Hur fungerar mekaniken i ferromagnetoelastiska material och strukturer?

Ferromagnetoelastiska material och strukturer representerar en unik klass av material som kombinerar både magnetiska och elastiska egenskaper. När magnetiska och elastiska fält samverkar uppstår komplexa dynamiska effekter, som påverkar både materialets mekaniska och magnetiska beteende. I denna sammanhängande mekanik ligger nyckeln till att förstå hur magnetiska och elastiska krafter interagerar på mikroskopisk och makroskopisk nivå.

I ferromagnetiska material är de magnetiska momenten i de enskilda atomerna eller molekylerna ordnade på ett sätt som leder till spontant magnetiserade områden under Curie-temperaturen. Detta beror på den kvantmekaniska växelverkan mellan närliggande magnetiska moment. I dessa material, när magnetiseringen är mättad, har magnetiseringen en fast storlek och kan bara ändra riktning. De störningar som uppstår i de ordnade magnetiska momenten kan spridas som så kallade spinvågor. Dessa spinvågor, som har en kvantmekanisk karaktär, är viktiga att förstå när man analyserar de dynamiska egenskaperna hos ferromagnetoelastiska material.

När det gäller elastiska ferromagneter kan akustiska vågor, som till exempel ljudvågor, interagera med spinvågor. Detta fenomen, känt som phonon-magnon-interaktion, är ett av de mest intressanta aspekterna av ferromagnetoelasticitet. Dessa interaktioner leder till en komplex dynamik som måste beaktas när man utvecklar teorier och modeller för dessa material. För att förstå dessa processer krävs en djupare förståelse av både elastiska och magnetiska fält och deras inbördes relationer.

En av de viktigaste utmaningarna inom mekaniken för ferromagnetoelastiska material är att förstå de icke-linjära effekterna som uppstår när magnetiska och elastiska fält samverkar. Teoretiskt baseras modellerna för dessa material på en två-kontinuerlig modell, vilket innebär att både de elastiska och magnetiska fälten behandlas som separata kontinuiteter som interagerar genom specifika kopplingar. En av de mest centrala idéerna i denna modell är att magnetiseringen i ett ferromagnetiskt material är begränsad av en mättnadsbetingelse, vilket innebär att magnetiseringen har en konstant storlek och bara kan ändra riktning.

För att få en fullständig bild av hur dessa material beter sig under olika förhållanden är det nödvändigt att ta hänsyn till effekterna av både små och stora deformationer samt de magnetiska fälten som varierar med tiden. I många tillämpningar, särskilt de som involverar tunna plattor eller balkar, är det avgörande att förstå hur dessa två fält samverkar på mikroskopisk och makroskopisk nivå för att korrekt modellera materialens beteende.

Därför är en grundläggande förståelse av elastiska och elektromagnetiska teorier viktig för att kunna hantera komplexa problem som uppstår när dessa fält interagerar. Det är också viktigt att beakta effekterna av termiska och dissipativa processer, eftersom dessa faktorer kan ha en signifikant inverkan på materialets respons under olika belastningar och magnetiska fält.

Hur ferromagnetoelastiska material och strukturer påverkas av små deformationer och magnetiska fält

Ferromagnetoelastiska material kombinerar magnetiska och elastiska egenskaper på ett sätt som gör att de reagerar på både mekaniska och magnetiska stimuli. Modeller som beskriver deras beteende kan vara ganska komplexa, särskilt när både stora deformationer och starka magnetiska fält är involverade. I den här kontexten är det viktigt att förstå hur små deformationer och magnetiska fält påverkar materialens respons, särskilt under de specifika förutsättningarna för små deformationer, där de mekaniska teorierna ofta linjäriseras, medan de magnetiska effekterna fortfarande är icke-linjära.

I de föregående avsnitten har vi stött på uttryck som beskriver ferromagnetoelastiska material under stora deformationer och starka magnetiska fält. Dessa modeller är icke-linjära både mekaniskt och magnetiskt. Men för praktiska tillämpningar och enklare analyser används ofta linjära teorier, särskilt när deformationerna är små. Här fokuserar vi på att förenkla de tidigare modellerna genom att anta att deformationerna är små, vilket möjliggör användningen av linjära approximationer.

