Vilka test är nödvändiga för att säkerställa kvaliteten på finita element i linjär och icke-linjär analys?

Det finns olika varianter av patch-testet som beskrivs i litteraturen. En alternativ version av patch-testet innebär att man tilldelar en uppsättning förskjutningar {U}, som är konsekventa med det konstanta spännings tillståndet, till alla nodala frihetsgrader och beräknar de motsvarande nodala krafterna {P}:
{P} = [K]{U} (2.135)

Egenvärdestestet
Egenvärdestestet kan upptäcka instabilitet, bristande invarians och andra defekter i ett enskilt element, vilket gör det möjligt att uppskatta kvaliteten på konkurrerande element (Cook et al., 1989). Detta test är en av de mest använda metoderna för att kontrollera kvaliteten på element. Betrakta den följande egenvärdesekvationen för ett oavbrutet ändligt element:
([k] − λ[I]){u} = {0} (2.136)

När man testar ett ändligt element kontrollerar man först att styvhetsmatrisen [k] har lika många noll egenvärden som förväntat. För få nollor tyder på att elementet kommer att belastas konstgjort vid rigid kroppsrörelser. För många tyder på att vissa mekanismer kan ha introducerats i elementet under formuleringsstadiet (på grund av inkonsekvenser i teorin) eller i programmeringsstadiet (på grund av dolda kodfel). Ett ändligt element som har för många noll egenvärden kan förlora sin stabilitet under vissa nätmönster eller belastningsförhållanden.

Den grundläggande idén bakom detta avsnitt är att belysa de fysiska principerna som ligger till grund för de olika tester som ofta används i litteraturen för linjära element. Eftersom de linjära elementen som beskrivs i sektion 2.2 inte bryter mot några kompatibilitets-, fullständighets- eller stabilitetskrav, bekräftas det att de alla kan klara de tester som presenteras här. I nästa kapitel kommer vi att visa hur de rigid kroppsegenskaper som presenterats här kan utökas för att testa icke-linjära element i den inkrementella formen.

Rigid kroppregeln är därför ett mer komplett test än tidigare tester som fokuserade på linjära element, eftersom den tar hänsyn till de initiala krafterna som verkar på elementet. Denna regel kan användas inte bara för att testa elementens kvalitet utan även i inkrementell-iterativa procedurer för att uppdatera de nodala krafter som finns vid varje steg. Detta test är också användbart för att styra riktningen för försöksiterationerna vid prediktornivå eller för att härleda stela geometri-stegrande styvhetsmatriser.

För att försäkra sig om att ett icke-linjärt element är legitimt i en linjär analys bör det uppvisa ett tillstånd av noll spänning och noll förskjutning (eller nodala krafter) när det utsätts för rigid kroppsrörelser. Ett sådant krav innebär att patch-testet kan användas för att säkerställa att ett patch av element kring en gemensam nod konsekvent kan reproducera tillståndet av noll spänningar när det utsätts för dessa rörelser.

Hur den incrementella icke-linjära analysen fungerar för ramar med stora deformationer

För att beskriva rörelsen hos en icke-linjär struktur används tre konfigurationer: den ursprungliga obehandlade konfigurationen $C_0$, den senaste kända konfigurationen $C_{i-1}$, och den nuvarande okända konfigurationen $C_i$. Under den $i$-te incrementella steget antas all information om strukturen från $C_0$ till $C_{i-1}$ vara känd, inklusive belastningshistorik, strukturella deformationer och elementkrafter, medan vi fokuserar på strukturbeteendet under övergången från $C_{i-1}$ till $C_i$, som svar på den lilla ökningen i externa laster.

Utifrån den uppdaterade Lagrange-formuleringen väljs den senaste beräknade konfigurationen $C_{i-1}$ som referens för att beskriva strukturens rörelse under det incrementella steget från $C_{i-1}$ till $C_i$. Styrkan i denna metod ligger i att vi inte behöver hantera den fulla komplexiteten hos stora deformationer på en gång, utan kan behandla den som en serie små, hanterbara problem.

För att ta hänsyn till gemensam kompatibilitet mellan kopplade element för hela strukturen, modifieras ekvationen till:

De ekvationer som ges är icke-linjära, eftersom styvhetsmatriserna $[Kg]$ och $[Kj]$ är funktioner av de initiala lasterna $P^{i-1}$ eller de interna krafterna $f^{i-1}$ i strukturen. Ett sådant problem kan inte lösas direkt, utan måste hanteras genom metoder som är av incrementell-iterativ natur, där iterationer sker vid varje incrementellt steg i analysen. I de flesta fall presenteras den icke-linjära lösningen för en struktur som last-deformationkurvor för de intressanta frihetsgraderna.

