Hur kan språket och matematiken beskriva kvantfenomen bortom vår föreställningsförmåga?

Svårigheten med att använda ord som ”händer” eller ”system”, eller vilket begrepp som helst vi försöker beskriva, gäller även för själva ”verkligheten”. Problemet uppstår inte när ”verklighet” betraktas som en ”verklighet utan realism”, vilket innebär att ordet är utan ett fast koncept kopplat till sig, om man ens kan tala om ett ord i detta sammanhang. Heisenberg påpekar att språkets problem är mycket allvarliga: vi vill tala om atomernas struktur, inte bara om ”fakta” – till exempel svarta fläckar på en fotografisk platta eller vattendroppar i en molnkammare. Men det är omöjligt att göra detta med hjälp av vanligt språk, eller med vardagliga begrepp som är oupplösligt kopplade till detta språk.

Ord är bundna till möjligheten att skapa mentala bilder, och denna förmåga är rotad i vår dagliga erfarenhet. Det är därför svårt, om inte omöjligt, att anpassa språket så att det kan beskriva processer på atomär eller ännu mindre skala, eller för den delen mycket stora kosmologiska skalor. Däremot kan matematik beskriva saker som vi inte kan föreställa oss, inklusive abstrakta matematiska symboler. Även om matematik är ett mänskligt verktyg som är fött ur samma evolutionära och biologiska utveckling som vårt språk och våra tankar, erbjuder den ändå en större frihet från de begränsningar som språket medför. Den ger oss möjlighet att kvantifiera och förutsäga kvantfenomen, trots att dess förmåga att göra det på en djupare nivå inte är absolut given.

Matematiken som används i kvantmekaniken och kvantfältteorin, till exempel formalismen med Hilbertrum, är i sig själv icke-visualiserbar, även i ändliga dimensioner, och kan inte direkt representera något fysiskt objekt eller process enligt RWR. Det är bara mätinstrumenten och de observerade data som kan ses och beskrivas, och dessa data är alltid kopplade till klassisk fysik, som i denna mening är fundamental. Klassisk fysik förblir nödvändig för att beskriva de observerade resultaten av kvantfenomen, även om den inte kan förutsäga dessa resultat. På så vis är kvantteori, relativitetsteori och klassisk fysik nödvändiga men skilda vetenskaper som kompletterar varandra.

Vad som bör förstås ytterligare är att språkets och begreppens evolutionära grund i vardagserfarenheter innebär att vårt sätt att tänka och uttrycka oss är anpassat till makroskopiska världar. Att förvänta sig att dessa verktyg skulle vara tillräckliga för att direkt förstå eller beskriva kvantverkligheten är därför ogrundat. Samtidigt ger matematiken oss ett kraftfullt men ändå begränsat instrument för att hantera och förutsäga fenomen bortom vår direkta erfarenhet. Det är denna dubbelhet — språkets oförmåga och matematiken som både verktyg och gräns — som definierar den moderna kvantfysikens filosofi och metodologi.

Hur geometrisk enkel sammanbindning och icke-kommutativ geometri påverkar lågdimensionella mångfalder

Föga förvånande har det på senare tid dykt upp en fortsättning på de tidigare idéerna. Detta är ett mycket avancerat projektpapper, ett gemensamt arbete av Louis Funar, Daniele Otera och mig själv, som rör ett bevis på att alla finit presenterade grupper är geometriskt enkelt sammanbundna (och denna GSC-egenskap är mycket starkare än QSF), samt att de kan undvika Whitehead-mardrömmen (och detta betyder att de är "lättpåverkade"). Detta har meddelats i mitt arbete On the Whitehead nightmare and some related topics, publicerat i EMS Surveys Math. Sci., ett volum för Dennis Sullivans 80-årsjubileum (2023). Detta projekt, som jag är mycket optimistisk över, använder teknologin från QSF TRILOGY, men på ett lämpligt sätt vridet. I relation till denna TRILOGY finns det nu två stora svårigheter som måste övervinnas: (i) Att bli av med oändlig skumhet (oändligt genererade andra homotopigrupper) och samtidigt förbli GSC, samt (ii) Att föra saker från oändlighet till ett ändligt avstånd, samtidigt som man behåller GSC.

