V sféricky symetrickém prostoročasu, jehož metrika splňuje Einsteinovy rovnice se zdrojem v podobě dokonalé tekutiny, je rotace rychlosti této tekutiny identicky nulová. Tato skutečnost vyplývá z invariance tenzoru energie-hybnosti dokonalé tekutiny vůči symetriím metriky, což zahrnuje i invarianci vektorového pole čtyřrychlosti uαu^\alpha a akcelerace u˙α\dot{u}^\alpha.

Vzhledem k tomu, že Killingovy vektory odpovídající sférické symetrii komutují s uαu^\alpha, máme pro libovolný Killingův vektor ξα\xi^\alpha: Lξuα=0\mathcal{L}_\xi u^\alpha = 0. Z toho plyne, že všechny složky uαu^\alpha a u˙α\dot{u}^\alpha musejí být funkcemi pouze souřadnic tt a rr, tedy se musí nacházet pouze ve směrech α=0,1\alpha = 0,1. Navíc, použitím vhodné transformace lze dosáhnout toho, že příslušný parametr β=0\beta = 0, čímž se dále zjednodušuje algebraická struktura.

Rotace je definována antisymetrickou částí kovariantní derivace čtyřrychlosti a vzhledem k výše uvedenému lze ukázat, že jediná potenciálně nenulová složka rotačního tenzoru je ω01\omega_{01}. Nicméně, podmínky normalizace gμνuμuν=1g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu = 1 a její derivace spolu s omezením na složky čtyřrychlosti vedou k závěru, že i tato složka musí být nulová. Výsledkem je, že v takto symetrickém prostoročasu je pohyb dokonalé tekutiny bez rotace – je čistě irrotační.

Tento výsledek má důležité důsledky pro další analýzu modelů obecné relativity s dokonalou tekutinou. Umožňuje například použít zjednodušené formy metriky pro analýzu dynamiky, kde jedinými podstatnými veličinami jsou hustota, tlak, expanze a smyk – bez potřeby uvažovat rotaci. Pro konkrétní případy, jako jsou modely Lemaitra–Tolmana nebo Friedmannovy modely, tato podmínka přímo ovlivňuje evoluční rovnice a geometrii prostoročasu.

Dále je klíčové pochopit, že uvažování o nulové rotaci není pouze matematickým zjednodušením, ale má hluboký fyzikální význam. Irrotační tekutina v obecné relativitě odpovídá fyzickým situacím, kdy nedochází ke krouživému pohybu

Jaké jsou základní vlastnosti Kerrova metrického řešení?

Kerrova metrika představuje první přesné řešení Einsteinových rovnic popisující vnější gravitační pole stacionárního rotujícího tělesa či černé díry. Původně ji Roy Kerr zveřejnil v roce 1963, přičemž v samotném článku neuváděl, jak bylo toto řešení odvozeno, ani nepredikoval jeho pozdější zásadní význam. Přesto se brzy ukázalo, že jde o nejjednodušší model rotujícího gravitačního pole, který je základem mnoha dalších studií astrofyziky černých děr.

Formálně přechází Kerrova metrika v Minkowského prostor, pokud je hmotnostní parametr m nulový, a v dostatečně velké vzdálenosti od zdroje přibližně odpovídá slabému gravitačnímu poli, jak je obvykle uvažováno v teorii relativity. Parametr m zde reprezentuje hmotnost zdroje, zatímco rotační parametr a, který má rozměr délky, odpovídá poměru celkového úhlového momentu k hmotnosti.

Součástí metriky jsou složky g0i, které vyjadřují efekt točivosti gravitačního pole, jež nemá analogii ve statickém Schwarzschildově poli. Tyto složky se vyskytují v přesné podobě, avšak je možné je transformovat vhodnou změnou časové souřadnice, aby se dostaly do standardnějšího tvaru s jasnou fyzikální interpretací: rotační moment zdroje je orientován podél osy z a je vyjádřen právě parametrem −a.

