, které je použito pro generování životních vzorců, lze pozorovat, že při tomto vývoji vznikají labyrinthové formy, které mají tendenci se vyvíjet do chaotických struktur. Vývoj podmíněný pravidlem .B3/S234 vykazuje podobné schopnosti, avšak s vyšší odolností vůči perturbacím. Na rozdíl od pravidla .B3/S01234, které může být náchylné na malé změny v počátečním stavu (což může vést k destrukci kruhového vzoru), pravidlo .B3/S234 stabilně vytváří kruhové vzory i po aplikování těchto změn. Například, když dvě konfigurace s vrcholy vzdálenými 180 stupňů od sebe vzájemně kolidují, vytváří se kruhový vzor po 105 generacích, jak ukazuje obrázek 3. Tento proces dokazuje, že kruhový vzor lze obnovit a udržet i po náhodných změnách v počáteční konfiguraci.

Tento jev, tedy schopnost pravidel udržet stabilní formy i po zásazích, ukazuje na určitý typ robustnosti, která je zásadní pro pochopení komplexity evoluce v životních automatech. Vzory vyprodukované těmito pravidly se vyznačují vysokou četností kruhových tvarů, což je potvrzeno tabulkami 1 a 2, kde jsou uvedeny různé mutace a jejich pravděpodobnost výskytu. Například, pro délku řetězce 7 je pravděpodobnost vzniku kruhu 64 %, což ukazuje na silný vliv počátečních podmínek.

Dalším důležitým aspektem je zkoumání, jak automatické pravidlo generuje chaotické chování při použití náhodných počátečních podmínek. Tento proces je možné lépe pochopit, pokud se zaměříme na trojrozměrnou projekci evoluce, což umožňuje vidět konkurenci mezi statickými vzory a nevydefinovanými oblastmi, které se časem stabilizují. Pomocí této techniky, jak ukazuje obrázek 5, lze lépe porozumět dynamice vzorců a jejich přechodům mezi různými fázemi evoluce. Projekce ukazují, jak různé evoluční fáze mohou být odlišně interpretovány podle zvoleného úhlu pohledu.

Zajímavé je také použití teorie průměrného pole (mean-field theory), která umožňuje pochopit globální chování automatů bez nutnosti analyzovat jednotlivé kroky evoluce. Tento přístup zjednodušuje pochopení pravděpodobnosti, jakým způsobem se různé stavy buněk kombinují a vytvářejí nové vzory. V praxi to znamená, že místo sledování jednotlivých buněk, které mohou být ovlivněny chaotickými změnami, se studují agregované pravděpodobnosti a vzory, které mohou vzniknout v rámci celé struktury.

V evolučních procesech, které byly simulovány, se ukazuje, že některé podmínky mohou vést k ustálení vzorců, které by se jinak zničily nebo destabilizovaly. Je zajímavé, že vzory s vysokou stabilitou mohou vzniknout i při použití relativně jednoduchých pravidel, což svědčí o síle těchto evolučních systémů. Tento objev je důležitý pro hlubší porozumění vzorcům generovaným automaty a jejich aplikacím v různých oblastech vědy.