För små deformationer är materialets volumetriska deformation, $J$, approximativt lika med $1 + u_{m,m}$, där $u_{m,m}$ representerar den volymetriska deformationen. Dessutom kan de elastiska modulerna och andra relevanta storheter linjäriseras för att förenkla den matematiska modellen. Under dessa förutsättningar kan det mekaniska beteendet beskrivas med hjälp av linjära elastiska modeller, där den totala energiuttrycket $\chi$ kan approximera som en kvadratisk funktion av deformationerna och de magnetiska momenten, som visas i ekvation (5.5.4).

Vid behandling av magnetiska effekter under små deformationer, där det magnetiska fältet fortfarande är icke-linjärt, måste man också ta hänsyn till termer som beskriver magnetostriktiva effekter och andra anisotropa magnetiska egenskaper. Det fullständiga uttrycket för energi täcker flera termer, inklusive elastiska, magnetiska och magnetostriktiva bidrag. Enligt dessa relationer kan de constitutiva sambanden härledas och förenklas till mer användbara former för praktiska tillämpningar.

I relation till energibalanser och dissipativa effekter är det också viktigt att förstå hur termiska effekter påverkar materialets respons. Detta kan vara särskilt relevant när materialet utsätts för växlande temperaturer eller när det finns interna källor till värme. I dessa fall blir det nödvändigt att utvidga de termodynamiska relationerna för att inkludera både termiska effekter och dissipativ energi. Detta leder till en uppsättning differentialekvationer som beskriver hur värmeflöden och andra dissipativa processer påverkar materialets beteende, inklusive förhållandena mellan deformation, magnetisering och temperatur.

För att modellera dessa effekter behöver man ta hänsyn till Clausius-Duhem-olikheten, som är en fundamental termodynamisk begränsning som säkerställer att entropin inte minskar och att energi förloras på ett fysiskt realistiskt sätt. I praktiken innebär detta att både återhämtbara och dissipativa delar av materialets respons måste beskrivas noggrant. De återhämtbara delarna av systemet är de som kan återgå till sitt ursprungliga tillstånd utan energiförlust, medan de dissipativa delarna representerar de irreversibla processerna som leder till energiavfall.

När man modellerar ett ferromagnetoelastiskt material, är det också viktigt att notera att de linjära approximationsmodellerna är giltiga endast för små deformationer. För större deformationer eller starkare magnetiska fält krävs en mer noggrann behandling som tar hänsyn till icke-linjära effekter. I dessa fall måste man återvända till de fullständiga icke-linjära ekvationerna, där både mekaniska och magnetiska bidrag samverkar på ett mer komplext sätt.

Det är också viktigt att förstå att även om de linjära modellerna är användbara för att göra snabba uppskattningar eller för att analysera materialens respons under normala driftförhållanden, kan de vara otillräckliga under extrema förhållanden, såsom mycket höga fältstyrkor eller stora mekaniska påfrestningar. Därför är det nödvändigt att alltid vara medveten om modellens begränsningar och att överväga de fullständiga icke-linjära effekterna när materialet utsätts för sådana förhållanden.

Hur bestämmer vi de tvådimensionella ekvationerna för tunna ferromagnetoeleastiska plattor?

För att förstå de tvådimensionella ekvationerna som styr dynamiken hos tunna plattor med ferromagnetoeleastiska egenskaper, börjar vi med att modellera en platta där normallinjen är längs x3-axeln, medan x1- och x2-axlarna ligger i plattans mittplan. Plattans tjocklek är 2c, och på dess gräns finns både normala och tangentiella krafter definierade som n och s.

För att formulera de styrande ekvationerna, antar vi att de olika fälten – displacements, magnetisering och den magnetiska potentialen – kan uttryckas som oändliga serier beroende på plattans tjocklekskoordinat, x3. Genom att använda en sådan serieexpansion kan vi sedan beräkna de relevanta gradienterna för varje fält och definiera de respektive komponenterna för krafter, moment och magnetiska fält genom integrering över plattans tjocklek.

För att erhålla dessa ekvationer definieras de relevanta systemparametrarna genom specifika integrationer som involverar dessa serier. En sådan integration ger till exempel de symmetriska delarna av plattans förlängnings- och skjuvkrafter, böjnings- och vridmoment, samt magnetiska och utbytningsresultanter. Denna process kräver en noggrann förståelse av både plattans geometriska egenskaper och de fysikaliska principerna bakom magnetisk och mekanisk interaktion.

