I detta kapitel undersöker vi de stokastiska 2D Euler-ekvationerna i vorticitetsform. Dessa ekvationer har en transportbrus som är strukturellt liknande tidigare fall, men med det viktiga tillägget att drifttermen u beror på vorticiteten ω på ett icke-trivialt sätt. Den stokastiska komponenten är av Stratonovich-typ, vilket innebär att vi hanterar ett brus som påverkar dynamiken i flödet på ett sätt som skiljer sig från traditionella deterministiska modeller. Ekvationerna kan beskrivas som:

dω+u⋅∇ω dt+∇ω⋅∘dW=0,d\omega + u \cdot \nabla \omega \, dt + \nabla \omega \cdot \circ dW = 0,
u=∇⊥ K∗ω,u = \nabla^\perp \, \mathcal{K} * \omega,
ω∣t=0=ω0.\omega |_{t=0} = \omega_0.

Där K\mathcal{K} är Biot-Savart-kärnan, och vi betraktar lösningar på torus T2=R2/Z2T^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 med periodiska randvillkor. Vi antar att den initiala vorticiteten ω0\omega_0 tillhör L∞(T2)L^\infty(T^2), vilket innebär att vi arbetar med en lösning som är begränsad och kontinuerlig i den oändliga normen. För att förstå lösningarna av dessa ekvationer måste vi först analysera vissa grundläggande egenskaper hos de stokastiska termerna och lösningens struktur.

För de deterministiska Euler-ekvationerna, när W=0W = 0, finns en väletablerad teori för existens och unikhet, särskilt för initiala vorticiteter i L∞L^\infty. Här är resultaten klassiska och kommer ursprungligen från Yudovich, som gav en metod för att bevisa att sådana lösningar är unika och existerande för begränsade initialdata. Den stokastiska versionen av Euler-ekvationerna, som introducerar ett transportbrus, kräver dock en något mer sofistikerad behandling.

Om ω0∈Lp(T2)\omega_0 \in L^p(T^2) för p∈[1,∞)p \in [1, \infty), finns svagare lösningar av ekvationen. Existence är bevisad, men unikhet är fortfarande en öppen fråga. Dessa lösningar kan konstrueras via flera metoder, till exempel approximationer av glatta lösningar, vanishing-viscosity-gränser av Navier–Stokes ekvationerna eller vortex-blob approximationer.

En viktig del av vår studie är att förstå hur lösningar till de stokastiska 2D Euler-ekvationerna, när bruset är tillräckligt regelbundet, konvergerar mot lösningar till de deterministiska 2D Navier–Stokes ekvationerna. Detta är kärnan i Theorem 2.1, som fastställer att under vissa omständigheter kommer lösningar till de stokastiska Euler-ekvationerna att konvergera i sannolikhet mot en lösning av de deterministiska Navier–Stokes ekvationerna:

∂tω‾+u⊥⋅∇ω‾=νΔω‾,\partial_t \overline{\omega} + u^\perp \cdot \nabla \overline{\omega} = \nu \Delta \overline{\omega},
ω‾∣t=0=ω0.\overline{\omega}|_{t=0} = \omega_0.

Detta resultat kan tolkas som att det stokastiska bruset i en viss gräns leder till en viskositetstermer νΔω‾\nu \Delta \overline{\omega} i Navier–Stokes ekvationen, vilket är en form av "eddy viscosity". I denna situation kan vi säga att de stokastiska Euler-ekvationerna kan approximera de mer klassiska Navier–Stokes ekvationerna när de stochastiska termerna bidrar med små förändringar till den globala dynamiken.

För att bevisa detta, krävs det att vi använder ett antal förberedelser, där en central del är att beskriva bruset WW. För att göra detta inför vi en Fourier-basis på torus och analyserar de relevanta normerna som kommer att vara användbara för att studera lösningarnas beteende under dessa stokastiska störningar. I vårt fall är det ofta praktiskt att arbeta med svaga lösningar som tillhör L2L^2-rymden, vilket gör det enklare att hantera de stokastiska termernas komplexitet.

Det är också värt att notera att även om resultaten för 2D Euler-ekvationerna är etablerade för vissa typer av initialdata, finns det många aspekter som fortfarande kräver djupare undersökning, särskilt när det gäller frågan om unikhet och de exakta gränserna för konvergensen när bruset introduceras. Det är därför viktigt att utveckla en gedigen förståelse för hur olika typer av brus påverkar dynamiken och hur dessa effekter kan överföras till mer praktiska modeller som används i fluidmekaniska tillämpningar.

En viktig aspekt att beakta när man arbetar med stokastiska ekvationer som de ovan är att förstå och hantera de specifika egenskaperna hos transportbrus. Transportbruset som introduceras här är inte bara en enkel störning utan en aktiv komponent som styr flödet av vorticitet i hela systemet. Det ger upphov till nya dynamiska fenomen som inte finns i de deterministiska modellerna, och därför är en detaljerad analys av detta brus nödvändig för att kunna använda dessa modeller på ett effektivt sätt i tillämpningar.

