Vad innebär det att en karta inte lyfter till en inbäddning? Ett motexempel

Den givna formeln $((x_1 \land \neg x_3) \rightarrow x_2) \land ((\neg x_1 \land x_3) \rightarrow \neg x_2) \land ((x_1 \land \neg x_2) \rightarrow \neg x_3) \land ((\neg x_1 \land x_2) \rightarrow x_3)$ visar på ett exempel inom grafteori och topologi som är avgörande för att förstå förhållandet mellan en karta och en inbäddning. Här representerar $x_1$ den sammanhängande komponenten som innehåller $(a_1, a_2)$, $x_2$ representerar den sammanhängande komponenten som innehåller $(a_2, a_3)$, och $x_3$ representerar den sammanhängande komponenten som innehåller $(a_1, a_3)$.

Detta innebär att även om vi inte hittar några redundanta klausuler i formeln $\varphi_f$, så kan vi fortfarande dra slutsatsen att den motsvarande ekvivalensklassen under $\sim_\nu$, som definieras för generiska inmersioner, sammanfaller med de sammanhängande komponenterna i grafen $|(2)G_f|$. Denna observation är fundamental för att förstå varför kartan inte lyfter, trots att inga direkta upprepade litteraler finns i formeln.

Konstruktionen av ytan $S$ med gräns som är inmerserad i en handlbar kropp $B$ är en annan central aspekt av detta bevis. Här representeras varje hörn $a, b, c, d$ av tre kvadrater som skär varandra vid punktens toppunkter, och varje kvadrat är numrerad från ett till tre. Varje sådan kvadrat motsvarar en specifik nod i grafen $G$, och den metod som används för att koppla ihop halvkantpar i denna konstruktion skapar en komplex inbäddning som visualiserar hur grafen $G$ och den inmerserade ytan $S$ förhåller sig till varandra.

Detta resultat påverkar direkt påståendet i [21, Lemme 1.7], där det hävdas att en "labyrint" (en karta mellan grafer skapad med hjälp av en inmersion) lyfter om $\mu_2(f_j) = \nu_3(f_j) = 0$. Här är det alltså uppenbart att de givna antagandena inte är tillräckliga för att garantera att kartan lyfter till en inbäddning.

Hur Eudoxos och Theaetetes teorier om proportioner skiljer sig och deras påverkan på matematiken och filosofin

Eudoxos och Theaetetes presenterade två fundamentalt olika teorier om proportioner och storlekar, som inte bara har matematiska utan även filosofiska implikationer. Kritik har riktats mot Eudoxos teori, särskilt eftersom den är så allmän att den utplånar skillnaden mellan rationella och irrationella linjer, en skillnad som är central i Theaetetes teori. Detta framkommer tydligt i Scholion X.2 till Euklides' Elementa, där det konstateras att Eudoxos' teori inte kan skilja mellan rationella och alogon linjer – det vill säga mellan de som besitter ett logos och de som inte gör det. Detta är en avgörande skillnad som gör Theaetetes' teori överlägsen, både ur ett matematiskt perspektiv och i en filosofisk kontext.

Eudoxos å andra sidan, genom sin teori om proportioner som bygger på att ändliga storlekar kan multipliceras för att överstiga varandra, reducerar denna skillnad mellan rationella och irrationella storlekar. Detta leder till en förlorad distinktion mellan de storlekar som kan förklaras genom logos och de som inte kan. Logos, i denna bemärkelse, handlar inte bara om att beskriva storlekar matematiskt utan om att förstå deras inneboende relationer och karaktär på ett djupare sätt.

När vi närmar oss förståelsen av dessa teorier är det avgörande att förstå att Theaetetes inte bara arbetade med rationella proportioner utan också med irrationella, som inte kan uttryckas i hela eller bråkdelar utan som uttrycks genom en annan form av logik. Eudoxos teori misslyckas i denna aspekt eftersom den inte kan hantera irrationella proportioner på ett sätt som är tillfredsställande både matematiskt och filosofiskt. Det innebär att även om Eudoxos teori är användbar i vissa matematiska sammanhang, förlorar den en djupare förståelse av den verkliga oändligheten som Theaetetes beaktar.

När vi betraktar relationen mellan filosofi och matematik i Platons dialoger, är det tydligt att både matematik och filosofi är djupt integrerade i hans tänkande. Theaetetes’ bevis för incommensurabilitet, som återges i dialogen Theaetetes, är inte bara ett matematiskt resultat utan också en filosofisk insikt om hur vi kan förstå verkligheten och dess fundamentala egenskaper. Det är en imitation av det som Platons filosofi söker, nämligen att förstå det intelligibla genom att förena det med logos och därigenom uppnå sann kunskap.