Vidare används metoder för att reducera komplexiteten hos de resulterande ekvationerna genom att införa antaganden om små deformationsstorlekar eller genom att applicera begrepp som stressrelaxation. I det fallet sätts vissa spänningar, som τ33, och komponenter av de magnetiska fälten till noll för att förenkla ekvationerna. Detta gör att endast de mest relevanta komponenterna beaktas i den slutliga modellen.

För första ordningens teori sker ytterligare förenklingar genom att approximera displacement, magnetisering och magnetisk potential till lägre ordningar i x3-koordinaten. Detta leder till en modell där deformationer, både förlängningar och böjningar, samt magnetiseringseffekter, kan hanteras på ett förenklat sätt. De resulterande ekvationerna, efter dessa approximationer, ger oss en starkare koppling mellan de mekaniska och magnetiska fälten i tunna plattor.

I fallet med kubiska kristaller, som exemplifierat med Yttriumjärngranulat (YIG), har vi ytterligare specifikationer för materialets egenskaper, där den spontana magnetiseringen (M0) är längs x3-axeln. De fysikaliska egenskaperna för sådana kristaller med magnetisering i tjockleksriktningen kan särskiljas genom att magnetiseringen m är mycket liten i jämförelse med M0. Detta resulterar i att vissa spänningar, som τA, blir små och kan försummas i jämförelse med andra spänningskomponenter.

De här härledda ekvationerna, som representerar förlängning, böjning och skjuvning, gör det möjligt att beskriva plattans respons på både mekaniska och magnetiska laster på ett realistiskt sätt.

För att bättre förstå dessa modeller och tillämpningar är det avgörande att känna till de specifika materialkonstanterna som påverkar både de mekaniska och magnetiska fälten. Det är också nödvändigt att förstå hur dessa fält interagerar under olika belastningsförhållanden, särskilt i plattor som utsätts för både mekaniska och magnetiska påverkningar.

Hur beskriver vi balanslagen för ett elastiskt material?

Den Cauchy-spänningstensor $\tau$ kan härledas genom att använda den klassiska tetrahedronsmetoden, där vi får samband som representerar balansen av linjär rörelsemängd. Vidare, genom att tillämpa divergenssatsen, omvandlas denna balans till en form som inkluderar både inre krafter och yttre krafter. Formeln för denna balans ges av:

där $\tau_{ji,j}$ representerar spänningarna som verkar på materialet, medan $\rho$ är densiteten, $f_i$ är de externa krafter som verkar på materialet, och $\dot{v}_i$ är den accelererade rörelsen av materialpunkterna.

En annan viktig relation är bevarandet av vinkelmomentum, där vi får ett uttryck som beskriver hur de interna krafter som verkar i materialet påverkar dess rotation. Denna balans kan också skrivas på komponentform, vilket leder till en förenkling som gör att:

Detta innebär att spänningstensoren är symmetrisk, vilket är en grundläggande egenskap för elastiska material i jämvikt.

För energi bevarande, får vi en relation som kopplar energiöverföring och mekaniska spänningar. Den energi som lagras i materialet på grund av deformation kan relateras till spänningarna genom formeln:

Detta innebär att energiflödet i ett elastiskt material kan beskrivas genom spänningarnas arbete på deformationen.

Detta beskriver att det inte sker någon obalans vid gränsytan om materialens egenskaper är kontinuerliga. Om gränsen mellan två material inte är kontinuerlig, måste diskontinuiteterna tas hänsyn till, särskilt i samband med den linjära rörelsemängdsekvationen.

Sammanfattningsvis beskriver dessa balansekvationer hur elastiska material reagerar på yttre och inre påverkningar. Materialets specifika egenskaper definieras genom konstitutiva relationer som, tillsammans med de grundläggande bevarandeprinciperna, ger en fullständig beskrivning av dess mekaniska respons.

Det är viktigt att förstå att dessa lagar, även om de är matematiskt rigorösa, bara är tillämpliga under förutsättning att materialet förblir elastiskt och inte övergår till plastisk deformation eller andra icke-linjära beteenden. Vidare, när man behandlar gränsyteproblem, måste man vara medveten om att materialens egenskaper kan förändras dramatiskt över materialgränser, vilket ofta kräver ytterligare specifikationer för hur krafter och spänningar överförs mellan olika material.