Hur kan turbulens och vorticitet kopplas till konvergens i svaga topologier inom Navier-Stokes ekvationerna?

Beviset av teorem 2.1 ger en konkret bild av hur stökiga processer och deras effekter på vorticitet i fluiddynamik påverkar lösningar till Navier-Stokes ekvationerna när de introducerar brus och icke-linjära termer. Den påvisade konvergensen mellan olika sekvenser av vorticitet i olika funktionella rum ger oss en fördjupad förståelse av hur sådana sekvenser, under rätt förhållanden, tenderar att konvergera mot en "deterministisk" lösning i svagare topologier. En central slutsats är att en stark konvergens i vanliga normer inte nödvändigtvis är möjlig när de stökiga processerna är inblandade. Här presenteras istället en svag konvergens, vilket innebär att de funktioner som beskriver systemets dynamik inte konvergerar på ett klassiskt sätt, men ändå tenderar mot ett stabilt beteende i svagare rum.

Resultatet förutsätter att vorticiteten ω0\omega_0 är en element i L2L^2-rum, vilket gör att de initiala värdena för vorticiteten inte är för grova och kan behandlas med klassiska resultat inom Navier-Stokes ekvationer. Genom att analysera vorticitetens utveckling i dessa svaga rum får vi en uppfattning om hur det stökiga ljudet, som i teorin bevarar en enstrotrofi (energinivå), kan påverka flödet på längre tidsperioder. En av de mest intressanta slutsatserna från detta är att även om den initiala vorticiteten försvinner i vissa normer, så sker en form av "mixning" i systemet som leder till att vorticiteten i det långsiktiga perspektivet inte går mot noll på ett enkelt sätt, utan i stället utvecklas mot ett mer kaotiskt tillstånd.

I mer tekniska termer: för varje t>0t > 0, finns det ett N (beroende av tt) för vilket vorticiteten ωn\omega_n och ωt\omega_t för sekvenser n≥N(t)n \geq N(t) inte konvergerar starkt i L2L^2-norm, utan istället i en svagare L2L^2-topologi som innebär att för varje tt går ∥ωn−ωt∥L2→∞\| \omega_n - \omega_t \|_{L^2} \to \infty i högre ordning av normer.

Det är också värt att beakta att även om ω0\omega_0 tillhör L2L^2, vilket innebär att det finns en form av förfalletsbetalning i vorticiteten, gäller inte detta nödvändigtvis för svaga lösningar av de Navier-Stokes ekvationerna när brus eller andra störningar är inblandade. Detta skapar ett subtilt problem när vi försöker definiera exakt när och hur lösningar till de stökiga ekvationerna kan fortplanta sig till systemets långsiktiga beteende.

De passiva skalärerna ρn\rho_n, som är associerade med ωn\omega_n, ger oss en annan viktig aspekt av denna konvergens. Genom att analysera deras beteende och deras lösningar under de olika störningspåverkan får vi en förståelse för hur bruset faktiskt kan påverka flödet i en statisk men ändå övergripande förändrande miljö. Resultatet från korollar 2.2 visar att passiva skalärer, som styrs av flöden som utvecklas från vorticitet, konvergerar till det deterministiska värdet när brusens effekter gradvis försvinner med tiden.

Det är också av betydelse att förstå att även om svaga lösningar kan vara mycket effektiva i vissa sammanhang, kan det finnas tillfällen då dessa lösningar inte ger en exakt representation av de fysiska flödena. Därmed måste vi alltid fråga oss hur fysikaliskt meningsfull dessa svaga lösningar är när vi försöker relatera det matematiska ramverket till verkliga experiment eller observationer.

För att skapa en tydligare bild av hur detta fungerar i praktiken måste man förstå att svaga lösningar och starka lösningar i olika rum inte alltid leder till samma fysiska insikter. Därmed är det viktigt att noggrant definiera både lösningsrummet och den specifika miljö där systemet utvecklas för att verkligen kunna dra meningsfulla slutsatser om systemets långsiktiga beteende.

Det är även av största vikt att inse att även om teorem och korollärer kan ge insikt i konvergensen för en sekvens av lösningar, innebär detta inte att exakt förutsäga alla systematisk dynamik över tid är möjligt utan vidare forskning och utveckling inom området. Speciellt när vi arbetar med bruskrafter och högre dimensionella system kommer mycket av förståelsen från specifika fallstudier där dessa förutsättningar testas under realistiska förhållanden.

Vad gör Route 66 till en så ikonisk väg, och varför ska man uppleva den?
Vilken är den minsta droppstorleken som initierar kokning i turbulenta emulsioner?
Hur kan Blockchain förbättra IoT-säkerhet?
Hur fotovoltaik (PV) revolutionerar byggd miljö och energi: En global översikt
Hur djupinlärning förbättrar utbytet inom halvledartillverkning