Det är därför inte bara en matematisk fråga att förstå skillnaden mellan rationella och irrationella proportioner utan en filosofisk fråga om hur vi uppnår verklig kunskap om världen. När matematiken behandlas utan att ta hänsyn till de filosofiska implikationerna, förloras något av den djupare betydelsen i både de matematiska resultaten och deras förhållande till det intellektuella livet.

För att verkligen förstå dessa teorier måste vi se bortom de rena matematiska definitionerna och tänka på hur de relaterar till Platons filosofi. Det handlar inte bara om att förstå hur storlekar kan förhålla sig till varandra på ett kvantitativt sätt utan om att förstå deras kvalitativa natur och deras roll i den filosofiska världen. Detta leder oss till en insikt om att matematiken i sin bästa form inte bara är ett verktyg för att beskriva världen utan också en väg till en djupare förståelse av dess underliggande ordning och struktur.

Vad var Theaetetus matematiska teori för förhållandet mellan storlekar?

När vi går djupare in i den matematiska scenen i dialogen, kommer en annan kritisk aspekt fram: Theodorus, som undervisar Theaetetus i geometri, presenterar exempel på incommensurabilitet, det vill säga egenskapen att vissa linjer eller storlekar inte kan mätas med ett gemensamt mått. Detta är en avgörande insikt i matematikens historia. För att bevisa sådana egenskaper använder han en metod som bygger på konstruktioner och bevis snarare än på abstrakta definitioner. Det är viktigt att notera att det inte finns någon stark indikation i Platons text att han vill ge en exakt beskrivning av Theodorus' metod. Istället är hans roll att illustrera ett matematiskt fenomen genom konkreta exempel. Målet är inte att ge en allomfattande teori om metoder för att bevisa incommensurabilitet utan snarare att belysa en filosofisk poäng om definition och exempel.

Burnyeat, en modern kommentator, hävdar att Platon inte har någon särskild avsikt att vägleda läsaren mot någon definierad metod för bevis. Det är möjligt att vissa historiker har försökt läsa in en mer detaljerad matematisk metod än vad texten egentligen antyder. Det finns ingen anledning att tro att Platon avsåg att ge oss en precis instruktion om hur bevis skulle genomföras för de specifika exempel Theodorus arbetar med. Snarare är Theodorus' exempel just det: exempel som visar på incommensurabilitet genom konkreta konstruktioner.

I själva verket är ett av de mer intressanta aspekterna av Theaetetus' matematiska upptäckt hans förmåga att formulera en allmän metod för att bevisa incommensurabilitet. Han upptäcker att varje linje vars kvadrat är ett icke-kvadratiskt heltal (som kvadratroten av 3, 5, eller 17) är incommensurabel med en enhetlig måttenhet. Denna insikt representerar ett tidigt steg mot en djupare förståelse av rationella och irrationella tal. Theaetetus ser att dessa irrationella storlekar, trots att de är oändliga i antalet, kan ”samlas i ett” genom en mer filosofisk förståelse av deras relationer.

Det finns dock problem med vissa av översättningarna av Platons text, särskilt när det gäller tolkningen av specifika fraser som handlar om ”infinite powers” eller de oändliga mängderna av storlekar som behandlas i dialogen. Många översättare, som van der Waerden, Knorr och Burnyeat, har genom åren tolkat dessa begrepp på olika sätt, vilket har lett till missförstånd om den verkliga betydelsen av Theaetetus’ matematiska upptäckter.

I en mer noggrant återgiven översättning är det tydligt att det inte handlar om att enbart lista storlekar, utan om att förstå dessa storlekar i relation till varandra genom ett förhållande av incommensurabilitet. Theaetetus hävdar att det är genom att analysera dessa storlekar som man kommer att förstå deras irrationella karaktär. Det är en metod som kanske inte fullt ut kan förklaras med dagens aritmetiska metoder, men som i Platons ögon är en filosofisk metod för att förstå världen omkring oss.

Det är också intressant att reflektera över vad denna matematiska metod betyder för Platons bredare filosofiska projekt. Hans användning av termer som ”samla” och ”definiera” är inte bara matematiska termer utan har också en djupare filosofisk innebörd. I Platons filosofi är världen av idéer uppdelad mellan det Enkla och det Mångfacetterade, och det matematiska arbetet med att definiera och samla in olika objekt är ett sätt att förstå denna dualism.

Det är uppenbart att Platon inte bara använder geometri och matematik som ett praktiskt verktyg utan också som en metafor för den filosofiska processen: att definiera världen och förstå dess grundläggande strukturer. Theaetetus' upptäckt om irrationella tal och incommensurabilitet reflekterar detta intellektuella arbete, där det handlar om att förstå saker i relation till varandra snarare än att fastställa exakta mått eller definiera abstrakta objekt.