I denna process är den fysikaliskt baserade beräkningsmetoden central. Mechanismen för iterationerna i varje incrementellt steg, med användning av både en förutsägare och en korrigerare, illustreras i figur 7.1, där symboler för vektorer och matriser har förenklats för tydlighetens skull. Processen för att lösa strukturen från $C_{i-1}$ till $C_i$ följer dessa steg:

1. Strukturen vid den initiala konfigurationen $C_{i-1}$: Börja med att definiera strukturen vid $C_{i-1}$ som representeras av förskjutning $U^{i-1}$ och belastning $P^{i-1}$.

2. Incrementellt steg i lastning: Öka lasten $P^{i-1}$ med ett litet belopp $\Delta P$ till $P^i$.

3. Förutsägelsefas: Använd tangentstyvheten $K^{i-1}$ för att lösa för den incrementella förskjutningen $\Delta U$ baserat på de ekvationer som beskrivits, vilket ger ett provlösning vid punkt b.

4. Korrigeringsfas: Beräkna de elementkrafter som krävs för att justera geometrin vid punkt d och uppdatera elementens krafter.

Den iterativa processen förblir en central komponent för att hantera icke-linjära problem och stora deformationer på ett effektivt sätt, vilket säkerställer att lösningen gradvis når en exakt representation av strukturens beteende under ökad belastning.

Hur det linjära och icke-linjära beteendet hos strukturer simuleras genom användning av förutsägare och korrigerare i beräkningarna

När det gäller att analysera strukturers beteende under belastning är det viktigt att förstå de grundläggande processerna som styr hur deformationer och påfrestningar utvecklas, särskilt när komplexa materialmodeller används. För att effektivt kunna hantera sådana analyser används en iterativ metod där en förutsägare och en korrigerare arbetar tillsammans för att uppskatta och justera de nödvändiga variablerna.

I grund och botten innebär förutsägaren att man gör ett initialt antagande om de strukturella förskjutningarna {U}, vilket tillåter oss att förutsäga hur strukturen kommer att bete sig under påfrestning. Dessa förskjutningar beräknas sedan för varje element baserat på de tidigare antagandena om styvhet och krafter. Förutsägaren påverkar huvudsakligen antalet iterationer och hastigheten på konvergensen i lösningen, utan att direkt påverka den faktiska noggrannheten i beräkningen av förskjutningarna.

För att förbättra denna approximation och säkerställa att iterationerna leder till ett korrekt slutresultat, används en korrigerare för att justera och förfina de beräknade krafterna {f} för varje element. Detta görs genom att ta hänsyn till de initiala nodala krafterna {f_1} vid en given konfiguration (C1) och rotera dem enligt den rigidroterande effekten, vilket innebär att krafterna förblir oförändrade i storlek men anpassas efter den rotation som sker mellan de två konfigurationerna (C1 till C2).

En annan central aspekt i denna process är användningen av geometiska styvhetsmatriser för att hantera de icke-linjära effekterna av rotationer och deformationer i strukturer. Specifikt, i tillämpningen av stegrande eller iterativ analys, krävs det att geometiska styvheter som [kg]r.b. för en stel balk eller [kg]TPE för plattor och skal beaktas. Dessa matriser simulerar de stegrande deformationerna och bidrar till att få en mer exakt representation av hur strukturen kommer att bete sig under komplexa belastningar, särskilt när elementen är föremål för både plastiska och elastiska deformationsmönster.

För korrekt upplösning av det aktuella problemet i en uppdaterad Lagrange-typ analys, måste två huvudsakliga bidrag beaktas: för det första de initiala nodala krafterna {f_1} vid den ursprungliga konfigurationen (C1) och deras förskjutning under den aktuella analysen. För det andra, de förskjutningar {u} som härleds från de små deformationerna och den linjära teorin som används för att beräkna kraftökningarna {Δf}. För att kunna beräkna de totala krafter {f_2} vid C2 summeras effekterna av både de initiala krafterna och de beräknade förändringarna i krafter från de elastiska förskjutningarna.