Konstrukce souřadnic ukazuje, že povrchy konstantního r jsou elipsoidy rotace, jejichž ohniska leží na kruhové singularitě v rovině z = 0 o poloměru |a|. Tato kruhová singularita je vnímána jako základní geometrická anomálie v časoprostoru – jedná se o skutečnou singularitu metriky, nikoli jen o problém se souřadnicemi. Povrchy konstantního úhlu ϑ tvoří jednoplošné hyperboloidy, které mají stejné ohnisko na této kruhové singularitě.

Přechod na souřadnice Boyera-Lindquista, které jsou modifikací původních souřadnic, umožňuje elegantnější formulaci metriky, ve které se metrika stává nezávislou na azimutálním úhlu φ. Tím je zřejmá axiální symetrie pole, což koresponduje s fyzikálním očekáváním, že rotující objekt generuje symetrii kolem své osy rotace. Metoda řešení Killingových rovnic potvrzuje existenci dvou nezávislých Killingových vektorových polí: jednoho časového a jednoho prostorového, což reflektuje invariance metriky vůči časovému posunu i rotaci kolem osy.

Přechod do souřadnic Boyera-Lindquista rovněž umožňuje rozlišit různé regiony prostoru, například ergosféru, kde je rotační tah tak silný, že časové vektory změnily charakter na prostorové. Tento region má zásadní fyzikální význam v mechanismech, jako je extrakce energie z rotující černé díry.

Kerrova metrika, díky své schopnosti popsat rotující černé díry, se stala základem astrofyziky moderních černých děr a modelů akrečních disků. Její porozumění je také důležité pro pochopení hypotézy kosmické cenzury, která naznačuje, že všechny realistické gravitační kolapsy vedou ke vzniku horizontu událostí, který skrývá singularitu před vnějším světem.

Kromě samotného matematického tvaru metriky je důležité chápat, že parametry m a a určují nejen geometrii časoprostoru, ale i dynamiku částic a polí v okolí černé díry. To zahrnuje například zvrat směru otáčení částic, existence stabilních orbitů, či generování extrémních gravitomagnetických jevů.

Dále je klíčové uvědomit si, že geometrická struktura Kerrova prostoru je hluboce propojena s kvantovou teorií pole a termodynamikou černých děr, což otevírá otázky o mikroskopické struktuře prostoru a konečné povaze singularity. Proto studium Kerrovy metriky není jen otázkou teoretické gravitace, ale i fundamentálních otázek fyziky.

Jak nalézt Killingovy vektorové pole a symetrie Riemannových prostorů?

Při studiu symetrií Riemannových prostorů je nezbytné pochopit roli Killingových vektorů a jejich vztah k invariancím tensorových polí. Tyto vektory představují generátory symetrií prostoru, které mohou být použity k určení specifických vlastností metriky daného Riemannova prostoru nebo k analýze symetrií již dané metriky.

V první řadě je důležité uvědomit si, že každému parametru t ∈ [t1, t2] přiřazujeme zobrazení ft: Mn → Mn, které se popisuje jako zobrazení, jež transformuje bod p do bodu q. Tento proces má za následek změnu hodnot tensoru T na různých bodech v prostoru, což vytváří nový tensor T′. Pokud platí, že T′(p) = T(p) pro všechny hodnoty p ∈ Mn, pak je pole tensorů T invariantní vůči zobrazením ft.

Pokud zvolíme B = [0, 2π] a Mn = ℝ3, pak ft představuje rotaci kolem pevné osy A o úhel t. Takto vzniklá rodina zobrazení ft může generovat množinu rotací prostoru ℝ3 o všechny úhly v intervalu 0 ≤ t < 2π. Pokud máme bod p ∈ Mn, můžeme na tento bod aplikovat všechna zobrazení ft pro všechny t ∈ B. Vznikne tak křivka v Mn, která prochází bodem p a nazývá se orbitou bodu p. Každý bod v prostoru Mn může generovat takovou orbitu. Tyto orby jsou prakticky uzavřené nebo nekonečné křivky, které nemají žádné koncové body.