Vad gäller de fyra-dimensionella DIFF Schoenflies-bollarna, har jag nu ett långt papper online som bevisar att de är GSC: All smooth four-dimensional Schoenflies balls are geometrically simply connected (arXiv: 1609.05094, 2016). En kortare översiktsversion är också tillgänglig: All 4-dimensional smooth Schoenflies balls are geometrically simply-connected, i Surveys in Geometry I (red. A. Papadopoulos), Springer s. 369–307 (2022). Slutligen arbetar Dave och jag fortfarande på det stora projektet att visa att 4-dimensionella DIFF Schoenflies-bollar som är GSC, är standard.

Det är viktigt att notera att våra tankar och arbeten inte längre är helt aktuella i förhållande till 2016-brevet, som nu har blivit föråldrat.

När det gäller min bakgrund och forskning, har jag varit matematikprofessor vid Universitetet i Paris-Sud (Orsay) sedan början av 1970-talet. Under denna period träffade jag mina framtida medarbetare, Gérard Toulouse och Maurice Kléman, som arbetade vid Condensed Matter Physics Department. Vår samverkan började genom ett föredrag jag höll om topologi för fysiker, och det visade sig att det jag presenterade var precis vad de behövde för att förstå defekter i ordnade medier. Detta ledde till ett samarbete som skulle utvecklas och ge upphov till nya insikter om symmetribrott och deras relation till topologi.

Vid den tiden var det endast två grupper världen över som arbetade på detta ämne: den i Paris, där Toulouse, Kléman och Louis Michel från IHÉS var aktiva, och en i Moskva, under ledning av Volovik och Mineev. Efter några år gick Misha Monastyrsky med i den moskva-baserade gruppen och började också komma till Bures-sur-Yvette för att arbeta med oss.

Det är också av intresse att notera att under den tidiga utvecklingen av vår teori, skrev Jean Dieudonné, en framstående fransk matematiker, i sin bok om Bourbaki-matematik att topologi inte hade något att göra med fysik. När han senare publicerade en andra upplaga, korrigerade han detta uttalande och erkände vårt arbete.

Vad är stabila PL-mappingar och varför är de viktiga i topologi och differentialgeometri?

En stabil PL-mappning $f: P \to Q$, mellan polyedrar, definieras genom att det finns trianguleringar $K$, $L$ av $P$ respektive $Q$ och en stratifieringsmappning $\varphi$ mellan deras ansiktsposet, så att $f$ är PL-vänster-höger-ekvivalent med en medlem i mängden $S(\varphi)$. Detta innebär att den topologiska strukturen av mappningen är sådan att små perturbationer eller variationer inte förändrar dess grundläggande egenskaper.

För en PL-mappning $f: N \to M$, där $N$ är en kompakt PL-manifold och $M$ är en PL-manifold, är mappningens stabilitet kopplad till de lokala egenskaperna av $f$. Till exempel, om dimensionen av $M$ är tillräckligt stor i förhållande till dimensionen av $N$, så är $f$ stabil om och endast om det är en inbäddning. För fallet där dimensionen $m$ är lika med $2n$, är stabiliteten kopplad till att mappningen är en immersion med ett ändligt antal transversa dubbelpunkter.

Stabila PL-mappningar är viktiga i flera områden inom diskret differentialgeometri och diskret Morse-teori, där de används för att analysera topologiska egenskaper hos komplexa geometriska objekt. Det är dock också viktigt att notera att teorin om stabila PL-mappningar är fortfarande i ett tidigt utvecklingsstadium, och många av de underliggande frågorna kring modifieringar av definitionen, samt relaterade transversalitetsresultat, fortfarande är öppna forskningsfrågor.

För att förstå och tillämpa stabila PL-mappningar på ett effektivt sätt är det avgörande att ha en djupare förståelse för de olika typer av stratifiering, triangulering och isotopi som är involverade i definitionen av stabilitet. Det är också viktigt att känna till de relaterade topologiska begreppen, som PL-transversalitetsvillkor, och hur dessa kan användas för att säkerställa stabiliteten hos en given mappning.