För att utvärdera effektiviteten och noggrannheten i den använda metoden måste man även överväga de numeriska resultaten från olika kombinationer av förutsägare och korrigerare. Detta testas vanligen genom att jämföra olika lösningsscheman, där olika matriser för geometri och elasticitet används för att se hur snabbt och exakt systemet konvergerar mot en lösning.

När det gäller tillämpningar av denna metod i praktiska scenarier är det viktigt att observera hur beräkningshastigheten påverkas av valet av förutsägare och korrigerare. I exempelvis analyser av en enkel balk under ett slutet moment, kan olika konfigurationer för matriser och korrigerare ge varierande noggrannhet och beräkningstid. Det är dock klart att metoder som inkluderar både den elastiska och geometiska styvheten i såväl förutsägaren som korrigeraren ger en mer exakt lösning, även om det innebär längre beräkningstid.

För att förstå den praktiska betydelsen av dessa metoder måste läsaren beakta flera aspekter av det iterativa förfarandet. För det första är den exakta konvergensen av lösningen avgörande, särskilt för strukturer som kan uppvisa komplexa icke-linjära beteenden som vid buckling eller plastiska deformationer. Här är det viktigt att ha en noggrant vald förutsägare och en effektiv korrigerare som snabbt kan justera för förändringar i strukturella parametrar under analysen.

En annan viktig aspekt är hanteringen av materialegenskaper och hur dessa påverkar strukturella svar under olika belastningsförhållanden. För att säkerställa att analysen är tillförlitlig måste man använda materialmodeller som korrekt representerar det faktiska beteendet för det aktuella materialet, särskilt vid höga påfrestningar eller när plastiska deformationer uppträder. Den iterativa metoden fungerar effektivt för att hantera sådana komplexa materialmodeller och deras påverkan på systemet.

Hur bestäms kritiska laster för vridningsbelastningar i vinklade ramar?

För fallet med ett QT-1 vridmoment, där momentkomponenterna kan uttryckas som $1M_{x1} = T_0 \cos \alpha$ och $1M_{z1} = T_0 \sin \alpha$, är lösningarna för de horisontella och vertikala utslagen, samt rotationsvinkeln längs med ramens medlemmar, en sammansättning av trigonometriska funktioner med integrationskonstanter som bestäms via randvillkoren. Dessa lösningar innehåller två icke-dimensionella parametrar $\lambda$ och $\mu$, vilka definieras utifrån sambandet mellan böjhållfasthet och vridstyvhet i ramens tvärsnitt, liksom en vinkelparameter $\eta$ som kombinerar effekten av $\alpha$ och mekaniska egenskaper.

Vid analys av särskilda fall framkommer följande insikter: när medlemmar är olika långa eller när vridstyvheten och böjstyvheten är lika ($E I_z = GJ$), förenklas uttrycken för kritiska laster betydligt. I vissa fall kan analytiska uttryck för kritiska moment härledas, vilka överensstämmer med klassiska resultat från litteraturen, såsom de av Ziegler eller Timoshenko och Gere. Till exempel, vid $\alpha=0^\circ$ reduceras problemet till en enkel vridmomentbelastad konsol, medan $\alpha=90^\circ$ beskriver böjmoment om en axel vinkelrät mot medlemmens längdaxel.

Vid bedömningen av kritiska laster är det viktigt att särskilja de termer i lösningarna som representerar styva kroppsförskjutningar och rotationer, vilka inte påverkar stabilitetsvillkoren, från de termer som är kopplade till bucklingsbeteendet. Detta möjliggör en reducering av problemets komplexitet och en renodling av de relevanta variablerna för kritisk lastbestämning.

Att förstå sambandet mellan böjhållfasthet och vridstyvhet samt att tillämpa rätt randvillkor är avgörande för att korrekt kunna förutsäga vid vilken lastnivå en ram blir instabil. Denna förståelse är inte bara viktig för teoretiska konstruktioner utan har stor betydelse vid praktisk dimensionering av konstruktioner som utsätts för komplexa vridbelastningar, exempelvis broar, maskinramar och byggnadsstommar med vridmomentkomponenter.

Utöver själva beräkningen av kritiska laster är det centralt för läsaren att förstå hur materialets mekaniska egenskaper, tvärsnittets styvheter och geometri samverkar och påverkar ramens stabilitet. Att utveckla intuitiv förståelse för hur förändringar i vinklar, längder och styvheter påverkar lastkapaciteten ger en djupare insikt i konstruktionens funktion och bidrar till säkrare och mer effektiva designlösningar.