Dalším klíčovým předpokladem je, že funkce ft jsou C2 třídy podle parametru t, což zajišťuje, že podél každé orbity existuje pole tečných vektorů, které je plynule diferencovatelné. Zároveň platí, že zobrazení ft je invertibilní a jeho inverzní zobrazení f−1 t je také C2 třídy. Tato vlastnost znamená, že zobrazení tvoří skupinu G, přičemž operace násobení v této skupině je složením dvou zobrazení.

Pokud se zaměříme na invarianční vlastnosti tensorů, je možné, že některý tensor Tαβ bude invariantní vůči všem transformacím rodiny Γ. To znamená, že T′ αβ(p) = Tαβ(p) pro všechny p ∈ Mn a pro všechny t ∈ B. Abychom určili podmínky, které musí tensor Tαβ splnit, používáme Taylorovu formuli, která umožňuje vyjádřit změny tensoru během malé transformace.

Pomocí Taylorovy expanze zjistíme, že podmínky invariance tensoru Tαβ vůči zobrazením ft vedou k Killingovým rovnicím. Tyto rovnice, které mají formu kμTαβ,μ + kμ,α Tμβ + kμ,β Tαμ = 0, definují Killingovy vektorové pole. Vektorová pole kμ, která splňují tyto rovnice, jsou generátory symetrií pro tensor Tαβ. Každé vektorové pole tečných vektorů k orbits invariancí musí splňovat tyto rovnice.

Killingovy rovnice mohou být přepsány v ekvivalentní formě, kde Christoffelovy symboly vypadnou, což ukazuje, že rovnice jsou kovariantní. Pokud tensor Tαβ je metrický tensor gαβ, pak Killingovy rovnice pro gαβ mají formu kα;β + kβ;α = 0. Tento tvar rovnic je jednoduchý na zapamatování, ale v praxi je méně pohodlný na výpočty.

Při hledání symetrií dané metriky musíme řešit Killingovy rovnice pro neznámé kα, což obvykle zahrnuje nalezení vektorových polí, která jsou generátory symetrií metriky. Tento proces vyžaduje znalost konkrétní struktury metriky a aplikaci Killingových rovnic na její symetrie.

Při řešení Killingových rovnic musíme také vzít v úvahu, že tyto rovnice jsou lineární a homogenní vůči kα, což znamená, že jakékoli lineární kombinace řešení kα a lα budou také řešeními. To naznačuje, že prostor řešení Killingových rovnic je vektorový prostor, kde základní řešení tvoří bázi pro všechny možné symetrie. Pokud se jedná o symetrie metrického tensora, existuje konečná báze, zatímco pro jiné tensorové pole může být báze nekonečná.

Je také důležité pochopit, že Killingovy vektorové pole jsou generátory symetrií pro metrický tensor a že výpočet těchto vektorových polí hraje klíčovou roli při analýze symetrií a invariancí ve fyzice a geometrii, především v kontextu Riemannových prostorů.

Jak se mění horizonty v modelech L–T a jejich stabilita?

Einstein a Straus ve své době navrhli konfiguraci, která byla po dlouhou dobu považována za obecný důsledek teorie relativity. Nicméně, rovnice (18.68) nemusí být splněna, pokud je konfigurace Einstein–Straus použita pouze jako počáteční podmínka v modelu L–T pro konkrétní okamžik t = t0. Pozdější výzkumy (Sato, 1984 a další studie, Lake a Pim, 1985) ukazují, že pokud m < μ(rb), hranice vakuoly bude expandovat rychleji než pozadí podle Friedmannovy rovnice, zatímco pokud m > μ(rb), mohou být počáteční podmínky nastaveny tak, aby vakuola začala kolabovat. Tento jev naznačuje, že konfigurace Einstein–Straus je nestabilní vůči malým perturbacím podmínky (18.68), což ji činí výjimečnou a ne zcela realistickou. Stejný problém byl studován i jiným způsobem Gautreauem (1984), který se zaměřil na model L–T s E = 0 v zakřivených souřadnicích.

