Vad innebär det att en funktion är deriverbar i flera variabler?

Att en funktion är deriverbar i en punkt innebär att den lokalt beter sig som en linjär avbildning. Mer exakt: om $f: X \to F$ , där $X \subset E$ och både $E$ och $F$ är normerade rum, är deriverbar i punkten $x_0 \in X$ , så finns det en linjär operator $A_{x_0} \in L(E, F)$ och en restfunktion $r_{x_0} : X \to F$ , som är kontinuerlig i $x_0$ och uppfyller $r_{x_0}(x_0) = 0$ , så att:

f(x) = f(x_0) + A_{x_0}(x - x_0) + r_{x_0}(x)\|x - x_0\|

Detta är ekvivalent med att:

f(x) = f(x_0) + A_{x_0}(x - x_0) + o(\|x - x_0\|) \text{ då } x \to x_0

I detta sammanhang är derivatan $\partial f(x_0) = A_{x_0}$ , och den är entydigt bestämd. Det följer också att om $f$ är deriverbar i $x_0$ , så är $f$ kontinuerlig där.

Man säger då att $f$ är deriverbar i $x_0$ om och endast om den är approximativt linjär i $x_0$ , dvs. om skillnaden mellan funktionen och dess linjära approximation försvinner snabbare än själva avståndet till punkten, vilket matematiskt uttrycks som:

\lim_{x \to x_0} \frac{\|f(x) - f(x_0) - \partial f(x_0)(x - x_0)\|}{\|x - x_0\|} = 0

Denna linjära operator kallas funktionens derivata i punkten $x_0$ , och skrivs ibland också som $Df(x_0)$ eller $f'(x_0)$ . Om $f$ är deriverbar i varje punkt i $X$ , då kan man definiera en avbildning:

\partial f : X \to L(E, F), \quad x \mapsto \partial f(x)

Om denna avbildning är kontinuerlig, säger man att $f$ är kontinuerligt deriverbar, och man skriver $f \in C^1(X, F)$ .

Ett viktigt exempel är att varje linjär avbildning $A \in L(E, F)$ är kontinuerligt deriverbar, och derivatan är $\partial A(x) = A$ . Även konstanta funktioner är deriverbara med noll som derivata.

För en funktion som $b: H \to \mathbb{K}$ , definierad på ett Hilbertrum $H$ som $b(x) = \|x\|^2$ , är derivatan given av:

\partial b(x) = 2 \, \text{Re}(x \mid \cdot)

Detta innebär att derivatan i en punkt representeras av den dubbla projektionen av punkten själv, något som ofta förekommer i optimering och funktionalanalys.

När man betraktar riktningsderivator, så säger man att om $f$ är deriverbar i $x_0$ , då existerar den riktade derivatan i varje riktning $v \in E \setminus \{0\}$ , och:

D_v f(x_0) = \partial f(x_0)(v)

Detta säger att total deriverbarhet implicerar existensen av alla riktade derivator. Däremot är det omvända inte sant: det finns funktioner som har riktade derivator i alla riktningar men som ändå inte är deriverbara. Ett klassiskt exempel på detta är funktionen:

f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0)

Innehållet på denna webbplats är skyddat av gällande upphovsrättslagar, inklusive men inte begränsat till upphovsrättslagen och relevant lagstiftning inom Europeiska unionen. All användning av innehållet, inklusive kopiering, distribution, offentliggörande, modifiering eller annan bearbetning, är förbjuden utan skriftligt förhandstillstånd från rättighetsinnehavaren, om inte lagen uttryckligen tillåter det. Användare får endast använda innehållet för personligt bruk inom de ramar som anges av upphovsrättslagstiftningen. All annan användning, inklusive kommersiell användning, kräver förhandstillstånd från rättighetsinnehavaren. Varumärken, företagsnamn, logotyper och andra identifierare som visas på denna webbplats kan vara registrerade varumärken som tillhör sina respektive ägare. All användning utan tillstånd från rättighetsinnehavaren är förbjuden. Webbplatsens operatör garanterar inte att informationen är korrekt, fullständig eller aktuell och ansvarar inte för skador eller förluster som uppstår till följd av användningen, utom när tvingande lagstadgade bestämmelser kräver det.

Återgivning av material är endast tillåten om en länk till pandia.org inkluderas.

För bästa visningsupplevelse rekommenderas webbplatsen att användas på skärmar med en minimumbredd på 1200 pixlar.