Hur kan man rekonstruera evolutionära träd utifrån nuvarande generationer?

En evolution i en fylogenetisk quiver börjar i ett element a₀ i ett visst plan Pm, där m ≥ 0, och fortsätter längs en strikt stigande kedja a₀ < a₁ < ... inom samma plan. När inga större element längre finns i samma nivå, går evolutionen vidare uppåt genom att ta ett element ur mängden p⁻¹(aᵢ) ⊂ Pm+1, förutsatt att denna mängd är icke-tom. Denna process upprepas rekursivt tills evolutionen avslutas. En konsekvens av antisymmetrin i den partiella ordningen är att inga icke-triviala evolutioner kan börja och sluta i samma nod. Därför måste alla isotypiska noder sammanfalla, vilket innebär att quivern är liten. De primitiva noderna i quivern är elementen i P₀, där ordningen är trivial. Alla fullständiga evolutioner från ett element a ∈ Pm, med m ≥ 1, börjar i pᵐ(a) ∈ P₀, vilket gör hela evolutionen universell. Detta ger ett naturligt djup h(a) = m, och Om = Pm. Quivern blir därmed monoton och alla noder är fylogenetiska. Evolutionära sekvenser i O är isomorfa med P.

Den strikta partiella ordningen < i mängderna P₁, ..., PN kan också rekonstrueras. Den inducerar en binär relation ≺ i PN enligt regeln: a ≺ b om och endast om a ≠ b och pk−1(a) < pk−1(b), där k = ρ(a, b). Denna relation ≺, tillsammans med ρ, återger hela den underliggande ordningen. Två bollar B, B′ ⊂ PN med samma radie r uppfyller B < B′ om det finns a ∈ B och b ∈ B′ sådana att a ≺ b och ρ(a, b) = r + 1. Speciellt, för r = 0 gäller: a < b om och endast om a ≺ b och ρ(a, b) = 1.

För att införliva tidsdimensionen i modellen antar man tre principer. För det första, alla primitiva noder existerar från början – vid tiden noll. För det andra, längden på en evolutionär kedja är proportionell mot tid genom en konstant C, vilket motsvarar molekylklockan. För det tredje, varje icke-primitiv nod uppstår vid den tidigaste möjliga tidpunkten, i slutet av sin kortaste fullständiga evolution. Detta ger att en nod X utvecklas vid tidpu

Hur påverkar stabil parallellisering tangentbundeln och normalbundeln för manifolder?

Om $N$ är en stabilt parallelliserad $n$-mångfald, då är tangentbundeln $\tau_N$ för $N$ stabilt isomorf till $n\lambda$, där $\lambda$ är linjebundeln associerad med dubbelöverdraget $\tilde{N} \rightarrow \tilde{N}/t$. Detta resultat bygger på att $N$ är parallelliserad, vilket gör att totalmängden $T_N$ av tangentbundeln kan identifieras med en delmångfald av ett tangentpaket från en utökad mångfald $Q$, där $Q = N \times \mathbb{R}$ är parallelliserad. De grundläggande resultaten från Lemma 13.6.1 visar att varje komponent av denna tangentbundel kan representeras som en trivial sum av linjebundlar.

Likaså kan normalbundeln för en sådan stabilt parallelliserad mångfald ses som en sum av triviala bundlar och linjebundlar. Det blir uppenbart när man överväger att den normalbundel för en stabilt parallelliserad mångfald i en dubbelöverlagrad mångfald också är isomorf till en sådan linjebundel. Enligt Lemma 13.6.1 gäller att den normala bundeln för $\tilde{N}/t$ är isomorf med summan av $n$ linjebundlar. För att bekräfta denna isomorfism tillkommer bundeln $\lambda^\perp$, som gör att den totala tangentbundeln blir stabilt isomorf med $n\lambda$.

För att konkretisera dessa koncept, är det viktigt att förstå att stabil parallellisering av en mångfald innebär en förmåga att föra överbundel och linjebundlar på ett sätt som gör att de blir isomorfa med triviala eller linjebundlar, beroende på omständigheterna. Detta är en nyckelfunktion i teorin om stabil parallellisering och geometri av manifolder.

För att koppla detta till en viktig tillämpning av stabil parallellisering, noterar vi Lemma 13.6.3, där en mångfald $X$ med en fri involution $t$ kan ha en ekvivariant avbildning till $S^{n-1}$ med antipodal involution om och endast om Yang-indexet för $X$ är mindre än $n$. Detta resultat är en direkt konsekvens av stabil parallellisering, där vi måste beakta hur manifoldens symmetriska struktur påverkar dess möjligheter att avbildas på andra manifolder med antipodala symmetrier.