V těchto souřadnicích R představuje poloměr zakřivení orbit skupiny symetrie. Tyto orbitály se neúčastní kosmické expanze, a proto lze R každé jednotlivé orbity použít jako standard délky. Gautreauova konfigurace zahrnuje centrální hmotu konečné velikosti, která je zapuštěná v expandujícím pozadí sahajícím až k povrchu centrálního objektu. Studium geodetik časoprostorových křivek Gautreauem ukázalo, že v tomto modelu neexistují kruhové orbity. Tento jev je v podstatě Newtonovský, protože ve Gautreauově modelu je kosmická hustota hmoty rovnoměrně rozložena po celém planetárním systému a v důsledku kosmické expanze hmota proudí z každé koule o konstantním R. Výsledkem je, že každý planetární objekt se pohybuje pod vlivem gravitační síly, která s časem klesá, což vede k tomu, že jeho orbita musí spirálovitě narůstat. Gautreau odvodil Newtonovský vzorec pro rychlost změny orbitálního poloměru v tomto nastavení, který je vyjádřen jako dR/dt = 8πR4Hρ/(2μ), kde R je orbitální poloměr, H je Hubbleova konstanta a ρ je průměrná kosmická hustota hmoty.

Tento efekt je samozřejmě velmi malý, například pro Saturn je změna orbitálního poloměru dR/dt = 6 × 10^-18 m za rok. Pro hvězdu na okraji galaxie Andromeda by efekt byl 1100 km za rok. Tento efekt je tedy extrémně malý, ale přesto není nulový. V přístupu Einstein–Straus by tento efekt byl nulový. Jak již bylo uvedeno, model Einstein–Straus je nestabilní vůči perturbacím podmínky (18.68), a proto je realisticky méně vhodný než Gautreauův model.

Pokud se zaměříme na modely L–T s Λ = 0, můžeme se zabývat zjistěním a studiem jevů souvisejících s tzv. "apparent horizons" (AH), které se definují jako vnější obálka oblasti uzavřených pohlcených ploch, ze kterých není možné vyslat paprsek světla směrem ven, protože paprsky v obou směrech (vnějším i vnitřním) se okamžitě sbíhají. Tento koncept je klíčový při studiu geodetik v rámci sféricky symetrických modelů, jakým je model L–T. Pro určení těchto horizontů používáme metodu, která spočívá ve zkoumání nulových geodetik, které jsou vysílány kolmo ze sféry s konstantním poloměrem r.

V rámci modelu L–T, jak je uvedeno výše, existují různé způsoby, jak definovat hranici, kde se tyto paprsky světla sbíhají. Pro každou sférickou geodetickou křivku platí, že se jedná o geodetické zakřivení, a když se zaměříme na tuto konkrétní oblast, identifikujeme takzvaný "apparent horizon". Tento horizont může vypadat jinak v závislosti na tom, zda model expanduje nebo kolabuje. U expanze je horizont určen rovnicí, kde R(t,r) začíná klesat podél paprsků nulové geodetiky, což indikuje, že na této úrovni nastává změna.

Pokud jde o praktické výpočty, je důležité si uvědomit, že ve většině těchto modelů horizonty slouží jako důležitá hranice, za kterou je vše, včetně světelných paprsků, pohlceno a není možné se vrátit zpět. To je zvláště zásadní pro pochopení, jak se chovají různé objekty ve vesmíru, jako jsou černé díry nebo jiné masivní objekty, jejichž vlastnosti jsou ve velkém měřítku ovlivněny právě těmito horizonty.

Vztah mezi kosmickou expanzí a geodetikami v rámci modelu L–T ukazuje na složitou dynamiku v evoluci vesmíru. Důležité je také si uvědomit, že v některých modelech, které jsou příliš idealizované nebo nereálně stabilní, může nastat situace, kdy výpočty nesprávně předpokládají existenci "kritických bodů", což ve skutečnosti neodpovídá reálné povaze fyzikálních jevů.

Jak ASP.NET Core 9 a Blazor vytvářejí dynamické uživatelské rozhraní
Jak ovlivňuje magnetické pole výsledky spektroskopie a jaký je význam hmotnostní spektrometrie v analýzách?
Jaký je optimální přístup k terapeutické hypotermii po srdeční zástavě?
Jak pokrývat politiku v éře Trumpa: Perspektivy žurnalistů
Jak se teorie her, kybernetika a teorie informace dotýkají umělé inteligence?